Wahrscheinlichkeitsmaß, Totalvariation

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Sendoh Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsmaß, Totalvariation
Meine Frage:
Es seien ein beliebiger messbarer Raum und die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf . Die Abb. heißt Totalvariationsabstand.
Zeigen Sie: Ist S abzählbar und die Potenzmenge von S, so gilt

mit

Meine Ideen:
Ich habe die Gleichheit erstmal für eine 2 und 3 elementige Menge S bestätigt. Dabei ist mir folgendes aufgefallen: Das Supremum wurde jeweils unter dem angenommen für das gilt: .

Mit dieser Erkenntnis könnte der Faktor 1/2 zumindest teilweise erklärt werden, indem man auf der rechten Seite der zu beweisenden Gleichheit S in aufspaltet.

Es ergibt sich aber in der weiteren Rechnung folgendes Problem:
.

Da S abzählbar, lässt sich A als disjunkte Vereinigung von Elementen aus S darstellen und die sigma-Additivität des Maßes angewandt auf A liefert:



Das "Reinziehen" der Betragsstriche in die Summe liefert leider nur eine Ungleichung und die oben angegeben Gleichheit tritt im Allgemeinen nicht ein.

Ich hoffe, das ist nachvollziehbar aufgeschrieben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es noch etwas direkter angehen, schließlich kann man die Maximumstellen bzw. explizit angeben:

Für gegebene kann man disjunkt zerlegen in gemäß



Das Supremum in wird nun genau dann angenommen, wenn entweder oder gilt, was man an



leicht sehen kann.


P.S.: Die Gleichheit für und folgt auch sofort aus

.
Sendoh Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Ideen war'n ja mal wieder nen Reinfall...

Okay, dann ergibt sich:



Dabei geht ein, dass



gilt und für

analog.

Das ist zwar sehr kleinschrittig, aber ich hoffe, richtig argumentiert.
Danke für deine erneut tolle Hilfe
Sendoh Auf diesen Beitrag antworten »

Würde jemand nochmal drüber schauen?
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