Anordung in Restklassenkoerpern |
| 18.05.2013, 01:00 | GFrege | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Anordung in Restklassenkoerpern Versuchen Sie zu zeigen, dass die Restklassenkoerper modulo p (p ist Primzahl) nicht angeordnet werden koennen. Klar ist schon einmal, dass fuer alle Primzahlen die Restklassen einen Koerper bilden, das nur einmal um eventuelle Fangfragen zu eliminieren. Die angebotenen Loesung lautet: Sei p Primzahl. Dann gilt -1= p-1 im Restklassenkoerper modulo p. Also ist -1 die Summe von p-1 Quadraten: -1= 1^2 + 1^2+...+ 1^2. So lautete die Antwort in der Uebung. Mich verwirrt allerding die -1. Wo kommt die her? Ich meine, dass z.B. im Restklassenkoerper modulo 3 es ja nur drei Elemente gibt: (0) = ..., -6, -3, 0, 3, 6,... (1)= ...,-5, -2, 1, 4,... (2)= ... -7, -4, -1, 2, 5,... Fuer andere Restklassenkoerper analog. Wenn wir also auf einmal von -1 sprechen, dann muss doch die Rede von einem Repraesentanten sein, aber das ist doch eigentlich irrelevant fuer einen Beweis, oder? Ich haette es so gemacht: Fuer alle Restklassenkoerper modulo p (p ist Primzahl) haette ich gesagt, dass immer die Monotonie der Addition verletzt ist, denn es gilt fuer die Addition in Restklassenkoerpern modulo p: Restklasse (p-1) + Restklasse (1) ist immer 0. Aber das widerspricht der Monotonie, die besagt: wenn x>0 und y>0, dann ist auch x+y>0. Was sagt ihr dazu? Wo hapert's mit dem Verstaendnis der gegebenen Loesung und ist mein Beweis ueberhaupt ein echter Beweis oder fehlt da was? |
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| 18.05.2013, 06:30 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Anordung in Restklassenkoerpern hallo, danke für die tolle aufgabe. Am anfang hätte ich beinahe gesagt, ja, dein beweis ist auch richtig, aber die sache hat den haken, dass es ja für jede restklasse mehrere vertreter gibt. Man kann also nicht sagen, dass restklasse von p-1 und resklasse von 1 automatisch immer positiv ist. Richtig hingegen ist der beweis mit den quadraten. Man nutzt dabei aus, dass in einem angeordneten körper ein quadrat immer grösser oder gleich 0 sein muss, die summe von quadraten erst recht, und dann kann das ergebnis nie negativ werden. Eigentlich ein raffinierter trick... gruss ollie3 |
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| 18.05.2013, 09:50 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, ich muss hier ollie3 in ein paar Punkten widersprechen. Dass 1 positiv ist folgt daraus, dass Quadrate positiv sind. Daraus kann man folgern, dass sämtliche Elemente dieses Körpers positiv sind, auch p-1. (wie in der Musterlösung durch Addition) @GFrege D.h. im wesentlichen ist der Musterlösungsbeweis dein Beweis nur sauberer ausgeführt. zu -1=p-1 -1 ist die Bezeichnung für das additiv Inverse von 1 in diesem Ring. Da 1+(p-1)=p=0 ist p-1 das additiv Inverse, aufgrund der Eindeutigkeit von Inversen ist p-1=-1. modulo 3 z.B. 2=-1. Alternativ auch direkt aber die Def. von modulo: Damit gilt immer |
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| 18.05.2013, 18:01 | GFrege | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke erst einmal an die Antworter. Ok, -1 ist das additive Inverse. Das heisst also, dass es in diesen Koerpern sehr wohl einen Negativ-Bereich gibt, naemlich den der additiven Inversen. Ich dachte erst, es gaebe gar keinen negativen Bereich in diesen Restklassenkoerpern, aber der Gedanke ist doch wohl, dass der negative Bereich immer nichts anderes ist als der Bereich der additiven Inversen (sonst waere es ja auch gar kein Koerper, ne wahr?). @watcher Wuerdest Du meinen Beweis akzeptieren. Danke auf jeden Fall euch beiden, schnelle Antworten, gute Erklaerungen! Ein schoenes Wochenende! |
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| 20.05.2013, 08:58 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » |
Prinzipiell würde ich den Beweis akzeptieren, allerdings fehlt mir Schritt in dem 1, p-1 >0 gezeigt wird. |
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