Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R

17.05.2013, 22:53

steviehawk

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Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R

Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht weiter komme:

Sei $\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit $\begin{eqnarray*} F(x_0,y_0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_x :=\frac{\partial F}{\partial x} (x_0,y_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Begründen Sie, weshalb durch die Bedingung F(x,y) = 0 in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ eine reguläre Kurve gegeben ist, und zeigen Sie, dass für ihre Krümmung (bis auf Vorzeichen) gilt:

$\begin{eqnarray*} \kappa = \frac{2F_{xy}F_xF_y - F_{xx}F_y^2-F_{yy}F_x^2}{(F_x^2+F_y^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also für der erste Teil folgt doch aus dem Satz über implizite Funktionen oder?

Für den zweiten Teil brauche ich die Formel für die Krümmung: $\begin{eqnarray*} \kappa = \frac{det(c',c'')}{||c'(t)||^{3}} \end{eqnarray*}$

So wenn ich jetzt die Funktion ansehe: $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ wird auf $\begin{eqnarray*} F(x,y) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgebildet. Bei Linearformen ist die erste Ableitung ja gerade die Jacobi - Matrix hier erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} J_F = (F_x F_y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||J_f||^3 = (F_x^2 + F_y^2)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

das heißt der untere Teil der Formel würde schon einmal passen.

Für den oberen Teil brauche ich ja die zweite Ableitung. Diese müsste doch dann der Hessematrix entsprechen: $\begin{eqnarray*} H_F = \begin{pmatrix} F_{xx} & F_{xy} \\ F_{xy} & F_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach dem Satz von Schwarz ist ja: $\begin{eqnarray*} F_{xy} = F_{yx} \end{eqnarray*}$ .

Nun kann ich aber keine sinnvolle Determinate bestimmen, wenn ich die $\begin{eqnarray*} J_F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_F \end{eqnarray*}$ nebeneinander schreibe..

hat mir jemand einen Tipp, wie ich den oberen Teil (Zähler) der Formel erhalten könnte??

19.05.2013, 10:38

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Da scheinst du ein wenig in die falsche Richtung zu denken.
Wie lautet der Satz von der impliziten Funktion denn in diesem konkreten Beispiel?
Welche differenzierbare Funktion liefert er und wie kann man daraus eine Parametrisierung der Kurve erhalten?

19.05.2013, 15:17

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Also für den Satz über implizte Funktionen muss ja zunächst gelten:

$\begin{eqnarray*} F(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$

das ist hier ja schon einmal erfüllt.

Weiter darf die partielle Ableitung nach der auflösenden Variable nicht verschwinden. Es ist ja gegeben: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial x} \neq 0 \end{eqnarray*}$
Also wähle ich wohl gerade x als auflösende Variable.

Damit ist der Satz doch zumidest schonmal andwendbar.

Ich müsste doch dann irgendwie so was erhalten für die auflösende Funktion:

$\begin{eqnarray*} x = f(y) \end{eqnarray*}$ da ja hier $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ meine auflösende Variable ist oder?

Die Umgebung ist natürlich der Punkt: $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ und die Bedingung $\begin{eqnarray*} F(x_0,y_0) = 0 \end{eqnarray*}$ ist ja auch erfüllt, sowie: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial x} (x_0,y_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$

19.05.2013, 15:21

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Ja, damit hast du $\begin{eqnarray*} F(f(y),y)=0 \end{eqnarray*}$ .
D.h. du kannst deine Kurve (lokal) als Graph von $\begin{eqnarray*} y\mapsto(f(y),y) \end{eqnarray*}$ beschreiben (insbesondere ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ der Kurvenparameter).
Wie sieht dafür allgemein die Krümmung aus?

19.05.2013, 15:30

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Die Krümmung für Graphen lautet ja hier:

$\begin{eqnarray*} \kappa = \sqrt{1+(f'(y))^2} \end{eqnarray*}$

19.05.2013, 15:31

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Nein, das ist nur die Norm der Ableitung der Kurve.

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19.05.2013, 15:36

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
achso wieder die Fomel mit Determinante?

$\begin{eqnarray*} \kappa =\frac{ det (c',c'')}{||c'||^3} \end{eqnarray*}$

19.05.2013, 15:40

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Ja, genau.
Hier vereinfacht sich nämlich einiges.

19.05.2013, 15:43

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
okay, vielen Dank schon mal! Dann mache ich da nächstes mal weiter.

24.05.2013, 09:57

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
So jetzt gehts weiter:

Also ich habe jetzt sowas wie: $\begin{eqnarray*} c(y) = (f(y),y) \end{eqnarray*}$ damit ist:

$\begin{eqnarray*} c'(y) = (f'(y),1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c''(y) = (f''(y),0) \end{eqnarray*}$ damit vereinfacht sich in der Formel für die Krümmung einiges.

$\begin{eqnarray*} \kappa = \frac{det (c',c'')}{||c'||^3} = \frac{-f''(y)}{((f'(y))^2+1)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

das muss ja jetzt gleich: $\begin{eqnarray*} \kappa = \frac{2F_{xy}F_xF_y - F_{xx}F_y^2-F_{yy}F_x^2}{(F_x^2+F_y^2)^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

sein.

Ich habe noch rausgefunden, dass für die 2te Ableitung einer impliziten Funktion gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{ \partial_{xx} \partial_y (f)^2 + \partial_{yy} \partial_x (f)^2 - 2 \partial_{xy} \partial_x f \partial_y f}{(\partial_y f)^3} \end{eqnarray*}$

hier wurde aber von: $\begin{eqnarray*} f(x,y(x)) \end{eqnarray*}$ ausgegangen, deshalb passt es noch nicht ganz.

für die Form $\begin{eqnarray*} f(x(y),y) \end{eqnarray*}$ erhalte ich wohl das was ich brauche aus dem ersten Beitrag oder?

24.05.2013, 11:09

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Du vermischst hier ganz schrecklich $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Du hast also die Kurve $\begin{eqnarray*} (f(y),y) \end{eqnarray*}$ .
Die Formel für die Krümmung stimmt auch (ich glaube, damit kommst du auf das andere Vorzeichen als in der Aufgabenstellung, aber das ist ja egal).
Als erstes erhältst du aus dem Satz über die ~~Umkehrfunktion~~ (edit: implizite Funktion) eine Formel für $\begin{eqnarray*} f'(y) \end{eqnarray*}$ . Darin kommen dann die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ vor.
Welche ist das?

Anschließend leitest du anhand dieser Formel $\begin{eqnarray*} f'(y) \end{eqnarray*}$ nochmals nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab.

(und vergiss alles ab "Ich habe noch herausgefunden"; das sind ganz andere Variablen, die wohl nur verwirren)

24.05.2013, 11:20

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Also $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ ist ja meine auflösende Funktion für deren Ableitung gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(y) = - \frac{F_y}{F_x} \end{eqnarray*}$

eigentlich lautet die Formel ja immer: $\begin{eqnarray*} f'(x) = - \frac{F_x}{F_y} \end{eqnarray*}$ aber ich muss ja die partiellen Ableitung gerade tauschen oder, weil ich ja: $\begin{eqnarray*} F(f(y),x) \end{eqnarray*}$ und nicht wie üblich: $\begin{eqnarray*} F(x,y(x)) \end{eqnarray*}$ habe.

24.05.2013, 11:23

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Ja, genau.
Das musst du jetzt nochmals nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ableiten.
Schreib dazu statt $\begin{eqnarray*} F_y \end{eqnarray*}$ lieber erstmal explizit $\begin{eqnarray*} F_y(f(y),y) \end{eqnarray*}$ .

24.05.2013, 11:42

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
okay, versuche ich das mal:

$\begin{eqnarray*} f'(y) = - \frac{F_y (f(y),y)}{F_x(f(y,y))} \end{eqnarray*}$ ableiten nach y liefert:

$\begin{eqnarray*} f''(y) = - [ \frac{F_{yy} (f(y),y) \cdot (f'(y),1 ) \cdot F_x (f(y,y) ) - F_y(f(y),y) \cdot F_{yx} (f(y),y)\cdot (f'(y),1)}{F_x(f(y),y)^2} ] \end{eqnarray*}$

ich habe jetzt für den ganzen Quotienten die Quotientenregel verwendet und für:

$\begin{eqnarray*} F_y(f(y),y) \end{eqnarray*}$ die Kettenregel [/l] genau so für: $\begin{eqnarray*} F_x(f(y),y) \end{eqnarray*}$

24.05.2013, 12:06

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Beim Anwenden der Kettenregel lief aber etwas schief.

24.05.2013, 14:03

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
mhh verwirrt

verwirrt

wie leite ich denn dann: $\begin{eqnarray*} F_y(f(y),y) \end{eqnarray*}$ richtig ab?

die äußere Funktion ist doch $\begin{eqnarray*} F_y \end{eqnarray*}$ diese abgeleitet muss doch geben: $\begin{eqnarray*} F_{yy}(f(y),y) \end{eqnarray*}$

was ist denn hier die innere Funktion? Nicht $\begin{eqnarray*} (f(y),y) \end{eqnarray*}$ ??

ahhh - ich schaue mir wohl besser nochmal die verallgemeinerte Kettenregel an..

24.05.2013, 14:07

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Die äußere Funktion $\begin{eqnarray*} F_y \end{eqnarray*}$ hat aber zwei Argumente.

24.05.2013, 14:26

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} F_y(f(y),y) \end{eqnarray*}$ muss ich nach y ableiten. Das liefert

dazu schreibe ich das ganze als: $\begin{eqnarray*} F_y(y_1,y_2) \end{eqnarray*}$ dann gilt nach der verallgemeinerten Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} F_y(f(y),y)' = \partial_{y_1} F_y \cdot \frac{d}{dy}y_1 + \partial_{y_2} F_y \cdot \frac{d}{dy}y_2 \end{eqnarray*}$

dies ist aber gerade:

$\begin{eqnarray*} F_y(f(y),y)' = \partial_{y_1} F_y \cdot f'(y) + F_{yy} \end{eqnarray*}$

es ist ja noch immer: $\begin{eqnarray*} f(y) = x \end{eqnarray*}$ also ist: $\begin{eqnarray*} \partial_{y_1} F_y = F_{xy} \end{eqnarray*}$ oder?

also habe ich: $\begin{eqnarray*} F_y(f(y),y)' = F_{xy} \cdot f'(y) + F_{yy} \end{eqnarray*}$

24.05.2013, 14:35

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R

Zitat:

Original von steviehawk
also habe ich: $\begin{eqnarray*} F_y(f(y),y)' = F_{xy} \cdot f'(y) + F_{yy} \end{eqnarray*}$

Ja, wenn der Strich für $\begin{eqnarray*} \frac\dd{\dd y} \end{eqnarray*}$ steht.

24.05.2013, 14:42

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
ja der Strich soll Ableitung nach y bedeuten. Wenn ich noch $\begin{eqnarray*} f'(y) = - \frac{F_y}{F_x} \end{eqnarray*}$ verwende erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} F_{xy} f'(y) + F_{yy} = F_x F_y (- \frac{F_y}{F_x}) + F_{yy} = - F^2_y + F_{yy} \end{eqnarray*}$

oder?

und jetzt mache ich das eben mit dem ganzen Quotienten

24.05.2013, 14:44

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Wer hat dir denn erzählt, dass $\begin{eqnarray*} F_{xy}=F_xF_y \end{eqnarray*}$ sei? geschockt

geschockt

24.05.2013, 14:49

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
ups.. habe ich mir wohl selber ausgedacht Big Laugh

Big Laugh

es ist aber doch: $\begin{eqnarray*} \partial_{f(y)} = \partial_x \end{eqnarray*}$ und deshalb:

$\begin{eqnarray*} \partial_{f(y)} F_x = \partial_x F_y = F_{xy} \end{eqnarray*}$ oder?

24.05.2013, 14:51

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Was machst du denn da?
Aus dem $\begin{eqnarray*} F_x \end{eqnarray*}$ wurde plötzlich ein $\begin{eqnarray*} F_y \end{eqnarray*}$ ...

Setze $\begin{eqnarray*} f'(y) = - \frac{F_y}{F_x} \end{eqnarray*}$ einfach vernünftig in $\begin{eqnarray*} F_y(f(y),y)' = F_{xy} \cdot f'(y) + F_{yy} \end{eqnarray*}$ ein.
Und schreib noch die gesamte Ableitung $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ auf.

24.05.2013, 15:14

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
okay, jetzt siehts auf dem Papier gar nicht schlecht aus, ich poste mal was ich für die zweite Ableitung raus habe:

$\begin{eqnarray*} f''(y) = (2F_{xy}F_yF_x - F_{yy}F^2_x - F^2_yF_{xx} ) \frac{1}{F^3_x} \end{eqnarray*}$

Mit den Infos die ich aus der Determinantenformel der Krümmung erhalten habe bekomme ich jetzt recht schnell die Formel aus dem ersten Beitrag damit wäre ich endlich fertig!!!

Vielen Dank für deine Unterstützung und deine Geduld Wink

Wink

24.05.2013, 15:20

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Und das kannst du jetzt in die Formel für die Krümmung einsetzen.

24.05.2013, 15:36

steviehawk

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
in der Formel für die Krümmung hatte ich ja: $\begin{eqnarray*} -f''(y) \end{eqnarray*}$ stehen. Ich bekomme jetzt nicht genau das aus der Aufgabenstellung sonder mit einem - davor..

ist das wegen dem (bis auf Vorzeichen) egal?

24.05.2013, 15:41

Che Netzer

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RE: Krümmung einer Linearform, F:R^2 -> R
Ja, wenn das steht, dass du das Ergebnis bis auf Vorzeichen erhalten sollst, ist es natürlich in Ordnung, wenn das Vorzeichen verschieden ist...

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