Verschoben! Gleichung mit trigonometrischen Funktionen

18.05.2013, 00:13

Iomegan

Gleichung mit trigonometrischen Funktionen

Hallo Leute,

wie kann man folgende Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen:
$\begin{eqnarray*} \sin \left( 2x \right)=\cot \left( x \right) \end{eqnarray*}$
Ich stehe etwas auf dem Schlauch wie man bei solchen Funktionen mit trigonometrischen Funktionen generell heran gehen soll. Es ist vermutlich ganz einfach, aber ich habe einfach keinen Ansatz.

Danke
Daniel

18.05.2013, 01:20

mYthos

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Ja, kann man, und das sogar tatsächlich einfach.
Ersetze cot durch cos und sin, multipliziere, bringe die Gleichung auf Null und klammere aus.
Danach kommt der Satz vom Nullprodukt zur Anwendung.

mY+

18.05.2013, 13:59

Iomegan

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Okay, nach deiner Anleitung also ungefähr so:

Ersetze cot durch cos und sin
$\begin{eqnarray*} \sin \left( 2x \right)=\frac{\cos \left( x \right)}{\sin \left( x \right)} \end{eqnarray*}$

Ich habe auch noch $\begin{eqnarray*} sin(2x) \end{eqnarray*}$ ersetzt (laut Paula, Formelsammlung)
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \sin \left( x \right)\cdot \cos \left( x \right)=\frac{\cos \left( x \right)}{\sin \left( x \right)} \end{eqnarray*}$

Dann durch $\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$ teilen und kürzen:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \sin \left( x \right)=\frac{1}{\sin \left( x \right)} \end{eqnarray*}$

multipliziere (mit $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \sin ^{2}\left( x \right)=1 \end{eqnarray*}$

bringe die Gleichung auf Null
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \sin ^{2}\left( x \right)-1=0 \end{eqnarray*}$

Danach kommt der Satz vom Nullprodukt zur Anwendung
Also müsste x undendlich viele lösungen haben, unter anderem
$\begin{eqnarray*} x=\frac{PI}{2},\frac{5PI}{2},\frac{9PI}{2} \end{eqnarray*}$ (Wie schreibt man das ordentlich auf ? )

Kommt das hin ?

Danke
Daniel

19.05.2013, 00:25

mYthos

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Ja, sin(2x) habe ich nicht extra erwähnt, irgend etwas musste ich ja dir auch überlassen Big Laugh

Durch cos(x) kürzen bzw. dividieren, ist a priori nicht erlaubt, denn dieser Ausdruck könnte Null sein. Dadurch verlierst du Lösungen.
Nicht umsonst habe ich dir ja geschrieben, du sollst diesen Faktor ausklammern und Null setzen!

Wenn das erledigt ist, bleibt noch

$\begin{eqnarray*} 2 \sin^2 x = 1 \end{eqnarray*}$

Da hast du offenbar den Satz vom Nullprodukt missverstanden*. Dieser kann nur für Faktoren eines Produktes, welches Null ist, angewandt werden.
Dazu hättest du $\begin{eqnarray*} 2 \sin^2 x - 1 \end{eqnarray*}$ in zwei Faktoren zerlegen müssen/können .., das brauchst du aber hier nicht, denn die obige Gleichung kannst du leicht auf normalen Wege lösen:

$\begin{eqnarray*} 2 \sin^2 x = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin x = \pm \sqrt{\frac 1 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \ldots \end{eqnarray*}$

(*) Mit dem Nullprodukt war der Faktor cos(x) gemeint ...

mY+

20.05.2013, 14:33

Iomegan

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Danke schon mal für die ausführliche Antwort.

Ich verstehe nur noch nicht ganz wie du von
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \sin ^{2}\left( x \right)\cdot \cos \left( x \right)=\cos \left( x \right) \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} 2 \sin^2 x = 1 \end{eqnarray*}$
kommst.

Teilen darf ich nicht, da cos(x) Null sein könnte. Aber ich sehe da auch keinen Faktor, den ich ausklammern könnte so dass nur noch 1 übrig bleib.

Stehe etwas auf dem Schlauch.

Den Rest des Weges habe ich verstanden, nur sollte laut Musterlösung dies rauskommen:
$\begin{eqnarray*} x=\left\{ \frac{PI}{2},\frac{3PI}{2},\frac{PI}{4},\frac{3PI}{4},\frac{5PI}{4},\frac{7PI}{4} \right\} \end{eqnarray*}$

Wie kann das sein?

Gruß
Daniel

20.05.2013, 14:48

Theend9219

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Guten Tag,

du nimmst doch den linken $\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite und dividierst durch $\begin{eqnarray*} cos(x) \end{eqnarray*}$ . Was übrig bleibt ist $\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$ und das ist 1.

Freude

20.05.2013, 14:51

Iomegan

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Ich denke das geht nicht, weil cos(x) Null sein könnte verwirrt

20.05.2013, 17:32

Tesserakt

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Wir können jedoch $\begin{eqnarray*} \cos(x) = 0 \end{eqnarray*}$ als Spezialfall behandeln. Gilt nämlich $\begin{eqnarray*} \cos(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von der Form $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} + \pi k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Und offenbar erfüllt $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{2} + \pi k \end{eqnarray*}$ die Gleichung, denn dann gilt
$\begin{eqnarray*} \sin(2x) = \sin(\pi + 2\pi k) = \sin(\pi) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cot(x) = \frac{0}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Alternativ empfiehlt sich, wie bereits vorgeschlagen, die Anwendung des Satzes vom Nullprodukt.

21.05.2013, 00:33

mYthos

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Zitat:

Original von Iomegan
...
Ich verstehe nur noch nicht ganz wie du von
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \sin ^{2}\left( x \right)\cdot \cos \left( x \right)=\cos \left( x \right) \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} 2 \sin^2 x = 1 \end{eqnarray*}$
kommst.
...

Dividieren soll man deswegen nicht, weil ansonsten eine Lösung verloren geht (nämlich jene der Gleichung cos(x) = 0).

$\begin{eqnarray*} 2 \sin^2 x \cos x = \cos x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \sin^2 x \cos x - \cos x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos x \cdot (2 \sin^2 x - 1) = 0 \end{eqnarray*}$

Und nun setze jeden Faktor gleich Null.

mY+

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