Bogenlänge eines Kurvenstücks - Seite 2

31.07.2004, 17:50

Leopold

Ein Intervall I heißt

beschränkt, falls keine Intervallgrenze $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ist

unbeschränkt, falls mindestens eine Intervallgrenze $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ist

offen, falls die Randpunkte nicht zum Intervall gehören (das Intervall besteht dann nur aus inneren Punkten)

abgeschlossen, falls die Randpunkte zum Intervall gehören

kompakt, falls es beschränkt und abgeschlossen ist

Beispiele:

Beschränkte Intervalle sind etwa $\begin{eqnarray*} [-2;3) \ , \ (2;5) \ , \ [-1001;2002] \end{eqnarray*}$
(statt der runden Klammern findet man auch nach außen zeigende eckige Klammern als Schreibweise)

Unbeschränkte Intervalle sind etwa $\begin{eqnarray*} [-2;\infty) \ , \ (-\infty;5) \ , \ (-\infty;\infty) =\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Offene Intervalle sind etwa $\begin{eqnarray*} (-1;2) \ , \ (-\infty;0) \ , \ (-1;\infty) \ , \ (-\infty;\infty) \end{eqnarray*}$

Abgeschlossene Intervalle sind etwa $\begin{eqnarray*} [-1;1] \ , \ [0;\infty) \ , \ (-\infty;-1] \ , \ (-\infty;\infty) \end{eqnarray*}$

Kompakte Intervalle sind etwa $\begin{eqnarray*} [0;1] \ , \ [-\pi;2\pi] \end{eqnarray*}$

Nicht kompakt ist z.B. $\begin{eqnarray*} [0;\infty) \end{eqnarray*}$ (zwar abgeschlossen, aber nicht beschränkt) oder $\begin{eqnarray*} (1;5] \end{eqnarray*}$ (zwar beschränkt, aber nicht abgeschlossen)

31.07.2004, 18:01

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke Leopold!

Noch ne Frage:

$\begin{eqnarray*} [0;\infty[ \end{eqnarray*}$

Ist das nicht ein halboffenes Intervall??

01.08.2004, 03:10

Philipp-ER

Auf diesen Beitrag antworten »

Also [0,oo) ist eine abgeschlossene Menge und da sie offensichtlich auch ein Intervall ist, sehe ich keinen Grund, sie nicht abgeschlossenes Intervall zu nennen. Ich muss jedoch zugeben, dass wir es in der Schule, wenn ich mich recht erinnere, tatsächlich halboffen genannt haben, aber ich weiß nicht, warum. Ich werde meinen Mathelehrer nach den Ferien mal drauf ansprechen.

01.08.2004, 03:17

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Lebesgue-Integrale kenn ich nich. Ich hatte eher an Darboux-Integrale gedacht (Ober- und Untersummen).

Scheinbar hast du es doch noch nicht verstanden unglücklich

Darboux-Integrierbarkeit und Riemann-Integrierbarkeit ist dasselbe, obwohl es anders definiert ist. Manchmal wird das Integral sogar über Ober- und Untersummen eingeführt und gleich Riemann-Integral genannt.
Du solltest dir vielleicht die entsprechenden Threads nochmal angucken, nachdem du über den Sinn von genau dann wenn bzw. Äquivalenz nachgedacht hast.

Zitat:

Original von Philipp-ER
Hi Ben.
Weißt du, ob es Teilmengen von R gibt, die Lebesgue Nullmengen, aber keine Jordan Nullmengen sind? Ich habe das nur aus einem Analysis 1 Buch, da ist von Maßtheorie natürlich noch nichts zu sehen und hier steht auch nichts Näheres zu dem verwendeten Maß (das Maß wird auch nur für Nullmengen definiert).

Das meinte ich damit, dass ich den exakten Zusammenhang auch nicht parat habe Augenzwinkern

,
Laut dieser Quelle ist es dasselbe (Aufgabe 5.1). Es ist allerdings nur eine Aufgabensammlung und die einzige Quelle, die ich gefunden habe. Aber immerhin steht nicht davor: "Beweisen oder widerlegen Sie..." Augenzwinkern

Gruß vom Ben

01.08.2004, 10:30

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ MSS, Philipp-ER

Das Intervall $\begin{eqnarray*} [0;\infty) \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall abgeschlossen (siehe Definition in meinem letzten Beitrag). Ob es auch halboffen ist, hängt davon ab, wie man "halboffen" definiert. Das ist meiner Meinung nach ein sehr vager Begriff. Man verwendet ihn wohl nur bei beschränkten Intervallen vom Typ [a,b) oder (a,b].

Aber ich will einmal ad hoc eine Definition von "halboffen" versuchen:

Ein Intervall I heißt halboffen, wenn es ein abgeschlossenes Intervall A und ein offenes Intervall O gibt mit
$\begin{eqnarray*} A \cup O =I \ , \ \ A \cap O = \emptyset \end{eqnarray*}$

Ob es das trifft?

Wenn man diese Definition zugrundelegt, dann ist $\begin{eqnarray*} [0;\infty) \end{eqnarray*}$ halboffen.

01.08.2004, 13:42

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke!

@Ben
Ich gucks mir nochmal an! Ich hatts aber eigentlich auch nur gefragt, weil in meinem Buch das beschränkt steht und mich das irritiert hat.

@Leopold
Danke, hab das mit den kompakten Intervallen jetz verstanden.

Ich hoffe, jetz is alles geklärt. Dann nämlich jetz zur Ei-Aufgabe:
Erstmal meine Lösungen für b) und c):

b) $\begin{eqnarray*} V = \frac{16\pi}{3}a^3 \end{eqnarray*}$

c) horizontal: trivialerweise $\begin{eqnarray*} d_h = 2a \end{eqnarray*}$
vertikal: $\begin{eqnarray*} d_v = \frac{3}{2}a\cdot \sqrt{6\sqrt{2}-9} \end{eqnarray*}$

Bei vertikal hab ichs nur einmal durchgerechnet und vielleicht irgendwo nen Rechnefehler eingebaut (hatte so das Gefühl).

d) hab ich noch nich gemacht. Ich fang hier mal an:

$\begin{eqnarray*} u = 2\cdot \int_{0}^{2a}~\sqrt{1+\frac{3\cdot \sqrt{2ax} - 2x}{4x(2\sqrt{2ax} - 2x})}~dx \end{eqnarray*}$

Den Bruch unter der Wurzel kann ich wahrscheinlich noch vereinfachen oder? Is es so überhaupt erstmal richtig?

02.08.2004, 01:26

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Ein Intervall I heißt

beschränkt, falls keine Intervallgrenze $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ist

unbeschränkt, falls mindestens eine Intervallgrenze $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ist

offen, falls die Randpunkte nicht zum Intervall gehören (das Intervall besteht dann nur aus inneren Punkten)

abgeschlossen, falls die Randpunkte zum Intervall gehören

kompakt, falls es beschränkt und abgeschlossen ist

Hallo!

Ich weiß nie so genau inwieweit euch (oder insbesondere dich,MSS) die mathematischen Feinheiten interessieren, bzw. inwieweit sie noch zu früh kommen.
Deswegen hierzu eine kleine Anmerkung:
Die Betonung hier liegt auf "Ein Intervall I heißt...kompakt..", denn dies gilt für ein Interall als Teilmenge von R (oder R^n für ein mehrdim. Intervall). Für eine beliebige Menge ist die Definition der Kompaktheit eine andere und es die Äquivalenz "kompakt<=> beschränkt und abgeschlossen" gilt nur in euklidischen Räumen. Siehe hier unter Eigenschaften, 6. Unterpunkt.

Das nur damit du nicht zu überrascht bist, falls dir so etwas mal über den Weg läuft.

Gruß vom Ben

02.08.2004, 09:18

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ben Sisko
Ich weiß nie so genau inwieweit euch (oder insbesondere dich,MSS) die mathematischen Feinheiten interessieren, bzw. inwieweit sie noch zu früh kommen.

Hast Recht, sie kommen noch zu früh. Zumal ich ja auch nich weiß, was ein euklidischer Raum ist und mich noch nich mit Mehrdimensionalem beschäftigt habe. (Möchte jetz auch keine Erklärungen dazu haben, bitte! Das is irgendwie alles n bisschen zu viel auf einmal.)

@Leopold
Ich mach jetz für die Ei-Aufgabe lieber nen neuen Thread auf!!

02.08.2004, 11:02

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, dann vergiss einfach, was ich geschrieben habe. Vielleicht interessiert es jemand anderen ja... verwirrt

Gruß vom Ben

22.07.2014, 16:31

ann1

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand sagen, wie man bzgl. der ersten Antwort auf die Ausgangsfrage darauf kommt, die Bogenlänge mit einem Integral dazustellen?

Wie ist der Zusammenhang zwischen aufsummierten Sehnenlängen (Polygonzug) und Integral?

Kann man den Polygonzug mit einem Integral annähern und wie sieht das im Detail aus?

22.07.2014, 16:33

ann1

Auf diesen Beitrag antworten »

<- Ich beziehe auf:

Zitat:

Original von Leopold

...
Jetzt der Differentialbeweis:

Zeichne dir zwei Punkte auf deiner Kurve ein, die nicht allzuweit weg voneinander liegen. Jetzt verbindest du diese durch eine Sehne und hängst an diese Sehne ein Steigungsdreieck mit den Katheten $\begin{eqnarray*} \Delta x , \Delta y \end{eqnarray*}$ wie üblich an. Nach Pythagoras gilt nun:

$\begin{eqnarray*} (\Delta s)^2 \ = \ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \Delta s \end{eqnarray*}$ die Länge der Sehne bezeichnen soll. Durch eine Division wird daraus

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\Delta s}{\Delta x} \right)^2 \ = \ 1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2 \ \ , \ \ \ \frac{\Delta s}{\Delta x} \ = \ \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \Delta s \ = \ \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2} \Delta x \end{eqnarray*}$

Na, siehst du schon, worauf das hinausläuft?

Wenn man sich die Punkte auf dem Graphen so nahe beieinander denkt, daß sie in der uns sichtbaren Welt aufeinander liegen, obwohl sie in der Welt des Unendlich-Kleinen noch als verschieden anzusehen sind, dann werden aus den endlichen Strecken $\begin{eqnarray*} \Delta s , \Delta x , \Delta y \end{eqnarray*}$ Differentiale $\begin{eqnarray*} ds , dx , dy \end{eqnarray*}$ . Der Differentialquotient

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \ = \ f'(x) \end{eqnarray*}$

ist die Ableitung. Und nun wird über alle unendlich kleinen $\begin{eqnarray*} ds \end{eqnarray*}$ , die man sich als unendlich kleine Kurvenstücke vorstellt, im betreffenden Intervall aufsummiert. Man erhält die Bogenlänge L:

$\begin{eqnarray*} L \ = \ \int_{a}^{b}ds \ = \ \int_{b}^{a}~\sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2}~dx \end{eqnarray*}$

...

« vorherige Seite 12

Neue Frage »

Antworten »

Bogenlänge eines Kurvenstücks - Seite 2

Verwandte Themen