Worauf zeigt der Gradient?
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18.05.2013, 19:45 ThorstenQQ Auf diesen Beitrag antworten »
Worauf zeigt der Gradient?
Hallo, liebe Mitglieder des Matheboards.

Ich will mir mal jetzt nicht einen Berg vorstellen, sondern eine Treppe.
Und ich stehe erstmal ganz unten, vor der ersten Stufe und die Treppe führt ganz normal gerade hoch.
Wo zeigt dann der Gradient genau hin? Auf eine Stufenkante? Und wenn ja auf welche? Vor jeder Stufe ist die Steigung doch unendlich hoch, also gleich steil. Für welche entscheidet sich der Gradient?

mfG
18.05.2013, 19:50 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Eine "Stufenfunktion" ist nicht differenzierbar.
18.05.2013, 19:55 ThorstenQQ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Okay, dann betrachten wir halt die Sinusfunktion.
Und ich stehe sozusagen auf dem Minimum, also bildlich in einer Schlucht.

Nun, wo zeigt der Gradient hin?
18.05.2013, 19:59 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
In einem lokalen Minimum ist die Ableitung Null, der Gradient zeigt also nirgendwohin.
18.05.2013, 20:03 ThorstenQQ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Zeigt er ansonsten in Richtung lokales Maximum?
18.05.2013, 20:04 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Nein, das muss er nicht.
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18.05.2013, 20:13 ThorstenQQ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Und was ist wenn ich im dreidimensionalen bin und sich vor mir ein Hügel befindet, jedoch da hinter ein größerer Hügel.
Wo zeigt er hin?

Also ich kann mir noch immer nicht genau vorstellen wo er denn genau hinzeigt.

Kann mir das bitte einer anschaulich erklären..
18.05.2013, 20:14 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Der Gradient ist nur lokal definiert und zeigt in die Richtung der größten Steigung in einem Punkt. Ob sich in gewisser Entfernung irgendwelche "Hügel" befinden, spielt keinerlei Rolle.
18.05.2013, 23:31 ThorstenQQ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Was heißt lokal definiert?

Also wie weit "schaut" der Gradient denn?
"...zeigt in die Richtung der größten Steigung in einem Punkt" und welche Steigungen schaut sich der Gradient alle an? Also wo sind die Grenzen.
18.05.2013, 23:34 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Der Gradient hängt nur davon ab, wie sich die Funktion in einer ganz beliebig winzig kleinen Umgebung des betrachteten Punktes verhält.
Das meine ich mit "lokal definiert".

Im Prinzip schaut er also überhaupt nicht weit, ganz im Gegenteil.
Das Verhalten der Funktion in einem positiven Abstand ist führ ihn völlig irrelevant – ganz egal, wie klein ist.
19.05.2013, 17:04 ThorstenQQ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Vielen Dank, Che!

Eine Frage habe ich noch.

Wieso zeigt der Gradient eigentlich in die Richtung, in der die Steigung am größten ist?
Also wo ist der Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und größte Steigung?
19.05.2013, 18:18 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Weißt du, wie du aus dem Gradienten die Richtungsableitungen erhältst?
Und bist du mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung vertraut?
19.05.2013, 20:59 ThorstenQQ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Zitat:
Weißt du, wie du aus dem Gradienten die Richtungsableitungen erhältst?


Indem ich einfach den gewünschten Richtungsvektor mit dem Gradienten multipliziere, oder?

Zitat:
Und bist du mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung vertraut?


Ich habe sie schon gesehen. Wie hilft die hier weiter?
19.05.2013, 21:02 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Für einen Richtungsvektor und ein Skalarfeld ist also


Wann gilt hier Gleichheit?
19.05.2013, 21:06 ThorstenQQ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Wenn der Richtungsvektor ein Nullvektor ist?
19.05.2013, 21:08 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Der Richtungsvektor ist ein Einheitsvektor.
19.05.2013, 21:21 ThorstenQQ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Oh, sorry übersehen.

Zitat:
Wann gilt hier Gleichheit?


Wenn Gradient und Richtungsvektor linear abhängig sind.
19.05.2013, 21:26 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Und da links keine Beträge stehen, nur dann, wenn sie auch gleich orientiert sind.
19.05.2013, 21:35 ThorstenQQ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Okay und wie hilft mir das jetzt bei der Ausgangsfrage?
19.05.2013, 21:42 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Worauf zeigt der Gradient?
Wenn für alle Richtungsvektoren die Ungleichung

gilt und die Gleichheit nur dann gilt, wenn der normierte Gradientenvektor ist – was kannst du dann über die Richtung aussagen, in der die partielle Ableitung den größten Wert annimmt?
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