Lipschitz Stetigkeit

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Himbeere xP Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz Stetigkeit
Sei mit .

Ist die funktion f mit der euklidischen norm versehen, Lipschitz stetig ?

Ich würde sagen ja, denn





Wähle also und man hat eine Lipschitzkonstante gefunden.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Hier geht aber einiges durcheinander. Prüfe mal in deiner Gleichungskette die Dimensionen der Komponenten.

Was ist ?

Deine Lipschitz-Konstante ist eine Matrix? geschockt

Wie ist die Definition von Lipschitzstetigkeit?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitz Stetigkeit
Deine Lipschitz-Konstante ist eine Matrix? geschockt


Weißt du, was eine Operator- bzw. Matrixnorm ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrizke
Deine Lipschitz-Konstante ist eine Matrix? geschockt

Zitat:
Original von Che Netzer
Deine Lipschitz-Konstante ist eine Matrix? geschockt

Big Laugh
Himbeere xP Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Deine Lipschitz-Konstante ist eine Matrix?


Also bei mir im Skript stand nur, dass L>0 sein muss. Da dachte ich es wäre egal :S

Zitat:
Was ist ?


Delta war der Abstand von |x-y|. Ich denke aber mal, da die funktion von gilt das nicht so einfach, denn da hätte ich ja


Leider bereiten Vektoren mir noch ein wenig Probleme, da ich noch nie mit denen gerechnet habe.
Himbeere xP Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Weißt du, was eine Operator- bzw. Matrixnorm ist?


Ja was eine Norm ist und welche eigenschaften eine Norm hat weiss ich.
 
 
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Lipschitzkonstante muss in sein.

Naja ganz "so einfach" ist es nicht, aber dafür hat Che ja schon die "Operatornorm" bzw. "Matrixnorm" ins Spiel gebracht.


Und hier nochmal die Definition für Lipschitzstetigkeit:


Es seien X und Y normierte Räume. Eine Funktion heißt Lipschitzstetig, wenn es eine positive Konstante gibt, sodass für alle gilt:

Himbeere xP Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es seien X und Y normierte Räume. Eine Funktion heißt Lipschitzstetig, wenn es eine positive Konstante gibt, sodass für alle gilt:


Okay ich habs jetzt mal probiert:













Also wähle ich ?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Wie kommst du denn auf diesen Wurzelterm?
Du sollst ja die Euklidische Norm benutzen. Diese Induziert folgende Matrixnorm:



wobei der größte Eigenwert der darauffolgenden Matrix ist.



Wenn du die Matrix aus dem Betrag herausziehst, ist das keine Gleichheit mehr, sondern ein .
Himbeere xP Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie kommst du denn auf diesen Wurzelterm? Du sollst ja die Euklidische Norm benutzen. Diese Induziert folgende Matrixnorm: wobei der größte Eigenwert der darauffolgenden Matrix ist.


Ich muss zugeben, dass mir das alles nichts sagt. Also eigenwerte hatten wir noch nicht, und die Schreibweise ist mir auch ungeläufig.

Wir hatten bislang nur sowas:




Dann hätte ich jetzt vll gesagt:




was ja offensichtlich flasch ist.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Was habt ihr denn überhaupt über Matrixnormen gelernt?
Himbeere xP Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir haben nur definiert was eine Norm ist:

(I) Positivität
(II) Homogenität
(III) Dreiecksungleichung

Dann haben wir die P-Norm eingeführt, Normen im Folgenraum und im Folgenraum.

Wir haben bereits die Äquivalenz der Normen im R^n bewiesen und das wars dann eigentlich schon.

Irgendwie habe ich das gefühl Matrixnormen unterscheiden sich nochmal von diesen Normen ?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Matrixnormen sind auch gewöhnliche Normen, die (I)-(III) erfüllen. Allerdings sind sie, wie der Name ja schon sagt, für Matrizen gedacht.

Ich nehme mal an, dass ihr die nur in einem Beispiel, einer Bemerkung oder Übung erwähnt habt.
Vielleicht habt ihr auch nur die sogenannte Frobeniusnorm (auch eine Matrixnorm) irgendwo eingeführt. Diese ist mit der euklidischen Norm verträglich und kann hier auch genutzt werden.
Himbeere xP Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich habe mir die Frobeniusnorm mal bei wiki angeschaut.
Demnach wäre dann ja:




Oder ?

Warum dort ein \leq stehen soll verstehe ich aber noch nicht so ganz.
Denn es gilt doch:

chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. müsste die daraus folgende Lipschitzkonstante sein.


Nein es gilt im Allgemeinen die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
Himbeere xP Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja genau. müsste die daraus folgende Lipschitzkonstante sein. Nein es gilt im Allgemeinen die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.


Ah okay vielen dank smile

Ich hab mich dann mal an einer anderen Aufgabe versucht:

















Da aber und die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, kann es keine konstante geben, sodass



gilt.
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