Definitheit aufgrund Eigenwerte bestimmen

18.05.2013, 16:37	Erak	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitheit aufgrund Eigenwerte bestimmen In keiner meiner Skripten kommt das vor, dass ich durch Bestimmen der Eigenwerte auf due Definitheit der Quadratischen Form komme. Trotzdem sagte uns gestern der Übungsleiter, dass man da so macht. Aber was wären dann die Bedingungen dafür? Also wenn Eigenwerte alle pos -> pos definit, wenn alle negativ -> negativ definit? Woher kann ich das überhaupt wissen? Soweit ich weiß gibt es eine Vielzahl von Eigenwerten, die ich nicht alle mit der det(charakteritisches Poylnom) = 0 herausfinden kann. Liege ich da im allgemeinen Fall nicht richtig?
18.05.2013, 16:48	Theend9219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definitheit aufgrund Eigenwerte bestimmen Falls $\begin{eqnarray} \lambda_{i} \end{eqnarray}$ die EW einer Matrix sind dann gelten folgende "Axiome" (i) eine Matrix ist positiv definit, wenn $\begin{eqnarray} \forall \lambda_{i} > 0 \end{eqnarray}$ (ii) eine Matrix ist positiv semidefinit, wenn $\begin{eqnarray} \forall \lambda_{i} \geq 0 \end{eqnarray}$ (iii) eine Matrix ist positiv semidefinit, wenn $\begin{eqnarray} \forall \lambda_{i} < 0 \end{eqnarray}$ (iv) eine Matrix ist negativ semidefinit, wenn $\begin{eqnarray} \forall \lambda_{i} \leq 0 \end{eqnarray}$
18.05.2013, 17:08	Erak	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist dann: $\begin{eqnarray} Q(x,y,z)=-x^2+4xy+2xz-y^2+4yz-z^2 \end{eqnarray}$ indefinit? Der Eigenwert ist -1, und trotzdem ist Q aber indefinit.
19.05.2013, 10:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Kriterium über die Eigenwerte greift nur bei symmetrischen Matrizen. (Ansonsten ist im Beitrag von Theend9219 natürlich noch eine kleine Verwechslung geschehen; Punkt drei liefert negative Definitheit) Was "Der Eigenwert ist -1" heißen soll (welcher Eigenwert?), ist mir unklar.

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