Vereinfachung eines Kurvenintegrals

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12345678 Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinfachung eines Kurvenintegrals
Meine Frage:
Hallo!
Ich soll ein Kurvenintegral von f=sin(z) über die Kurve bestimmen.

Nun darf ich nach dem Cauchiyschen Integralsatz ja die Kurve umformen,
meine Idee ist, die Spur der Kurve, die ja eine Spirale ist, gerade zu machen.

Das würde ich dadurch machen, dass ich jedem Punkt auf der Spur die Länge der Kurve bis dahin zuordne.

Dazu muss ich also die Länge der Kurve berechnen.




Meine Ideen:
Aber hier komm ich nicht weiter:
Die Gesamtlänge ist ja



,

aber ab hier komme ich nicht weiter.
Ist das bisher ein richtiger Ansatz?
Gibts vllt. einfachere Möglichkeiten, die Kurve umzuformen?

edit von sulo: Zeilenumbrüche wegen Überbreite des Beitrags eingefügt.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

ahh, mir ist grad eine Idee gekommen! Vielleicht ist es ja einfacher, jedem punkt seinen Abstand zum Nullpunkt zuzuordnen, werd das mal ausprobieren!

Aber hab ich dann noch eine Homotopie?
Und ist das besser als der erste Ansatz?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinfachung eines Kurvenintegrals
Hast du dir schonmal überlegt, einfach die Stammfunktion zu bilden? verwirrt
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, aber weiß nicht wie. Klappt bei sowas vllt. Substitution?

Würde die andere Möglichkeit auch klappen?
Der Abstand eines jeden Punktes vom Nullpunkt ist ja .
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 12345678
ja, aber weiß nicht wie. Klappt bei sowas vllt. Substitution?

Du weißt nicht, wie du die Stammfunktion vom Sinus bilden kannst?

Zitat:
Würde die andere Möglichkeit auch klappen?
Der Abstand eines jeden Punktes vom Nullpunkt ist ja .

Was du da vorhast, ist mir völlig unklar...
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Was die Stammfunktion vom Sinus ist weiß ich schon, aber mir ist nicht klar, wie mich das weiterbringt, bei der Berechnung des Kurvenintegrals.
Ich dachte du meinst das Integral, dass ich am Ende von meinem ersten Beitrag stehen hab.
 
 
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich vorhatte war: Anstelle vom Kurvenintegral bzgl ein Kurvenintegral über eine einfachere, zu homotope Kurve zu berechnen, was nach dem Cauchy-Integralsatz das gleiche ist.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 12345678
Was ich vorhatte war: Anstelle vom Kurvenintegral bzgl ein Kurvenintegral über eine einfachere, zu homotope Kurve zu berechnen, was nach dem Cauchy-Integralsatz das gleiche ist.

Das klingt schon vernünftiger.
Hier wäre die homotope Kurve eine Gerade.

Andererseits hängt bei Funktionen mit Stammfunktion das Kurvenintegral nur vom Anfangs- und Endpunkt ab.
Ist das nicht bekannt?
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

oh, das ist tatsächlich schon bekannt Hammer
Also ist das Kurvenintegral = ?
Wobei ich noch zeigen muss, dass -cos auch vom komplexen sinus eine Stammfunktion ist.

Aber mal angenommen ich will das nicht verwenden:
Was wäre denn eine entsprechende Homotopie, bzw. was wäre ein Ansatz mit dem ich eine Homotopie finden kann?
muriel22 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, sorry, wenn ich störe, aber wie genau ist die Kurve denn eigentlich definiert?
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, hätt ich gleich hinschreiben sollen:
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das eine geeignete homotopie?: ?
muriel23 Auf diesen Beitrag antworten »

und von wo nach wo soll f genau abbilden?
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

f bildet von C nach C ab.
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Besitzt das Vektorfeld hier wirklich eine Stammfunktion?



,

und die Integrabilitätsbedingngen sind m.E. nicht erfüllt, da

und




Sollte ich mich irren, dann entschuldige ich mich für die Störung.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Müsst ihr denn eure Homotopien immer konkret aufschreiben? geschockt
Eigentlich ist einfach zusammenhängend, also sind Kurven mit den gleichen Endpunkten (und gleicher Orientierung) immer homotop.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

@Lurchi_der_Lurch:
Wir sind hier allerdings in , nicht in .

Zitat:
Original von Lurchi_der_Lurch
und die Integrabilitätsbedingngen sind m.E. nicht erfüllt, da

und


Das hier zeigt höchstens, dass eine der Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt ist.
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob ich mich hier so einmischen sollte, wenn ich Fragen habe... und nicht der Threadsteller...


Aber mir ist nicht klar, wie man hier die Wegunabhängigkeit beweisen kann.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gerade die Cauchy-Formel.
Eine direkte Folgerung dieser ist, dass das Integral holomorpher Funktionen über homotope Kurven gleich ist. Und in sind wie gesagt alle Kurven homotop, wenn deren Anfangs- und Endpunkte übereinstimmen. Dann kann man einfach die Stammfunktion des Integranden bilden und diese an den Endpunkten auswerten.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke smile Aber das haben wir noch nicht bewiesen, dass in zusammenhängenden Räumen jede Kurve homotop zu jeder anderen ist, solange Orientierung und Anfangs-und Endpunkt gleich ist. Hat die Homotopie denn gestimmt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt auch nur in einfach zusammenhängenden Räumen, die gerade so definiert sind.

Und deine Homotopie verändert den Endpunkt.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "die gerade so definiert sind"?
Meinst du: Wenn ich in einem einfach zusammenhängenden Gebiet zwei verschiedene Wege mit gleichen Anfangs- und Endpunkten habe, dann kann ich mir den Summenweg betrachten(wobei ich einmal die Orientierung umkehre), dieser ist dann geschlossen, folglich kann ich ihn zu einem Punkt zusammenziehen, also wäre dann zumindest das Kurvenintegral über den Summenweg 0, also das Kurvenintegral über die beiden ursprünglichen Wege gleich.

Aber wieso zeigt mir das, dass sie homotop sind?
Der Cauchy-Integralsatz ist ja keine genau dann wenn Aussage oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Einfach_zus...menh.C3.A4ngend

Und wenn die Differenz zweier Kurven nullhomotop ist, dann sind die beiden Kurven homotop...
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke!
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich verstehe noch nicht, wie man die Wegunabhängigkeit begründet traurig

Und was das mit der Cauchyintegralformel zu tun hat.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lurchi_der_Lurch
Ich weiß nicht, ob ich mich hier so einmischen sollte, wenn ich Fragen habe... und nicht der Threadsteller...


Nein, man sollte sich nicht als weiterer Fragesteller in einen laufenden Thread einmischen.

Übrigens erstaunlich, wie perfekt dein Deutsch in nur 14 Tagen geworden ist, nachdem du anfangs hier auf Englisch unterwegs warst wegen angeblicher Unfähigkeit, auf Deutsch zu schreiben...
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe Hilfe... bei meinem Deutsch!
----

Ich frag trotzdem mal, weil der Thread für den Threadersteller ja erledigt scheint.

Das mit den Integrabilitätskriterien gilt also nur für und nichtfür komplexwertige Funktionen?

Aber wieso? Man kann doch eine komplexwertige Funktion als Vektorfeld in den R^2 auffassen...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Kurvenintegral in ist aber etwas ganz anderes als eines in .
Integriere mal eine Funktion, die konstant bzw. Eins ist, über ein Geradenstück von Null bis bzw. bis .

Auch ist die Ableitung einer Funktion eine Matrix; die einer Funktion wieder eine komplexe Funktion.
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Also um nochmal die Cauchy-Integralform da reinzukriegen:


Diese sagt:

ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet, ist holomorph. Dann gilt ja für jede stückweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve in :

.

Mit anderen Worten:

Wenn f holomorph ist auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet , ist die Differentialform geschlossen (d.h. hat eine Stammfunktion) und deswegen ist die Integration wegunabhängig (bzw. bei geschlossenen wegen: das Integral verschwindet).

---

Angewandt auf diese Aufgabe:

ist einfach zusammenhängend

ist holomorph, denn sie ist in jedem Punkt komplex differenzierbar, Ableitung ist der komplexe .


Daraus folgt: f ist geschlossen, d.h. hat eine Stammfunktion und daraus wiederum folgt die Wegunabhängigkeit. Und man muss also nur das totale Differential bzw. die Stammform an den beiden Endpunkten auswerten.



Ich hoffe, nun habe ich korrekt verstanden, was Du oben damit meintest, dass die Wegunabhängigkeit aus der Cauchyformel folgt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sieht gut aus.
Üblicherweise rechnet man für homotope Kurven , und holomorphes aber einfach
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Dem Fragesteller scheint es klar zu sein, mir noch nicht ganz bzw. ich wüsste es gerne doch nochmal bestätigt:

In den komplexen Zahlen sind also zwei Wege mit den gleichen Start- und Endpunkten und gleicher Orientierung homotop. Okay, das verstehe ich.

Man muss hier also nicht unbedingt über den Weg integrieren, sondern kann auch den Weg wählen?


Und dann (wenn man jetzt mal davon ausgeht, dass man nicht mit der Stammfunktion argumentiert:




(Das ist doch schon einfacher als z.B. auszurechnen, was schon ein wensetlicher längerer Ausdruck gewesen wäre.)



Korrekt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dir ist bei der Kurve ein verlorengegangen; später ist ein fragwürdiges Minus aufgetaucht. Ansonsten stimmt es.
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Ich korrigiere es mal:

Der Weg lautete dann doch aber:



Dann hätte ich aber

.


Aber das stimmt doch nun nicht mit der Integration über den urspürnglichen Weg überein.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ist dir beim Integrieren ein Fehler unterlaufen.
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, stimmt. Jetzt seh' ich es:

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und kannst du natürlich noch ausrechnen Augenzwinkern
Lurchi_der_Lurch Auf diesen Beitrag antworten »

Wo habe ich meine Gedanken, sie sind wohl auf Pfingsturlaub...

Okay, das Integral ist also 2.


Danke für die Hilfen und ich entschuldige mich dafür, dass ich mich in diesen Thread so mit meinen eigenen Fragen eingemischt habe - aber ich habe viel gelernt.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt doch nochmal eine Frage:
Die Argumentation war ja: Von zwei Kurven mit gleichen Anfangs- und Endpunkten und gleicher Orientierung können wir den Summenweg bilden (davor drehen wir bei einem Weg die Orientierung um) dann erhalten wir einen geschlossenen Weg, der sich zu einem Punkt zusammenziehen lässt, da der Raum einfach zusammenhängedn ist.
Also ist die Differenz der beiden Wege nullhomotop, also sind sie homotop.

Im letzten Schritt haben wir dabei verwendet, dass Wege, deren Differenz nullhomotop ist, homotop sind.
Aber wie zeigt man das?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, ihr dürft verwenden, dass einfach zusammenhängend ist, d.h. dass jede geschlossene Kurve darin zu einem Punkt zusammenziehbar ist.
Im Beweis dazu kann man oder sowas betrachten.

Ansonsten kannst du aus dem Cauchy-Integralsatz halt auch direkt folgern, dass die Integrale über beide Kurven gleich sein müssen, ohne über Homotopie zu argumentieren.
12345678 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Argumentation ohne konkret über Homotopie zu gehen wäre dann ja:
, woraus die Gleichheit folgt und wobei in die erste Gleichheit eingeht, dass der Summenweg geschlossen ist, dass die Orientierung gleich ist, und dass C einfach zusammenhängend ist und dass wir f analytisch annehmen.

Aber unabhängig davon ist mir noch nicht klar, wie aus Differenz ist nullhomotop folgt, dass die beiden wege homotop sind. Denn beispielsweise für die Betrachtung von nicht analytischen Funktionen kann ich ja nicht über den Cauchy-integralsatz argumentieren?
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