Polarkoordinaten ableiten

18.05.2013, 13:05

daniel22

Polarkoordinaten ableiten

Meine Frage:
Hallo

Ich soll die in Polarkoordinaten dargestellte Form ableiten.
Da muss man doch zuerst die x und y Komponente hinschreiben und diese jeweils ableiten, oder?

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{cos(2\phi)} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich für die x und y Komponente jeweils:

$\begin{eqnarray*} x=cos(\sqrt{cos(2\phi)}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=sin(\sqrt{cos(2\phi)}) \end{eqnarray*}$

Dann die beiden Komponenten ableiten und so einsetzen:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{y`}{x`} \end{eqnarray*}$

Aber bevor ich hier weitermache, möchte ich erst wissen ob das soweit stimmt.

18.05.2013, 13:13

zyko

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RE: Polarkoordinaten ableiten

Zitat:

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{cos(2\phi)} \end{eqnarray*}$

Da
$\begin{eqnarray*} x=r\cos(\phi)=\sqrt{cos(2\phi)}\cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=r\sin(\phi)=\sqrt{cos(2\phi)}\sin(\phi) \end{eqnarray*}$
Eine kleine Zeicnung kann hier hilfreich sein.

Dann die beiden Komponenten ableiten und so einsetzen:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{dy}{dx}= \frac{\frac{dy}{d\phi}}{\frac{dx}{d\phi}}=\frac{y`}{x`} \end{eqnarray*}$

18.05.2013, 16:38

daniel22

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RE: Polarkoordinaten ableiten
Habe die Ableitung herausbekommen.

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{sin(2\phi)\cdot sin(\phi)-cos(\phi)\cdot cos(2\phi)}{cos(\phi)\cdot sin(2\phi)+sin(\phi)\cdot cos(2\phi)} \end{eqnarray*}$

Wie finde ich jetzt heraus wo die senkrechten und waagerechten Tangenten sind?

Und für welche Werte von Phi ergibt sich für die Funktion ein sinnvoller Abstand r vom Ursprung?

18.05.2013, 17:39

Rabbi

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RE: Polarkoordinaten ableiten

Zitat:

Original von daniel22
Habe die Ableitung herausbekommen.

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{sin(2\phi)\cdot sin(\phi)-cos(\phi)\cdot cos(2\phi)}{cos(\phi)\cdot sin(2\phi)+sin(\phi)\cdot cos(2\phi)} \end{eqnarray*}$

Wie finde ich jetzt heraus wo die senkrechten und waagerechten Tangenten sind?

1. Waagerechte Tangenten y'=0 => Zähler = Null
2. Senkrechte Tangenten y'= $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ => Nenner = Null

Zitat:

Und für welche Werte von Phi ergibt sich für die Funktion ein sinnvoller Abstand r vom Ursprung?

18.05.2013, 18:46

daniel22

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RE: Polarkoordinaten ableiten
Aber wie finde ich die einfach heraus? Geht das nur durch rumprobieren und einsetzen?
Ich weis laut Buch, dass 30° schonmal eine Lösung ist.

So stehts auf meinem Blatt. Aber was meint er damit?
Für welche Werte von Phi ergibt sich für die folgende in Polarkoordinaten dargestellte Lemniskate ein sinnvoller Abstand r vom Ursprung?

Edit: Ich nehme mal an, der Radius muss von rechts und links maximal sein.
Also zwei Werte für Phi, oder? Das wäre ja der Radius von den zwei Kreisen.

19.05.2013, 12:36

zyko

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RE: Polarkoordinaten ableiten
Mit den Additionstheoremen von sin und cos:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{sin(2\phi)\cdot sin(\phi)-cos(\phi)\cdot cos(2\phi)}{cos(\phi)\cdot sin(2\phi)+sin(\phi)\cdot cos(2\phi)}=\\<br /> \frac{-\cos(3\phi)}{\sin(3\phi)} \end{eqnarray*}$
Horizontale Tangenten
$\begin{eqnarray*} y'=0<br /> \end{eqnarray*}$
Vertikale Tangenten
$\begin{eqnarray*} y'=\pm\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Für welche Werte von Phi ergibt sich für die folgende in Polarkoordinaten dargestellte Lemniskate ein sinnvoller Abstand r vom Ursprung?

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{\cos(2\phi)} \end{eqnarray*}$
Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist dieser Ausdruck reell, also das Wurzelargument größer/gleich 0?
Vergiss nicht die Periodizität des cos.
Achtung: Es gibt zwei Intervalle!

19.05.2013, 13:25

daniel22

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RE: Polarkoordinaten ableiten
Hab alles raus.
Aber wie kommt man genau auf den Schritt des Zusammenfassens durch die Additionstheoreme?
Hab mir die mal angeschaut und würde da nicht drauf kommen.

Für die letzte Teilaufgabe habe ich phi=0 und phi=pi.
Für beide Werte ergibt sich ein Radius von 1.

19.05.2013, 21:20

zyko

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RE: Polarkoordinaten ableiten

Zitat:

Aber wie kommt man genau auf den Schritt des Zusammenfassens durch die Additionstheoreme?
Hab mir die mal angeschaut und würde da nicht drauf kommen.

Auswendig lernen, üben und Erfahrung.

Zitat:

Für die letzte Teilaufgabe habe ich phi=0 und phi=pi.
Für beide Werte ergibt sich ein Radius von 1.

Nein.

Für
$\begin{eqnarray*} \phi \in \left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right] \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \phi \in \left[\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right] \end{eqnarray*}$
gilt
$\begin{eqnarray*} \cos(2\phi) \geq 0 \end{eqnarray*}$
und die Wurzel liefert einen zulässigen Wert.
$\begin{eqnarray*} \cos(2\phi) \end{eqnarray*}$
hat die Periode $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

19.05.2013, 22:05

daniel22

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RE: Polarkoordinaten ableiten
Achso. Dann geht's hier nur um den Definitionsbereich.
Ich hab den Graphen vor mir. Ich dachte nur, weils beim Radius 1 die beiden "Kreise" beschreibt.

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