Absolute Konvergenz eines Produktes von Potenzreihen

18.05.2013, 17:31	Fereg	Auf diesen Beitrag antworten »
Absolute Konvergenz eines Produktes von Potenzreihen Meine Frage: Hallo, mit bestimmten $\begin{eqnarray} u,v \in C \end{eqnarray}$ sind folgende zwei Reihen absolut konvergent: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{n=1}^{oo} a_{n}u^n <br /> \sum\limits_{n=1}^{oo} b_{n}v^n \end{eqnarray}$ Jetzt soll gezeigt werden, dass dann auch $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{n=1}^{oo} a_{n}b_{n}u^nv^n ; \end{eqnarray}$ absolut konvergiert. Meine Ideen:* Ich wollte das zuerst wie folgt lösen: Da ja beide Reihen absolut konvergieren, bildet die Folge der Beträge ihrer Glieder eine Nullfolge. Dann wollte ich das Wurzel- bzw. Quotienenkriterium anwenden und dadurch die Konvergenz des Betrages der fraglichen Reihe zeigen... Leider ergibt sich für das Quotientenkriterium dann 0/0 und da der Grenzwert unter der Wurzel 0 ist, kann ich das Wurzelkriterium nicht umformen, indem ich die Wurzel aus dem Grenzwert betrachte... Bringt also beides nichts... Wie könnte ich noch vorgehen? Danke!
18.05.2013, 17:38	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze besser das Majorantenkriterium. Du kannst das Produkt gegen eine der beiden alleine nach oben abschätzen. Warum geht das?
18.05.2013, 17:42	Fereg	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil zB a_n*u^n <1 für fast alle n, damit es eine Nullfolge bildet?
18.05.2013, 17:43	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, genau. Sogar der Betrag davon(das brauchst du auch).
18.05.2013, 18:45	Fereg	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, das hat geklappt. Vielen Dank! Eine Frage noch: Ich habe wieder zwei solche Reihen, aber diesmal ist u=v und wird z gennant. Wenn jetzt die Reihen die postiven Konvergenzradien r_a,r_b haben, dann hat $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^n a_{n}b_{n}z^{n} \end{eqnarray}$ einen mindestens gleichgroßen Radius. Das kann man denke ich mit cauchy hadamard begründen, wenn man dann eben beim Auseinanderziehen des limsup auf eine Ungleichung übergeht. Leider steht aber in der Aufgabe explizit, dass ich das aus der vorhergehenden Teilaufgabe (das eben oben gefragte und gelöste) folgern soll.. die würde ich dabei aber gar nicht benutzen? Dazu noch eine Idee?
18.05.2013, 19:32	Fereg	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand eine Idee?
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