Abstand mit Differenzfunktion

18.05.2013, 16:55

Kth

Abstand mit Differenzfunktion

Meine Frage:
Hallo,

ich soll den kleinsten Abstand zweier Funktionen berechnen mit der Differenzfunktion.
Soweit hab ich alles verstanden und weiß auch wie das funktioniert.

Die Funktionen sind:

f(x)= 1/4x^2 + 1 und g(x)= -1/4x^2+x

Meine Frage:
Es muss doch auch einen größten Abstand geben. Ich kann aber nur den TP berechnen..Wieso? und wie kommt man auf den größten Abstand?

Meine Ideen:
die Differenzfunktion ist h(x)= 1/2x^2-x+1

es gibt einen Tiefpunkt für x= 1

18.05.2013, 17:19

Kasen75

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Hallo,

deine Differenzfuntion ist $\begin{eqnarray*} 1/2x^2-x+1 \end{eqnarray*}$
Sie hat, wie du schon festgestellt hast, kein relatives Maximum. Somit gibt es auch kein eindeutigen x Wert, bei dem der Abstand der beiden Funktionen maximal ist.

Die Funktion wird maximal, wenn x gegen Unendlich geht und sie wird ebenfalls maximal, wenn x gegen minus Unendlich geht. Dann ist auch der Abstand der beiden Funktionen maximal. Der Abstand geht dann gegen Unendlich.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} 1/2x^2-x+1=\lim_{x \to -\infty} 1/2x^2-x+1=\infty \end{eqnarray*}$

Grüße.

18.05.2013, 17:22

Kth

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könntest du das vielleicht ein bisschen 'einfacher' erklären? ich versteh nicht wirklich was du meinst :S

18.05.2013, 17:56

Kasen75

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Deine Differenzfunktion ist eine noch oben geöffnete Parabel. Das erkennst du daran, dass vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ein positiver Faktor steht. Jetzt musst du dir nur anschaulich klar machen, wann diese maximal wird.

Dazu kannst du einfach mal die Normalparabel, $\begin{eqnarray*} f(x)=\textcolor{red}{1} \cdot x^2 \end{eqnarray*}$ aufzeichnen. Das ist auch eine nach oben geöffnete Parabel, da vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ein positiver Faktor (1) steht.
Wann wird diese maximal ? Du erkennst auf jeden Fall, dass sie kein relatives Maximum hat. Also betrachtest du die Ränder der Funktion. Hier siehst du, dass die Funktion immer größer wird, je größer x wird, aber auch je kleiner x wird. Somit kann man keinen eindeutigen Wert ermitteln, bei dem die Differenzfunktion maximal ist. Die Funktion wird somit nur maximal, wenn $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ .

18.05.2013, 18:00

Kth

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also kann ich das maximum der Differenzfunktion errechnen, wenn ich die Vorzeichen ändere?

also so:

h(x)=-1/2x^2+x-1

Da gibt es ja dann nur einen Hochpunkt?

Gibt es irgendeine Begründung warum das einfach so funktioniert?

danke für deine Antworten smile

18.05.2013, 18:33

Kasen75

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Du kannst nicht einfach die Vorzeichen umdrehen. Bei x=1 ist der Abstand negativ. Abstände sind aber positiv. Somit muss g(x) von
f(x) abgezogen werden, um das Maximum oder Minimum der Abstände zu ermitteln.

Hast du aber einen negativen Abstand und ein Maximum, dann ist es das Minimum bei einem positiven Abstand und somit der minimale Abstand.

Es bleibt also dabei, dass du für das Maximum der (positiven) Differenz dieser beiden Funktionen dir die Ränder anschauen musst.

18.05.2013, 18:43

Kth

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Wenn ich f von g abziehe komme ich auf einen TP und wenn ich g von f abziehe komme ich auf eine HP.

Der Unterschied der Differenzfunktionen sind dann nur die Vorzeichen.

ich verstehe einfach nicht was du meinst mit ich soll mir die Ränder der Funktion anschauen verwirrt

Wieso haben die beiden Funktionen denn keinen eindeutigen HP?

Kann es auch sein, dass es keinen eindeutigen TP gibt ( bei anderen Beispielen)?

18.05.2013, 19:13

Kth

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18.05.2013, 19:34

Kasen75

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Zitat:

Wieso haben die beiden Funktionen denn keinen eindeutigen HP ?

Nicht die Funktionen haben keinen eindeutigen Hochpunkt, sondern die Funktion $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ hat keinen eindeutigen Hochpunkt. Und das ist die nach oben geöffnetet Parabel. Hier kannst du keinen relatives Maximum bestimmen.

Zitat:

Kann es auch sein, dass es keinen eindeutigen TP gibt ( bei anderen Beispielen)?

Sicher. Man müsste sich ein Beispiel überlegen. Es könnten z.B. zwei Funktionen sein, die sich asymptotisch annähern.

Zitat:

ich verstehe einfach nicht was du meinst mit ich soll mir die Ränder der Funktion anschauen

Mit Ränder meine ich hier der die beiden Ränder des Definitionsbereichs.
Diese sind $\begin{eqnarray*} \mathbb{D} = ] -\infty, \infty [ \end{eqnarray*}$

And deiner Zeichnung siehst du, dass es davon abhängt, welche funktion du von welcher abziehst, ob du ein Maximum bekommst oder ein Minimum.

Du bekommst z.B. ein Maximum wenn der Abstand zwischen den beiden Fuktionen negativ ist (-1).

Das ist aber gleichbedeutend mit einem Minimum bei der der Abstand positiv ist (+1).
Somit ist der minimale Abstand +1 bei x=1.

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