Bogenlänge eines Kurvenstücks

30.07.2004, 03:24

Mathespezialschüler

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Bogenlänge eines Kurvenstücks

Hi, ich hab in meinem Tafelwerk folgende Formel für Länge s eines Kurvenstücks im Intervall [a;b] gefunden:

$\begin{eqnarray*} s = \int_{a}^{b}~\sqrt{1 + (f'(x))^2}~dx \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das beweisen?? Das sieht so kompliziert aus, weil da ja f'(x) mit dabei ist, aber was hat f'(x) mit der Länge zu tun?? Geht das vielleicht irgendwie über Ober- und Untersummen??

Und dann hab ich noch was:

Rotiert der Graph einer Funktion f(x) im Intervall [a;b] um die x-Achse, so gilt für den Mantel M des entstehenden Rotationskörpers:

$\begin{eqnarray*} M = 2\pi \int_{a}^{b}~f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2}~dx \end{eqnarray*}$

Ok, der Umfang des Kreises ist 2*pi*f(x), aber warum jetzt noch das vom Bogenstück, was oben steht?? Das is mir unklar!

Und kann man diese Mantelformel vielleicht verallgemeinern auch auf Nichtrotationskörper?? Beim Volumen muss man ja nur die Funktion aller Flächeninhalte senkrecht zu einer Geraden im Körper kennen und kann dann nach den Flächen integrieren. Ist solch eine Verallgemeinerung für den Mantel ebenfalls möglich??

Danke für die Antworten!!

30.07.2004, 10:05

Leopold

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Ich gebe dir einmal einen "falschen" Beweis mit Hilfe Leibnizscher Differentiale. Er enthält aber alle wesentlichen Ideen und kann mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung sowie des Limesbegriffs nach moderner Auffassung richtiggestellt werden. Näheres dazu findest du in jedem Uni-Anfänger-Analysisbuch.

Jetzt der Differentialbeweis:

Zeichne dir zwei Punkte auf deiner Kurve ein, die nicht allzuweit weg voneinander liegen. Jetzt verbindest du diese durch eine Sehne und hängst an diese Sehne ein Steigungsdreieck mit den Katheten $\begin{eqnarray*} \Delta x , \Delta y \end{eqnarray*}$ wie üblich an. Nach Pythagoras gilt nun:

$\begin{eqnarray*} (\Delta s)^2 \ = \ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \Delta s \end{eqnarray*}$ die Länge der Sehne bezeichnen soll. Durch eine Division wird daraus

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\Delta s}{\Delta x} \right)^2 \ = \ 1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2 \ \ , \ \ \ \frac{\Delta s}{\Delta x} \ = \ \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \Delta s \ = \ \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2} \Delta x \end{eqnarray*}$

Na, siehst du schon, worauf das hinausläuft?

Wenn man sich die Punkte auf dem Graphen so nahe beieinander denkt, daß sie in der uns sichtbaren Welt aufeinander liegen, obwohl sie in der Welt des Unendlich-Kleinen noch als verschieden anzusehen sind, dann werden aus den endlichen Strecken $\begin{eqnarray*} \Delta s , \Delta x , \Delta y \end{eqnarray*}$ Differentiale $\begin{eqnarray*} ds , dx , dy \end{eqnarray*}$ . Der Differentialquotient

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \ = \ f'(x) \end{eqnarray*}$

ist die Ableitung. Und nun wird über alle unendlich kleinen $\begin{eqnarray*} ds \end{eqnarray*}$ , die man sich als unendlich kleine Kurvenstücke vorstellt, im betreffenden Intervall aufsummiert. Man erhält die Bogenlänge L:

$\begin{eqnarray*} L \ = \ \int_{a}^{b}ds \ = \ \int_{b}^{a}~\sqrt{1+\left(f'(x) \right)^2}~dx \end{eqnarray*}$

Zu Leibniz Zeiten wäre solch ein Beweis anstandslos durchgegangen. Und warum gilt er heute nicht mehr? Weil die Differentiale keine einwandfrei definierten reellen Größen sind. Man hat da so eine Vorstellung von etwas Unendlich-Kleinem, was dennoch nicht 0 ist, etwas, was sich von 0 unterscheidet und auf der anderen Seite doch wieder wie 0 zu behandeln ist. Dennoch enthält der hier vorgeführte "Beweis" die wesentlichen Ideen. Bei einem sauber geführten modernen Beweis wirst du sie wiedererkennen.

Eine etwas allgemeinere Formel erhältst du, wenn du parametrisierte Kurven verwendest. Die Kurvenpunkte P(x|y) mögen durch einen Parameter t bestimmt sein: x=x(t), y=y(t), wobei der Parameter t ein Intervall [a,b] durchlaufe. Dann kannst du die Bogenlänge L berechnen nach der Formel

$\begin{eqnarray*} L \ = \ \int_{a}^{b}~\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}~dt \end{eqnarray*}$

Wende diese Formel einmal auf den parametrisierten Kreis an:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x(t) \ = \ r \cdot \cos{t} \\ y(t) \ = \ r \cdot \sin{t} \end{matrix} \ \ , \ \ t \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$

Du wirst sehen, wie billig das ist.

Um beliebige Oberflächen zu berechnen, braucht man eine Parameterdarstellung der Fläche. Dazu sind zwei Parameter u,v erforderlich, wobei die Punkte (u,v) einen (sinnvollen endlichen) Bereich G des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ durchlaufen:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x \ = \ x(u,v) \\ y \ = \ y(u,v) \\ z \ = \ z(u,v) \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Die Oberfläche A der so beschriebenen Fläche berechnet man dann gemäß

$\begin{eqnarray*} A \ = \ \int_{G}^{}~\left| \begin{pmatrix} \frac{dx}{du} \\ \frac{dy}{du} \\ \frac{dz}{du} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{dx}{dv} \\ \frac{dy}{dv} \\ \frac{dz}{dv} \end{pmatrix} \right|~d(u,v) \end{eqnarray*}$

Die Vektoren enthalten die partiellen Ableitungen von x,y,z nach u bzw. v (eigentlich sollte da ein rundes d stehen, aber ich weiß nicht, wie das geht). Das Kreuz bezeichnet das Kreuzprodukt der beiden Vektoren und die senkrechten Striche sind Betragsstriche.

Ich muß dich bei der Anwendung dieser Formeln aber gleich vor einer großen Enttäuschung warnen. Zwar kann man, wenn man erst einmal die Parametrisierungen der Kurve bzw. Fläche hat, das Integral leicht aufstellen. Die Berechnung des Integrals ist, von einfachen Fällen abgesehen, im allgemeinen aber nicht mehr elementar ausführbar.

30.07.2004, 16:29

Philipp-ER

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Hi Leopold.
Du sagst, es gäbe auch wirkliche Beweise für diese Formel für die Bogenlänge einer Kurve: Kannst du bitte erläutern, auf welcher Definition der Bogenlänge die denn aufbauen? Ich kann mir nämlich für eine beliebige Kurve gerade keine Definition vorstellen, außer eben zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} s:=\int_{\gamma}ds \end{eqnarray*}$
oder etwas Ähnliches, womit sich jeder Beweis erübrigen würde, da die Formel zur Definition wird.

In der Schule wird ja oft suggeriert, es wäre klar, was ein Flächeninhalt oder eine Bogenlänge ist und man stellt dann Formeln für die Berechnung dieser Größen auf, dabei erklären diese Formeln doch überhaupt erst zuvor vollkommen undefinierte Begriffe.
In Analysis 1 müsste dem Beweis einer solchen Formel aber natürlich erstmal eine Definition vorausgehen und da würde mich dann doch interessieren, wie diese aussehen soll.

Gruß
Philipp

30.07.2004, 16:33

Mathespezialschüler

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Super Leopold! Danke!!! :]

Eigentlich ging das ganze davon aus, dass ich den Umfang einer Ellipse berechnen wollte. Der Flächeninhalt ging da so schön einfach, deswegen dachte ich ...
Aber ich hab jetzt ne Formel für den Umfang gesehen, die is sehr heftig.

Der Beweis is auch verständlich. Mir is nur noch nich 100% klar, warum die aufsummierten ds ein Integral ergeben.

Das mit dem parametrisierten Kreis is ja wirklich billig. Die Formel is ja sogar relativ nützlich. Wenn man y = f(x) = ... darstellt, also über Kreisgleichung (die "pythagoreische") is das Integrieren über die "normale" Formel viel schwieriger (hab gleich gesehen, als ich das Integral hatte, dass ich das nich schaffe).

Zitat:

Original von Leopold

Ich muß dich bei der Anwendung dieser Formeln aber gleich vor einer großen Enttäuschung warnen. Zwar kann man, wenn man erst einmal die Parametrisierungen der Kurve bzw. Fläche hat, das Integral leicht aufstellen. Die Berechnung des Integrals ist, von einfachen Fällen abgesehen, im allgemeinen aber nicht mehr elementar ausführbar.

Das war mir schon klar, als ich wusste, was ein Integral ist und mir dann diese Formel nochmal anguckte.

Mit Vektoren hab ich leider noch nichts am Hut. Mich hat auch überrascht, da ich es jetz schon öfter in Beiträgen gesehen hab, dass Vektoren und Analysis so viel miteinander zu tun haben. Partielle Ableitung kenn ich auch nur vom Lesen aus Beiträgen.
Ich wollte die Formel eigentlich benutzen, um bei Kegel, Kugel und Kugelteilen die Mantelformeln herzuleiten, aber da das Integrieren da wohl noch schwerer ist, als bei dem Bogenstück, kann ich das sowieso erstmal vergessen.

Ich danke dir nochmal für den ausführlichen Beitrag und für deine damit verbundene große Arbeit!! Ich glaub, bevor ich das nächste Mal ähnliches frage, kaufe ich mir bald mal ein Analysisbuch und lese dann darin nach *g*

30.07.2004, 17:16

Philipp-ER

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Hi MSS.
Darf ich fragen, inwiefern du dir die Integralrechnung erarbeitet hast? Hast du einfach irgendwo die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$ gelesen und betreibst jetzt Kampfrechnen beim Auffinden von Stammfunktionen oder weißt du wirklich, was ein Integral ist? Zum Verständnis des Integrals selbst würde ich dir nämlich eher raten, mal Funktionen wie
f:[0,1] -> R
f(x)=1 für x aus Q
f(x)=0 für x aus R\Q
oder
f:[0,1] -> R
f(x)=1 für x=0
f(x)=0 für x aus R\Q
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x=\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit p,q aus N und ggT(p,q)=1
auf Integrierbarkeit zu untersuchen, da lernt man mehr, als wenn man die Stammfunktion zu irgendwelchen Sachen sucht.
(Ich selbst habe übrigens zum Beispiel nicht genug Ahnung von Integralen, um diese Funktionen vernünftig zu bearbeiten und solches Halbwissen bringt einem einfach wenig, wenn man richtige Mathematik und nicht nur Schulrechnen betreiben will).

30.07.2004, 17:45

Leopold

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@ MSS

Und hier habe ich noch eine schöne Aufgabe für dich.

Gegeben ist im R² der Kreis k um M(a|0) vom Radius a>0.
Wähle nun einen beliebigen Punkt X auf k. Dessen senkrechte Projektion auf die Abszissenachse heiße X'. Fälle nun das Lot von X' auf die Gerade OX (O=Ursprung). Der Lotfußpunkt heiße Y.
Wenn jetzt X den Kreis durchläuft, durchläuft Y eine Kurve, die man Eikurve (Oval) nennt.

Du kannst die Konstruktion leicht mit Euklid durchführen und dir die Ortskurve von Y zeichnen lassen.

a) Der obere Teil der Eikurve ist der Graph einer Funktion f. Bestimme deren Funktionsgleichung.

b) Wenn die Eikurve um die Abszissenachse rotiert, entsteht ein Ei. Bestimme in Abhängigkeit von a dessen Volumen.

c) Wie groß sind der horizontale und vertikale Durchmesser des Eies? (Als Durchmesser bezeichnet man den größtmöglichen Abstand.)

d) Berechne den Umfang der Eikurve.

e) Berechne die Oberfläche des Eies.

a) ist eine Fleißarbeit. Man muß nur X (u|v) setzen und die Konstruktion von Y rechnerisch nachvollziehen (beachte, daß u,v nicht unabhängig voneinander sind). Wenn man sich ungeschickt anstellt, kann das allerdings eine höchst umfangreiche Arbeit werden. Bei geschickter Rechnung hält sich der Rechenaufwand in Grenzen. Vermeide Wurzeln, solange es geht.
b) ist einfach, wenn a) gelöst ist.
c) ist Teil einer Kurvendiskussion.
d) führt auf ein elementar lösbares Integral. Allerdings ist alle Integrationskunst zu seiner Berechnung aufzuwenden.
e) habe ich selbst noch nie probiert. Ich habe keine Ahnung, ob das entstehende Integral sich elementar auswerten läßt.

@ Philipp-ER

Wenn man einen naiven Bogenlängenbegriff voraussetzt, ist ein Beweis der Bogenlängeformel natürlich nicht möglich. Vielmehr muß man die Formel dann zur Definition erheben und kann sie höchstens durch eine Plausibilitätsbetrachtung motivieren, ähnlich wie ich es oben gemacht habe (natürlich geht das Ganze auch ohne Differentiale im Rahmen der klassischen Grenzwert-Analysis).
Oft findet man allerdings die folgende Definition der Bogenlänge: Man wählt endlich viele beliebige Punkte auf der Kurve (einschließlich Anfangs- und Endpunkt) und verbindet sie durch einen Polygonzug. Dieser hat eine wohldefinierte euklidische Länge. Das Supremum der Längen aller so möglichen Polygonzüge heißt dann Länge der Kurve (sofern es endlich ist). Jetzt hat man die Länge definiert und kann dann auch einen sauberen Beweis für die Bogenlängenformel führen.

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30.07.2004, 18:31

Mathespezialschüler

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@Philipp-ER

Nein, ich hab nich nur den Hauptsatz gelesen und ich möcht auch kein Kampfrechnen betreiben.
Ich hab mir das mithilfe meines ABITURWISSEN erarbeitet. DA wird das alles über Unter- und Obersummen gemacht. Ich denke, was ein Integral ist, weiß ich damit auch. Da steht nämlich:

Zitat:

Definition: Eine beschränkte Funktion f heißt integrierbar im Intervall [a;b] genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} I_U = I_O \end{eqnarray*}$ ist. In diesem Falle schreibt man

$\begin{eqnarray*} I_U = I_O = \int_{a}^{b}~f \end{eqnarray*}$ , oder auch $\begin{eqnarray*} I = I_U = I_O = \int_{a}^{b}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

Definitionen dazu:

$\begin{eqnarray*} I_U := Sup\ \{U(f,Z)\ |\ Z\ zerlegt\ [a;b]\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_O := Inf\ \{O(f,Z)\ |\ Z\ zerlegt\ [a;b]\} \end{eqnarray*}$

Ich denke, mir ist also klar, was ein Integral ist. (Übrigens wird später der Flächeninhalt zwischen Graph, x-Achse und den Intervallgrenzen auch durch ein Integral definiert. Das ist auch, was du mit den Definitionen gesagt hast, denn die Fläche wird ja hier auch erst durch das Integral definiert.)

Zu deiner ersten Funktion war da auch ein Beispiel drin. Da steht dann:

"Zu untersuchen sei die Integrierbarkeit der Funktion h:

[ $\begin{eqnarray*} h:[0,2] \to R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x) = 2, x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x) = 1, x \in \mathbb I \end{eqnarray*}$ mit I=R\Q]

Bei beliebiger Zerlegung Z gibt es in jedem Teilintervall Stellen, an denen die Variable x einen rationalen Wert hat, also ist $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ stets gleich 1. Da andererseits aber in jedem Teilintervall auch irrationale Zahlen liegen, ist $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ immer gleich 2. Mithin gilt für jede Zerlegung Z des Intervalls [0;2]

$\begin{eqnarray*} U(h,Z) = 1\cdot 2 = I_U;\ \ \ \ \ O(h,Z) = 2\cdot 2 = I_O;\ \ \ \ I_U \neq I_O! \end{eqnarray*}$
Die Funktion ist im Intervall [0;2] nicht integrierbar (man erkennt, dass h in keinem Intervall integrierbar ist)."

Dabei ist:

$\begin{eqnarray*} m_i := inf\ \{f(x)\ |\ x_{i-1} \leq x_i\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_i := sup\ \{f(x)\ |\ x_{i-1} \leq x_i\} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} [x_{i-1};x_i] \end{eqnarray*}$ das jeweilige Teilintervall ist.

Und somit hab ich ja eine Beschäftigung damit gelesen, auch wenn ich mich nich selbst damit beschäftigt ist.

Deine zweite Funktion müsst ich mir nochmal angucken.
Übrigens steht in diesem Buch ein Satz:

Zitat:

Satz 3: Wenn die Funktion f im Intervall [a;b] stetig ist, dann ist f in [a;b] integrierbar.

Meine Frage: Ist dieser Satz umkehrbar?? Also kann man sagen:
"Wenn f integrierbar ist in [a;b] dann ist f stetig in [a;b]." ?? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich nich schon selbst ein Gegenbeispiel dafür habe.

edit: Für die zweite Funktion gilt mMn das gleiche wie hier in meinem Beitrag für die erste beschreiben. Wenn ich das richtig seh, dann gilt für rationale x, dass in jedem Intervall alle Stammbrüche als Funktionswert vorkommen (außer 1/1) und das unendlich oft. Die Obersumme zu bilden, könnte aber schwer werden.

30.07.2004, 18:39

Leopold

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Wie heißt dein Gegenbeispiel?

30.07.2004, 21:50

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Satz 3: Wenn die Funktion f im Intervall [a;b] stetig ist, dann ist f in [a;b] integrierbar.

Meine Frage: Ist dieser Satz umkehrbar?? Also kann man sagen:
"Wenn f integrierbar ist in [a;b] dann ist f stetig in [a;b]." ?? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich nich schon selbst ein Gegenbeispiel dafür habe.

Willst du eine Antwort auf die Frage oder es selbst rauskriegen?

Gruß vom Ben

30.07.2004, 22:46

Mathespezialschüler

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@Ben

Darauf will ich jetz ausnahmsweise mal ne Antwort. *g*

@Leopold

Naja, ich denke, ich hätte ein Beispiel, was dieses widerlegt. Also eine Funktion, die integrierbar in einem Intervall [a;b] für $\begin{eqnarray*} b-a \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist, aber nicht stetig im gesamten Intervall (mind. 1 Stelle, kommt auf den Wert b-a an)

30.07.2004, 23:31

Leopold

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Die Wahrscheinlichkeit, daß die Mathematiker den Begriff "integrierbar" geprägt hätten, wenn er dasselbe wie "stetig" bedeutete, ist höchstens 19,3 %.

30.07.2004, 23:50

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
ist höchstens 19,3 %.

Ich glaube, da hast du nen kleinen Rechenfehler gemacht. Auf das richtige Ergebnis komm ich aber auch nicht.

30.07.2004, 23:54

Leopold

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Sorry! Natürlich höchstens 18,3 %! Ich habe mit dem falschen Fehlerglied gerechnet.

31.07.2004, 00:02

Ben Sisko

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Das mir das nicht noch einmal vorkommt.

31.07.2004, 00:45

Mathespezialschüler

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Ihr seid gemein traurig

traurig

, so war das nich gemeint. Ich hab ja nun nich Integrierbarkeit mit Stetigkeit gleichgesetzt, sondern einfach nur behauptet, dass $\begin{eqnarray*} A \Leftarrow \Rightarrow B \end{eqnarray*}$ mit A als Stetigkeit und B als Integrierbarkeit.
PS: Wie macht man einen richtigen "Aquivalenzpfeil"??

edit:

Zitat:

Original von Leopold
... daß die Mathematiker den Begriff "integrierbar" geprägt hätten, wenn er dasselbe wie "stetig" bedeutete ...

Wenn du meinen Satz so interpretierst, dann müsstest du den Satz 3 genauso interpretieren.

@Leopold
Deine wunderschöne Aufgabe hab ich nich vergessen, im Gegeteil, ich sitz schon seit ca. 30 min an a) dran und komm nich weiter. Euklid hab ich leider nich mehr.
Erstmal: Mir ist klar, dass u und v nicht unabhängig sind, ihr Verhältnis hängt vom Winkel ab, aber der Winkel ist ja nich konstant. Irgendwie komm ich nich weiter. Ich hab auch was mit Polarkoordinaten probiert, klappte aber nich so.
Ich beiß mir grad die Zähne aus und das wurmt mich ungemein. Ich weiß, dass es bestimmt relativ einfach ist, aber immer, wenn ich was probiere kommt da sowas raus wie tan alpha = v/u obwohl das ja meine Voraussetzung ist.
Kannst du mir vielleicht noch nen kleinen Tipp geben?!

edit: Ich hab jetz endlich was, aber erstmal in Polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} Oval\ \equiv \ r = 2 cos^3(\phi)\cdot a\ \ \ \ \ |\ 0 \leq \phi \leq \pi \end{eqnarray*}$

Stimmt das??

31.07.2004, 02:30

Ben Sisko

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Einen $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ machst du mit \Leftrightarrow.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ihr seid gemein traurig

traurig

, so war das nich gemeint. Ich hab ja nun nich Integrierbarkeit mit Stetigkeit gleichgesetzt, sondern einfach nur behauptet, dass $\begin{eqnarray*} A \Leftarrow \Rightarrow B \end{eqnarray*}$ mit A als Stetigkeit und B als Integrierbarkeit.

Wenn du das sagst, also dass eine Funktion genau dann integrierbar ist, wenn sie stetig ist (und das in diesem Satz ja auch ohne weitere Voraussetzungen), dann sagst du aber, dass Integrierbarkeit und Stetigkeit im Prinzip dasselbe sind.
Das ist so, wie ich dir im anderen Thread Riemann- und Darboux-Integrierbarkeit erklärt habe. Man definiert 2 verschiedene Integralbegriffe und stellt dann fest, dass sie das Gleiche sind, weil eine Fkt. genau dann D-integrierbar ist, wenn sie R-integrierbar ist und der Wert des Integrals dann auch übereinstimmt.
Stell es dir als 2 Mengen vor: {f:R->R|f stetig} und {f:R->R|f integrierbar} Wenn nun deine Aussage gelten würde, wären dies die gleichen Mengen von Funktionen, es wären nur unterschiedliche Beschreibungen (wie etwa $\begin{eqnarray*} \{n \in \mathbb N|n \leq 4\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{n \in \mathbb N|n <5\} \end{eqnarray*}$ ).

Denke mal darüber nach, es ist wohl wichtig das zu verstehen, vermutlich wichtiger als das 15. komplizierte Integral auszurechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß vom Ben

31.07.2004, 02:48

Mathespezialschüler

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Ok, dann frag ich nochmal direkt: Ich zitiere nochmal aus meinem Buch den

Zitat:

Satz 3: Wenn die Funktion f im Intervall [a;b] stetig ist, dann ist f in [a;b] integrierbar.

D.h. ihr sagt jetzt, dass mein Buch sagt, dass Stetigkeit und Integrierbarkeit das gleiche seien. Ist das richtig??

Nochmal zu meinem Beispiel: Ich hab das ja nich gleichgesetzt. Was ich eigentlich mit diesem falschen Satz bewzecken wollte:

Wenn dieser Satz richtig gewesen wäre, dann hätte ich sagen können, dass eine Funktion, die im Intervall [a;b] nicht stetig ist, genau deswegen auch nich integrierbar ist. Allerdings sehe ich hierbei nicht, dass ich das gleichsetze. Gehen wir doch mal in die Aussagenlogik, auch wenn ich die noch nich 100% kann:

Ich sage, es gilt:

$\begin{eqnarray*} p \Rightarrow q \end{eqnarray*}$

Das ist aber äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} (nicht\ p) \Rightarrow (nicht\ q) \end{eqnarray*}$

und genau die zweite Aussage wollte ich erreichen. Ich versuch grad noch n Beispiel dazu zu finden, muss mal überlegen.
Ok, jetzt hab ich direkt ein Beispiel aus meinem Nachbarthread:
Ich hab ne Substitution durchgeführt, sehn wirs jetz aber einfach mal als Funktion an:

$\begin{eqnarray*} u = g(x) = \pi\cdot e^x\ \ \Rightarrow\ \ u' = \pi\cdot e^x\ \ \Rightarrow\ \ du = \pi\cdot e^x\ dx \end{eqnarray*}$

Ich denke nicht, dass u und u' das gleiche sind oder dass du/dx = ... und du = ... das gleiche sind.
Vielleicht hab ich ja jetz auch ne völig falsche Vorstellung, wenn ja, dann haut sie mir bitte aus dem Kopf!

31.07.2004, 03:07

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
D.h. ihr sagt jetzt, dass mein Buch sagt, dass Stetigkeit und Integrierbarkeit das gleiche seien. Ist das richtig??

Nein, wir sagen, dass es das Gleiche wäre, wenn die Umkehrung auch gelten würde, wie du vermutet hast.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich sage, es gilt:

$\begin{eqnarray*} p \Rightarrow q \end{eqnarray*}$

Das ist aber äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} (nicht\ p) \Rightarrow (nicht\ q) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. $\begin{eqnarray*} p \Rightarrow q \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} (nicht\ q) \Rightarrow (nicht\ p) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} u = g(x) = \pi\cdot e^x\ \ \Rightarrow\ \ u' = \pi\cdot e^x\ \ \Rightarrow\ \ du = \pi\cdot e^x\ dx \end{eqnarray*}$

Ich denke nicht, dass u und u' das gleiche sind

Nein? Für mich sehen die aber sehr gleich aus...

31.07.2004, 03:17

mathemaduenn

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Hallo Mathespezialschüler
Aussage 1: $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$
bedeutet wenn A wahr ist ist B wahr
Aussage 2: $\begin{eqnarray*} \neg A\Rightarrow \neg B \end{eqnarray*}$
bedeutet wenn A falsch ist ist B falsch.
Aussage 3: $\begin{eqnarray*} \neg B\Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$
bedeutet wenn B falsch ist ist A falsch.
Äquivalent sind die Aussagen 1 und 3 denn wenn bei 3 A wahr ist muß B auch wahr sein sonsst stimmt die Aussage nicht.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn

31.07.2004, 03:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Ben Sisko

Nein, wir sagen, dass es das Gleiche wäre, wenn die Umkehrung auch gelten würde, wie du vermutet hast.

Warum erst dann??

Zitat:

Original von Ben Sisko
Das ist falsch. $\begin{eqnarray*} p \Rightarrow q \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} (nicht\ q) \Rightarrow (nicht\ p) \end{eqnarray*}$

Hast Recht sorry, aber das hab ich ja in Worten schon so gesagt, nur falsch hingeschrieben. Danke @mathemaduenn, ist klar.

Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} u = g(x) = \pi\cdot e^x\ \ \Rightarrow\ \ u' = \pi\cdot e^x\ \ \Rightarrow\ \ du = \pi\cdot e^x\ dx \end{eqnarray*}$

Ich denke nicht, dass u und u' das gleiche sind

Nein? Für mich sehen die aber sehr gleich aus...

Ok, schlechtes Beispiel, ein anderes:

$\begin{eqnarray*} u = sin(x)\ \ \ \ \Rightarrow\ \ u' = cos(x) \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt sogar noch:

$\begin{eqnarray*} u' = cos(x)\ \ \ \ \Rightarrow\ \ u = sin(x) \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} u = sin(x)\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ u' = cos(x) \end{eqnarray*}$

Hierbei wirst du mir hoffentlich aber zustimmen, dass u und u' nicht das gleiche sind, es gilt also:

$\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray*}$

und A und B sind nicht gleich. Und wenn wir schon bei der Umkehrung sind: Es gilt:

$\begin{eqnarray*} y = e^x\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ x = ln(y) \end{eqnarray*}$

und ich glaube nicht, dass e^x und ln(y) das gleiche sind.

31.07.2004, 03:38

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Ben Sisko

Nein, wir sagen, dass es das Gleiche wäre, wenn die Umkehrung auch gelten würde, wie du vermutet hast.

Warum erst dann??

Weil es sonst keine genau dann wenn-Aussage ist. Es ist nicht dasselbe, weil es Funktionen gibt, die integrierbar, aber nicht stetig sind.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} u = sin(x)\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ u' = cos(x) \end{eqnarray*}$

Hierbei wirst du mir hoffentlich aber zustimmen, dass u und u' nicht das gleiche sind, es gilt also:

$\begin{eqnarray*} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray*}$

und A und B sind nicht gleich. Und wenn wir schon bei der Umkehrung sind: Es gilt:

$\begin{eqnarray*} y = e^x\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \ x = ln(y) \end{eqnarray*}$

und ich glaube nicht, dass e^x und ln(y) das gleiche sind.

Da werden auf beiden Seiten des Äquivalenzpfeils aber nicht direkt Aussagen über dasselbe Objekt gemacht (abgesehen davon, dass du in deinen Beispielen und Aussagen die Integrationskonstante geflissentlich übersiehst, aber darum geht es hier ja nicht).

Hier haben wir ja den Fall:
Funktion ist ... <=> Funktion ist...

Vielleicht hilft dir das Beispiel?
natürliche zahl n ist gerade <=> natürliche Zahl n ist nicht ungerade

"gerade sein" und "nicht ungerade sein" ist also in den natürlichen Zahlen dasselbe.

Gruß vom Ben

31.07.2004, 04:14

Mathespezialschüler

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Ok, ich glaub, langsam kapier ichs. Ich seh auch grad andere Beispiele in meinem Tafelwerk:

$\begin{eqnarray*} f'(x) < 0 \ \ |\ x \in [a;b] \Leftrightarrow f\ ist\ in\ [a;b]\ streng\ monoton\ fallend. \end{eqnarray*}$

und Ähnliches. Habs jetz geschnallt.
Danke für die Mühe!!

@Leopold
Zur Ei-Aufgabe:
Ich hatte herausgefunden, dass

$\begin{eqnarray*} r = 2a\cdot cos^3(\phi)\ \ \ |\ 0 \leq \phi \leq \pi \end{eqnarray*}$

Über Transformation in kartesiche Koordinaten bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} y^2 = x\cdot \sqrt{2ax} - x^2 \end{eqnarray*}$

Ist das erstmal richtig?? Dann könnte ich damit weiterrechnen.

31.07.2004, 04:24

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Habs jetz geschnallt.
Danke für die Mühe!!

Dann kann ich ja jetzt schlafen gehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gute N8

31.07.2004, 08:27

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich hatte herausgefunden, dass

$\begin{eqnarray*} r = 2a\cdot cos^3(\phi)\ \ \ |\ 0 \leq \phi \leq \pi \end{eqnarray*}$

Über Transformation in kartesiche Koordinaten bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} y^2 = x\cdot \sqrt{2ax} - x^2 \end{eqnarray*}$

Ist das erstmal richtig?? Dann könnte ich damit weiterrechnen.

Das ist richtig.

31.07.2004, 08:29

Philipp-ER

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Hi MSS.
Die Funktion f:R->R mit
f(x)=0 für x=0
f(x)=1 für x!=0
ist nicht stetig, aber integrierbar, damit gilt die Umkehrung also nicht.
Es gilt aber das bemerkenswerte Lebesguesche Integrabilitätskriterium:
Genau dann ist eine Funktion auf [a,b] R-integrierbar, wenn sie dort beschränkt und fast überall stetig ist.

Daraus folgt der interessante Satz:
Ist eine Funktion auf [a,b] monoton und beschränkt [ich bin mir nicht sicher, ob man die Beschränktheit braucht; hat jemand ein Beispiel für monoton und unbeschränkt auf [a,b]?], so ist sie dort R-integrierbar.

31.07.2004, 13:41

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Es gilt aber das bemerkenswerte Lebesguesche Integrabilitätskriterium:
Genau dann ist eine Funktion auf [a,b] R-integrierbar, wenn sie dort beschränkt und fast überall stetig ist.

Wenn du das schon erwähnst, hättest du nicht vielleicht noch erläutern sollen, was "fast überall" bedeutet?

Gruß vom Ben

31.07.2004, 13:53

Mathespezialschüler

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@Philipp-ER

Bei mir steht der Satz auch.

Wenn die Funktion nicht beschränkt ist, dann geht sie doch in diesem Intervall ins Unendliche, dann findest du aber keine eingeschlossene Fläche oder seh ich das falsch??

@Leopold
Soll ich für die Ei-Aufgabe nen neuen Thread aufmachen? Hier so zwischendurch is nich so toll.

31.07.2004, 14:25

Philipp-ER

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@Ben Sisko:
Ich dachte, im Zusammenhang mit "Lebesgue" wäre das klar.

"Eine Funktion f heißt fast überall stetig auf X, wenn die Punkte von X, in denen sie unstetig ist, nur eine Nullmenge bilden."
Dabei gilt:
"Die Menge $\begin{eqnarray*} M\subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißt Nullmenge, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar viele abgeschlossene (oder auch offene) Intervalle $\begin{eqnarray*} I_1, I_2,... \end{eqnarray*}$ gibt, die M überdecken und deren "Längensumme" $\begin{eqnarray*} \sum |I_k|\leq \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

@MSS: Schon richtig, ich kann mir nur gerade keine montone Funktion vorstellen, die auf einem kompakten Intervall unbeschränkt ist und wenn es eine solche sowieso nicht gäbe, wäre der Zusatz "beschränkt" halt überflüssig. Wäre nett, wenn jemand ein Beispiel für eine solche Funktion angeben könnte.

31.07.2004, 14:35

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Philipp-ER
@MSS: Schon richtig, ich kann mir nur gerade keine montone Funktion vorstellen, die auf einem kompakten Intervall unbeschränkt ist und wenn es eine solche sowieso nicht gäbe, wäre der Zusatz "beschränkt" halt überflüssig. Wäre nett, wenn jemand ein Beispiel für eine solche Funktion angeben könnte.

Stimmt, da fällt mir auch keine ein. Bei mir steht der Satz extra noch mit strikt monoton, also $\begin{eqnarray*} f(x_1) > f(x_2) \end{eqnarray*}$ (streng monoton steigend) bzw. $\begin{eqnarray*} f(x_1) < f(x_2) \end{eqnarray*}$ (streng monoton fallend) für $\begin{eqnarray*} x_1 > x_2 \end{eqnarray*}$ . Bei dem, was du geschrieben hast, gilt aber sogar $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ .

31.07.2004, 14:56

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Philipp-ER
@Ben Sisko:
Ich dachte, im Zusammenhang mit "Lebesgue" wäre das klar.

Naja, mir schon, aber du hast das ja für MSS geschrieben und da war ich mir nicht so sicher.
Übrigens, wegen dem Zusammenhang mit Lebesgue: Du hast hier richtigerweise die Formulierung einer Jordanschen Nullmenge gegeben. Das ist etwas anderes als eine Lebesguesche Nullmenge (zumindest von der Definition her; den exakten Zusammenhang zwischen beiden Begriffen habe ich im Moment aber auch nicht parat). Wenn´s interessiert: Der Satz gilt aber auch für Lebesguesche Nullmengen (nur dafür muss man halt vorher ein bisschen Maßtheorie machen).

Gruß vom Ben

31.07.2004, 14:59

Philipp-ER

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Ich bin dumm.
Für eine auf [a,b] monoton steigende Funktion f gilt natürlich
$\begin{eqnarray*} \forall x\in [a,b]:f(a)\leq f(x)\leq f(b) \end{eqnarray*}$
und damit ist f trivialerweise beschränkt (analog für fallende Funktionen).

Dass der Satz tatsächlich auch für montone und nicht nur für streng monotone Funktionen gilt, wird übrigens durch den Satz
"Eine auf [a,b] montone Funktion besitzt höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen" in Verbindung mit dem Lebesgueschen Integrabilitätskriterium (abzählbare Mengen sind ja Nullmengen) sichergestellt.

31.07.2004, 15:07

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Philipp-ER
Ich bin dumm.
Für eine auf [a,b] monoton steigende Funktion f gilt natürlich
$\begin{eqnarray*} \forall x\in [a,b]:f(a)\leq f(x)\leq f(b) \end{eqnarray*}$
und damit ist f trivialerweise beschränkt (analog für fallende Funktionen).

Hier sagst du, eine monoton steigende Funktion ist beschränkt, d.h. es gibt keine monoton steigende Funktion, die unbeschränkt ist. (alles aufs Intervall [a;b] bezogen)

Zitat:

Original von Philipp-ER
Schon richtig, ich kann mir nur gerade keine montone Funktion vorstellen, die auf einem kompakten Intervall unbeschränkt ist und wenn es eine solche sowieso nicht gäbe, wäre der Zusatz "beschränkt" halt überflüssig.

"wenn es eine solche sowieso nicht gäbe, wäre der Zusatz "beschränkt" halt überflüssig."

Du hast oben gezeigt, dass es eine solche nicht gibt. Ist der Zusatz "beschränkt" somit nicht wieder überflüssig??

31.07.2004, 15:08

Philipp-ER

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Zitat:

Original von Ben Sisko

Zitat:

Original von Philipp-ER
@Ben Sisko:
Ich dachte, im Zusammenhang mit "Lebesgue" wäre das klar.

Naja, mir schon, aber du hast das ja für MSS geschrieben und da war ich mir nicht so sicher.
Übrigens, wegen dem Zusammenhang mit Lebesgue: Du hast hier richtigerweise die Formulierung einer Jordanschen Nullmenge gegeben. Das ist etwas anderes als eine Lebesguesche Nullmenge (zumindest von der Definition her; den exakten Zusammenhang zwischen beiden Begriffen habe ich im Moment aber auch nicht parat). Wenn´s interessiert: Der Satz gilt aber auch für Lebesguesche Nullmengen (nur dafür muss man halt vorher ein bisschen Maßtheorie machen).

Gruß vom Ben

Hi Ben.
Weißt du, ob es Teilmengen von R gibt, die Lebesgue Nullmengen, aber keine Jordan Nullmengen sind? Ich habe das nur aus einem Analysis 1 Buch, da ist von Maßtheorie natürlich noch nichts zu sehen und hier steht auch nichts Näheres zu dem verwendeten Maß (das Maß wird auch nur für Nullmengen definiert).

@MSS:
Doch, damit ist der Zusatz tatsächlich überflüssig.
Es gilt also
"Alle auf einem kompakten Intervall montonen Funktionen sind dort R-integrierbar."

31.07.2004, 15:12

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Philipp-ER

@MSS:
Doch, damit ist der Zusatz tatsächlich überflüssig.
Es gilt also
"Alle auf einem kompakten Intervall montonen Funktionen sind dort R-integrierbar."

Warum wird dann im Satz die Beschränktheit als Kriterium genannt? :P

Mal so als Frage: Gilt das nur für die R-Integrierbarkeit??

31.07.2004, 15:16

Philipp-ER

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Ich hatte den Satz nur aus dem Gedächtnis niedergeschrieben und war mir während des Schreibens nicht sicher, ob da jetzt ein "beschränkt" hin muss oder nicht. Inzwischen habe ich den Satz ja in einem Buch gefunden und da fehlt auch der Zusatz "beschränkt".

Bei deiner Zusatzfrage kann ich dir nicht helfen, ich habe mich noch überhaupt nicht mit anderen Integralbegriffen beschäftigt (also Lebesgueintegral oder so).

Edit:
Bzw, da, soweit ich weiß, alle R-integrierbaren Funktionen auch Lebesgue-integrierbar sind, gilt der Satz trivialerweise auch für die Lebesgueintegrierbarkeit. Aber ob es das ist, was du wissen wolltest...

31.07.2004, 15:33

Mathespezialschüler

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Lebesgue-Integrale kenn ich nich. Ich hatte eher an Darboux-Integrale gedacht (Ober- und Untersummen).

In meinem Buch steht der Satz nämlich ,wie gesagt, mit "beschränkt", aber da geht es auch um Darboux-Integrale.

31.07.2004, 15:47

Philipp-ER

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Naja, soweit ich weiß, gilt doch einfach:
"Genau die auf [a,b] R-integrierbaren Funktionen sind D-integrierbar auf [a,b] und für sie haben beide Integrale den gleichen Wert."
Damit gilt der Satz natürlich auch für die D-Integrierbarkeit.

Noch zur Beschränktheit:
Also in dem Satz für monotone und in dem für stetige Funktionen kann man auf den Zusatz "beschränkt" verzichten, solange es um kompakte Intervalle geht, denn beide Arten von Funktionen sind dort sowieso beschränkt. Beim Lebesgueschen Integrabilitätskriterium braucht man ihn aber.

31.07.2004, 16:17

Mathespezialschüler

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Ok, danke Philipp!

Noch ne kleine Frage: Was sind kompakte Intervalle??

31.07.2004, 16:24

Leopold

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Ein Intervall ist kompakt, wenn es beschränkt und abgeschlossen ist.
Die kompakten Intervalle sind also genau die Intervalle [a,b] mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \ , \ \ a<b \end{eqnarray*}$

31.07.2004, 16:40

Mathespezialschüler

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Was heißt denn, ein Intervall ist beschränkt??
Wenn ich mir das vorstelle, dann würde ich sagen, wenn ein Intervall abgeschlossen ist, ist es beschränkt. verwirrt

verwirrt

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