Linearkombination von Vektoren

18.05.2013, 12:55

Printe

Linearkombination von Vektoren

Meine Frage:
Hallo! smile

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Prüfen Sie die Vektoren M C IR^4 auf lineare Unabhängigkeit. Stellen Sie den Vektor u als Linearkombination von M dar (sofern dies möglich ist).

M= {(1/1/2/-4), (0/1/-2/1), (2/3/0/-5), (2/-3/0/1)}
u= (1/2/a/-2), a Element IR.

Meine Ideen:
was ich bereits gemacht habe, ist, die vier Vektoren von M auf lineare Abhängigkeit zu prüfen mithilfe eines LGS (Matrix A). Beim Bilden der Stufenform komme ich darauf, dass rg(A)=3<n=4 ist, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen. Ergo: die Vektoren sind linear abhängig. Ich habe einen Parameter (t) eingeführt und komme zu folgender Lösung:
t* (12, 12, -7, 1)
->{w1, w2, w3, w4} - linear abhängig.

Nun habe ich ein Problem mit dem 2. Teil der Aufgabe - ich soll u als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. Kann ich das überhaupt, wenn ich schon festgestellt habe, dass diese voneinander abhängig sind? Oder muss ich einen Vektor rausschmeißen?

Ich habe wieder eine Matrix aufgestellt, nur diesmal sollen die Vektoren ja nicht den Nullvektor ergeben, sondern u.
Bis hierhin bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
rechts kommt noch die Spalte mit (1/1/1/a+1) (sry hab diese Form der Matrix beim Editor nicht gefunden^^)

Nun habe ich gedacht, eine Fallunterscheidung für a wäre angebracht. Also erstmal a=-1. Dann ergibt sich wieder eine unterdeterminierte Matrix mit der Lösung
t* (12/12/-7/1) + (0/0.5/0.5/0)

Ich weiß nicht ,wie ich dieses Ergebnis interpretieren soll? Was mache ich jetzt damit? Oder war das schon der falsche Schritt? Und wie sieht das für a /= -1 aus?

Danke schonmal für die Hilfe smile

18.05.2013, 14:29

DerJFK

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Linearkombination von Vektoren
Hallo,

du hast ja bereits das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} Mx=u \end{eqnarray*}$ aufgestellt (wobei M die Basisvektoren als Spalten enthält)

Du hast als Lösung eine Gerade bekommen (bzw. einen Unterraum), was passiert denn wenn du einen beliebigen Punkt aus diesem Unterraum mit der Matrix M multiplizierst?

19.05.2013, 12:31

Printe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Linearkombination von Vektoren
keine Ahnung?! steh grad voll aufm schlauch unglücklich

19.05.2013, 15:54

DerJFK

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest es doch auch einfach mal für ein bzw. zwei Punkte testen?!

Jetziger Stand: Du hast das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} Mx=u \end{eqnarray*}$

gelöst und als Lösung $\begin{eqnarray*} x=v+t\cdot r \end{eqnarray*}$ bekommen, wobei $\begin{eqnarray*} v,r \in \mathbb{R}^4, \ t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Die Vektoren v und r hast du ja selbst bestimmt und jetzt wählst du mal zwei verschiedene t. So bekommst du ja zwei Verschiedene Vektoren

$\begin{eqnarray*} v + t_1 \cdot r = w_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v+t_2 \cdot r=w_2 \end{eqnarray*}$

Jetzt berechnest du $\begin{eqnarray*} M \cdot w_i = ? \end{eqnarray*}$ für i=1 und i=2.

Implizit habe ich jetzt schon geschrieben was raus kommt,

$\begin{eqnarray*} M(v+t\cdot r)=u, \ \forall t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Denn gerade das war ja die Lösung deines Gleichungssystems.

Noch zu den anderen Fragen:

Zitat:

Falscher Schritt...

-> Nein, du hast das Gleichungssystem richtig gelöst

Zitat:

was ist mit $\begin{eqnarray*} a\not=-1 \end{eqnarray*}$

-> setzte doch mal einen anderen Wert wie a=-1 (z.b. a=0) ein und betrachte das System. Kann das System dann überhaupt noch eine wahre Aussage liefern?

Zitat:

ich soll u als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. Kann ich das überhaupt, wenn ich schon festgestellt habe, dass diese voneinander abhängig sind?

-> Ich kann auch aus zwei Linear abhängige Vektoren eine Linearkombination erstellen. Wieso meinst du, dass man sie nicht mehr kombinieren kann? Ich verstehe nicht ganz was du da meinst.

Anmerkung:

Vielleicht mal eine kleine Anmerkung was eine Matrix Vektormultiplikation ist:

Seien $\begin{eqnarray*} m_1,...,m_n \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , n verschiedene Vektoren. Eine Linearkombination dieser Vektoren ist

$\begin{eqnarray*} v=\sum_{i=1}^n m_i \cdot x_i , \ x_i \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Diese Summe kannst du eben jetzt auch als Matrix Vektor Multiplikation schon, in dem du alle Vektoren $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ als die Spalten der Matrix aufasst und die Faktoren $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ in einen Spaltenvektore schreibst.

$\begin{eqnarray*} v=\sum_{i=1}^n m_i \cdot x_i = M x = \begin{pmatrix} m_1 & \cdots & m_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vielleicht hilft dir dies auch noch dazu dein Ergebnis zu interpretieren, denn dein Ziel ist es ja eine Linearkombination des Vektors $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ zu finden.

19.05.2013, 20:01

Printe

Auf diesen Beitrag antworten »

danke auch hier smile

also ja, das LGS habe ich zwar richtig gelöst. Aber ich weiß nicht was ich mit dem ERgebnis anfangen soll. Ist das jetzt u? Oder muss ich das noch irgendwo einsetzen? Was genau ist t* (12/12/-7/1) + (0/0.5/0.5/0)?
Also ist das schon meine Linearkombination, oder muss ich das noch mit M multiplizieren (wie du geschrieben hast)? (drehe ich mich dann nicht im Kreis? Big Laugh

)

okay, also ich dachte vll., dass, wenn ich eine Menge an Vektoren betrachte, von denen mind. linear abhängig ist von einem anderen, ich genau diesen Vektor streng genommen ja auch nicht mehr brauche, weil er ja in gewisser Weise in den anderen schon enthalten ist. Um u zu erzeugen, wäre dann irgendein Vektor von den gegebenen "überflüssig". Ich hab diesen Sachverhalt mehrmals gegooglet, um zu verstehen was eine Linearkombination ist (dachte bisher, dass es sich dabei immer um Vielfache handelt, aber das ist ja nur bei Geraden der Fall), und da bin ich immer nur auf den Fall gestoßen, dass man die LK aus "drei linear unabhängigen Vektoren" erzeugen kann. Und in der Aufgabenstellung hat mich zusätzlich das "soweit möglich" irritiert. Was soll das denn heißen, bzw. wann wäre das nicht mehr möglich?

Vielleicht kannst du meinem langsam arbeitenden Hirn noch etwas auf die Sprünge helfen Augenzwinkern

19.05.2013, 20:46

DerJFK

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

um zu verstehen was eine Linearkombination ist (dachte bisher, dass es sich dabei immer um Vielfache handelt, aber das ist ja nur bei Geraden der Fall), und da bin ich immer nur auf den Fall gestoßen, dass man die LK aus "drei linear unabhängigen Vektoren" erzeugen kann.

Ich habe ebenfalls mal kurz gegoogelt, weil mich das doch sehr irritiert. Hier mal mein erster Treffer (wikipedia)

Linearkombination

Das ist genau meine Definition wenn du als Vektorraum den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ wählst. Es ist in erster Linie einfach nur die Summe einer Menge von Vektoren, wobei die Vektoren jeweils durch ein Skalar verändert werden dürfen.

Zitat:

also ja, das LGS habe ich zwar richtig gelöst. Aber ich weiß nicht was ich mit dem ERgebnis anfangen soll. Ist das jetzt u? Oder muss ich das noch irgendwo einsetzen? Was genau ist t* (12/12/-7/1) + (0/0.5/0.5/0)? Also ist das schon meine Linearkombination, oder muss ich das noch mit M multiplizieren (wie du geschrieben hast)? (drehe ich mich dann nicht im Kreis? )

Auf Papier hattest du dir dann sicher dein LGS so aufgeschrieben,

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\left.\begin{matrix} e \\ f\end{matrix} \right) \end{eqnarray*}$ , oder? (ist eben ein minimalbeispiel)

So und das ist eben das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|\left.\begin{matrix} e \\ f\end{matrix} \right) \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \Leftrightarrow x_1 \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist das, was ich dir oben erklären wollte. Was wird dann deine Lösungsmenge sein? Schaue dir dazu nochmal genau die Gleichungen an die ich dir oben hingeschrieben habe.

Offenbar weißt du ja wie man ein LGS löst, nur es scheint du weißt nicht was du löst. Hoffe die obige Darstellung hilft dir das zu verknüpfen.

19.05.2013, 21:15

Printe

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also ich habe es jetzt so verstanden:

Mx=u ist mein Gleichungssystem. Verstehe ich, weil ich möchte ja u irgendwie mit den Vektoren aus M ausdrücken, und dafür suche ich x. Danach habe ich aufgelöst, und nun erhatle ich x= t*(.....) + (0/0.5/0.5/0).
Dann würde ich schreiben: (u als Linearkombination von M): u= [t*(....) + (0/...../0) ] * M.

ich glaub dann hab ichs gecheckt. Big Laugh

Danke!