Wahrscheinlichkeitsmaß, Totalvariation |
17.05.2013, 22:30 | Sendoh | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wahrscheinlichkeitsmaß, Totalvariation Es seien ein beliebiger messbarer Raum und die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf . Die Abb. heißt Totalvariationsabstand. Zeigen Sie: Ist S abzählbar und die Potenzmenge von S, so gilt mit Meine Ideen: Ich habe die Gleichheit erstmal für eine 2 und 3 elementige Menge S bestätigt. Dabei ist mir folgendes aufgefallen: Das Supremum wurde jeweils unter dem angenommen für das gilt: . Mit dieser Erkenntnis könnte der Faktor 1/2 zumindest teilweise erklärt werden, indem man auf der rechten Seite der zu beweisenden Gleichheit S in aufspaltet. Es ergibt sich aber in der weiteren Rechnung folgendes Problem: . Da S abzählbar, lässt sich A als disjunkte Vereinigung von Elementen aus S darstellen und die sigma-Additivität des Maßes angewandt auf A liefert: Das "Reinziehen" der Betragsstriche in die Summe liefert leider nur eine Ungleichung und die oben angegeben Gleichheit tritt im Allgemeinen nicht ein. Ich hoffe, das ist nachvollziehbar aufgeschrieben. |
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17.05.2013, 23:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich würde es noch etwas direkter angehen, schließlich kann man die Maximumstellen bzw. explizit angeben: Für gegebene kann man disjunkt zerlegen in gemäß Das Supremum in wird nun genau dann angenommen, wenn entweder oder gilt, was man an leicht sehen kann. P.S.: Die Gleichheit für und folgt auch sofort aus . |
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18.05.2013, 00:05 | Sendoh | Auf diesen Beitrag antworten » |
Meine Ideen war'n ja mal wieder nen Reinfall... Okay, dann ergibt sich: Dabei geht ein, dass gilt und für analog. Das ist zwar sehr kleinschrittig, aber ich hoffe, richtig argumentiert. Danke für deine erneut tolle Hilfe |
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21.05.2013, 21:59 | Sendoh | Auf diesen Beitrag antworten » |
Würde jemand nochmal drüber schauen? |
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