Orientierung Tangente der Evolute

18.05.2013, 13:05

Sway

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Orientierung Tangente der Evolute

Hallo,

ich habe eine reguläre, ebene $\begin{eqnarray*} C^3 \end{eqnarray*}$ -Kurve mit nicht verschwindender Krümmung: $\begin{eqnarray*} c: I -> R^2 \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist:
Ist $\begin{eqnarray*} c(t_0) \end{eqnarray*}$ ein Scheitelpunkt, so wechselt die Tangente der Evolute $\begin{eqnarray*} \gamma_c \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ die orientierte Richtung und $\begin{eqnarray*} \gamma_c \end{eqnarray*}$ ist bei $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ nicht regulär.

Also ich habe mir schon einige Gedanken dazu gemacht:

Scheitelpunkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow k'(t_0) = 0 \end{eqnarray*}$

Evolute: $\begin{eqnarray*} \gamma_c = c(t) + \frac{n(t)}{k(t)} \end{eqnarray*}$

Tangente: $\begin{eqnarray*} \gamma'_c = -\frac{k'(t)}{k^2(t)}n(t) \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} k'(t_0) = 0 \Rightarrow k(t_0) = konst \end{eqnarray*}$ und nach Vorauss. ungleich 0.

Meine Frage: wie zeige ich jetzt den Orientierungswechsel? Normalerweise gibt die Krümmung Auskunft über die Orientierung oder? Aber die Tangente wird doch schon durch die Krümmung beschrieben...
Der Normalenvektor steht parallel zur Tangente, viel. könnte man auch damit was anfangen?

Hat hier bitte jemand einen Tipp für mich?

18.05.2013, 13:17

Che Netzer

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RE: Orientierung Tangente der Evolute

Zitat:

Original von Sway
Tangente: $\begin{eqnarray*} \gamma'_c = -\frac{k'(t)}{k^2(t)}n(t) \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist alles gut – das ist allerdings nicht der normierte Tangentialvektor.
Nun sind Scheitelpunkte ja gerade die Extrema der Krümmung, d.h. deren Ableitung hat einen Vorzeichenwechsel.

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} k'(t_0) = 0 \Rightarrow k(t_0) = konst \end{eqnarray*}$ und nach Vorauss. ungleich 0.

Das ist Unsinn.
Erkennst du selbst, wieso?

18.05.2013, 13:34

Sway

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Hi

Augenzwinkern

Ok, danke!

Also heißt das, dass ich die Norm der Tangente brauche?

Zu 2.: hm, ja wahrscheinlich, weil die Krümmung keine Zahl zu sein braucht oder?

18.05.2013, 13:37

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Also heißt das, dass ich die Norm der Tangente brauche?

Ja, du solltest $\begin{eqnarray*} \frac{c'}{\lvert c'\rvert} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Zitat:

Zu 2.: hm, ja wahrscheinlich, weil die Krümmung keine Zahl zu sein braucht oder?

Wie ist das denn zu verstehen?
Die Krümmung ist eine Funktion; ihre Funktionswerte sind (reelle) Zahlen.

18.05.2013, 13:54

Sway

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Ja das meinte ich, sorry, hab ich falsch gedacht..

Zitat:

Original von Che Netzer
Ja, du solltest $\begin{eqnarray*} \frac{c'}{\lvert c'\rvert} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Und wieso? Der normierte Tangentialvektor ist so definiert oder?
Wieso von c, brauche ich nicht die Tangente der Evolute?

18.05.2013, 13:58

Che Netzer

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Ah ja, natürlich.
Also $\begin{eqnarray*} \frac{\gamma_c'}{\lvert\gamma_c'\rvert} \end{eqnarray*}$ smile

smile

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18.05.2013, 21:45

Sway

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Ok, kannst du mir erklären warum ich den normierten Tangentialvektor brauche? Warum reicht hier der "normale" nicht?

Und wie kann ich den berechnen, ohne genaue Auskünfte über die Kurve bzw. Krümmung, $\begin{eqnarray*} \gamma_c' \end{eqnarray*}$ habe ich ja bereits...sonst nimmt man ja die Wurzel der Summe der Quadrate der Komponenten..?

18.05.2013, 21:47

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Ok, kannst du mir erklären warum ich den normierten Tangentialvektor brauche? Warum reicht hier der "normale" nicht?

Der normierte ist eigentlich der "normale"...

Zitat:

Und wie kann ich den berechnen, ohne genaue Auskünfte über die Kurve bzw. Krümmung, $\begin{eqnarray*} \gamma_c' \end{eqnarray*}$ habe ich ja bereits...sonst nimmt man ja die Wurzel der Summe der Quadrate der Komponenten..?

Naja, wie sieht denn $\begin{eqnarray*} \lvert\gamma_c'\rvert \end{eqnarray*}$ aus?

18.05.2013, 21:57

Sway

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Ist der normierte Tangentialvektor das selbe wie die Normale zur Tangente?

18.05.2013, 22:05

Che Netzer

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Nein!
Der normierte Tangentialvektor ist die Ableitung der Kurve geteilt durch deren Norm.
Die Normale zum Tangentialvektor ist der um $\begin{eqnarray*} \frac\pi2 \end{eqnarray*}$ gedrehte Tangentialvektor.

18.05.2013, 22:14

Sway

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Ok danke, wollte das nur mal für mich klarstellen..

Also der normierte Vektor ist der Einheitsvektor, der in die selbe Richtung wie der Vektor selbst zeigt.

19.05.2013, 10:08

Sway

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Also, ich hab mir folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} \gamma_c' = -\frac{k'}{k^2}n \end{eqnarray*}$

Das ist ja kein Vektor oder? Die Krümmung ist ja eine Funktion, dann brauche ich hier ja gar nicht die Norm, sondern nur den Betrag:

$\begin{eqnarray*} |\gamma_c'| = \frac{k'}{k^2}n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{\gamma_c'}{|\gamma_c'|} = 1 \end{eqnarray*}$

Ergibt das Sinn?

Andererseits habe ich ja noch $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k'(t_0)=0 \end{eqnarray*}$ . Dann müsste ja auch $\begin{eqnarray*} \gamma_c' = 0 \end{eqnarray*}$ sein oder?

19.05.2013, 10:10

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
$\begin{eqnarray*} \gamma_c' = -\frac{k'}{k^2}n \end{eqnarray*}$

Das ist ja kein Vektor oder?

Natürlich ist das ein Vektor!
Und zwar der Normalenvektor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ skaliert um $\begin{eqnarray*} -\frac{\kappa'}{\kappa^2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Dann müsste ja auch $\begin{eqnarray*} \gamma_c' = 0 \end{eqnarray*}$ sein oder?

Genau das ist (an der Stelle $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ ) zu zeigen.

19.05.2013, 10:25

Sway

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Ups, sorry klar, ist ja der Tangential-vektor! Da kann ich nicht nur mit der Krümmung arbeiten..

Wieso ist das erst zu zeigen? Das ist doch die Voraussetzung oder? Der Scheitelpunkt ist ja ein Extrema der Krümmung, also ist die Ableitung der Krümmung in diesem Punkt 0. Da $\begin{eqnarray*} \gamma_c' = -\frac{k'}{k^2}n \end{eqnarray*}$ müsste ja auch $\begin{eqnarray*} \gamma_c' = 0 \end{eqnarray*}$ sein??

Aber das ergibt ja keinen Sinn, weil ja dann auch egal wäre, ob normiert oder nicht...

19.05.2013, 10:28

Che Netzer

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Die Folgerung solltest du aber durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ deutlich machen.
Bisher sieht es so aus, als würdest du folgern, dass $\begin{eqnarray*} \gamma_c' \end{eqnarray*}$ konstant Null ist.
Besser wäre $\begin{eqnarray*} \gamma_c'=\dotso=0 \end{eqnarray*}$ .

Und normieren solltest du den Tangentialvektor nur, um ganz deutlich sehen zu können, dass er seine Orientierung ändert.

19.05.2013, 10:50

Sway

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Also $\begin{eqnarray*} c(t_0) \end{eqnarray*}$ Scheitelpunkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow k'(t_0) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma_c'(t) = -\frac{k'(t)}{k(t)^2}n(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma_c'(t_0) = -\frac{k'(t_0)}{k(t_0)^2}n(t_0) = -\frac{0}{k(t_0)^2}n(t_0) = 0 \end{eqnarray*}$

Besser?

Aber was hat das jetzt mit einem Vorzeichenwechsel zu tun? Dann brauche ich den normierten Tangentialvektor eh nicht mehr oder?

19.05.2013, 10:54

Che Netzer

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Mit einem Vorzeichenwechsel hat das bisher noch nichts zu tun.

Jetzt musst du aber noch begründen, warum die Orientierung an $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ wechselt.

19.05.2013, 11:15

Sway

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Also die Frage der Regularität hat sich somit auf jeden Fall schon mal beantwortet!

Und die Tangente der Evolute steht normal auf der Kurve c. Hilft mir das?

19.05.2013, 11:16

Che Netzer

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Nein.
Wie gesagt: Am besten siehst du den Orientierungswechsel, wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{\gamma_c'}{\lvert\gamma_c'\rvert} \end{eqnarray*}$ bestimmst.

19.05.2013, 11:32

Sway

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Versteh ich nicht, wenn

$\begin{eqnarray*} \gamma_c' = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch auch $\begin{eqnarray*} \frac{\gamma_c'}{|\gamma_c'|} = 0 \end{eqnarray*}$

Achso, aber nur für $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ , meinst du das?

Wie berechne ich $\begin{eqnarray*} |\gamma_c'| \end{eqnarray*}$ ?? Das müsste doch irgendwie so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} \end{eqnarray*}$

19.05.2013, 11:35

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
$\begin{eqnarray*} \gamma_c' = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch auch $\begin{eqnarray*} \frac{\gamma_c'}{|\gamma_c'|} = 0 \end{eqnarray*}$

Die erste Gleichung gilt ja eben nur an einer einzigen Stelle. Und in der zweiten teilst du durch Null geschockt

geschockt

Zitat:

Wie berechne ich $\begin{eqnarray*} |\gamma_c'| \end{eqnarray*}$ ?? Das müsste doch irgendwie so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} \end{eqnarray*}$

Setze einfach $\begin{eqnarray*} \gamma_c' \end{eqnarray*}$ in die Normstriche und nutze die Eigenschaften der Norm, um zu vereinfachen.

19.05.2013, 12:04

Sway

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$\begin{eqnarray*} ||\gamma_c'|| = ||-\frac{k'}{k^2}n|| = ||\frac{k'}{k^2}n|| = |\frac{k'}{k^2}|\cdot||n|| \end{eqnarray*}$

Darf man das, bin mir nicht sicher, normalerweise hat man einen Skalar und einen Vektor...

19.05.2013, 12:08

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
normalerweise hat man einen Skalar und einen Vektor...

Was meinst du damit?

Aber ja, das darf man so machen. Und was ist $\begin{eqnarray*} \lVert n\rVert \end{eqnarray*}$ ?

19.05.2013, 12:18

Sway

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$\begin{eqnarray*} ||n|| = ||J\cdot c'|| = J |c'| \end{eqnarray*}$ ?

19.05.2013, 12:28

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ ist eine Matrix.
Und nein, es muss nicht $\begin{eqnarray*} n=Jc' \end{eqnarray*}$ gelten, denn es wurde nicht gesagt, dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nach Bogenlänge parametrisiert ist.

19.05.2013, 12:47

Sway

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Ach, das gilt wieder nur nach Bogenlänge parametrisierte Kurven...habs nochmal nachgeschlagen, aber wir haben die Normale nur so definiert..

Hat das was mit der 2. Ableitung zu tun?

19.05.2013, 12:57

Che Netzer

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geschockt

Welche Norm $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben, muss eigentlich ohne nachdenken zu müssen klar sein!

Was wäre denn eine sinnvolle Norm, mit der man gerne rechnen würde?

19.05.2013, 15:08

Sway

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Naja 1, aber das habe ich ausgeschlossen, weil das der Fall wäre, wenn die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist.

19.05.2013, 15:10

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist so definiert, dass die Norm davon Eins ist.

19.05.2013, 15:13

Sway

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Immer? Auch, wenn c nicht nach Bogenlänge param. ist?

19.05.2013, 15:17

Che Netzer

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Ja.
Es ist $\begin{eqnarray*} t=\frac{c'}{\lvert c'\rvert} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=Jt \end{eqnarray*}$ für reguläre Kurven $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

19.05.2013, 15:40

Sway

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Gut, danke, jetzt weiß ich das auch...

Dann bleibt mir also noch:

$\begin{eqnarray*} ||\gamma_c' || = |\frac{k'}{k^2}| = \frac{k'}{k^2} \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} \frac{\gamma_c'}{|\gamma_c'|} = \frac{-\frac{k'}{k^2}n}{\frac{k'}{k^2}} = -n \end{eqnarray*}$

19.05.2013, 15:42

Che Netzer

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Es ist aber nicht $\begin{eqnarray*} \lvert k'\rvert=k' \end{eqnarray*}$ .
Am Ende erhältst du also (für $\begin{eqnarray*} t\neq t_0 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} -\frac{k'}{\lvert k'\rvert}n=-\operatorname{sgn}(k')n\,. \end{eqnarray*}$
Erkennst du jetzt den Orientierungswechsel?

19.05.2013, 16:02

Sway

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Nein, weil das ja für $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ wieder 0 ist???

19.05.2013, 16:05

Che Netzer

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Es geht aber um eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ .
Und in $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} k' \end{eqnarray*}$ einen Vorzeichenwechsel.

19.05.2013, 16:08

Sway

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Danke, aber das kapier ich nicht...

Wenn das 0 wird, dann gibt es doch überhaupt kein Vorzeichen unglücklich

unglücklich

19.05.2013, 16:13

Che Netzer

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In $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ findet ja auch ein Vorzeichenwechsel statt.
D.h. "kurz vor $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ " hat $\begin{eqnarray*} k' \end{eqnarray*}$ ein anderes Vorzeichen als "kurz nach $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ ".

Vorzeichenwechsel stetiger Funktionen können natürlich nur in Nullstellen zu finden sein.

19.05.2013, 16:16

Sway

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Und woher weiß ich das??

19.05.2013, 16:19

Che Netzer

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Woher weißt du was?

19.05.2013, 17:23

Sway

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Zitat:

Original von Che Netzer
Vorzeichenwechsel stetiger Funktionen können natürlich nur in Nullstellen zu finden sein.

Das sie stetig ist, ich schätze du meinst die Krümmung.. und das dies nur in Nullstellen der Fall ist..

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