Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

18.05.2013, 21:25

Vinterblot

Lokale Extrema mit Nebenbedingungen

Ahoi

Zitat:

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2 - y^2 \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatoren.

Aus der Nebenbedingung folgt also
$\begin{eqnarray*} g(x, y) = x^2+y^2 - 1 \end{eqnarray*}$

Dazu gibt es ja den Satz, dass
$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) = \lambda_1 \bullet \nabla g(x,y) \end{eqnarray*}$

Der Gradient von f ist in meinem Fall $\begin{eqnarray*} (2x, -2y) \end{eqnarray*}$ , der Gradient von g ist $\begin{eqnarray*} (2x, 2y) \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} (1) 2x = \lambda_1 \bullet 2x (2) -2y = \lambda_1 \bullet 2y (3) 1 = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich ein paar Probleme:
Aus Gleichung (1) ergibt sich $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 1 \end{eqnarray*}$ , aus (2) allerdings $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -1 \end{eqnarray*}$ .
Bei (3) erhält man $\begin{eqnarray*} x = \sqrt(1 - y^2) \end{eqnarray*}$ .

Beim umstellen von (3) ist mir dann die Idee gekommen: Ist das eine DGL und kann ich hier substituieren?
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt(1 - y^2) \leftrightarrow x = \sqrt(1 - sin^2(u)) = cos(u) \end{eqnarray*}$

Dann würde ja auch der Widerspruch verschwinden, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ mal 1 und mal -1 ist, da Sin und Cos ja periodisch verlaufen. Zumal die Nebenbedingung ja den Einheitskreis abbildet.

Ist die Idee richtig? Wie würde ich hier weiter vorgehen? Einfach subsituieren?

Danke für eure Hilfe

19.05.2013, 01:29

mYthos

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Eine Differentialgleichung sehe ich dabei eigentlich nicht.

Die Aufgabe ist mittels des Ansatz von Lagrange zu behandeln.
Es entspricht dies auch deinem Vorgehen (Nullsetzen des Gradienten).

Die beiden Gleichungen, die dabei entstehen, lauten

$\begin{eqnarray*} x = \lambda x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = - \lambda y \end{eqnarray*}$
_______________

Aus der ersten Gleichung folgt für $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 1 \end{eqnarray*}$ x = 0 und y = +/- 1 (aus der Nebenbedingung)
Aus der zweiten Gleichung folgt für $\begin{eqnarray*} \lambda \neq -1 \end{eqnarray*}$ y = 0 und x = +/- 1 (aus der Nebenbedingung)

Der Wert von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist dabei unerheblich, weil als Lösungen für das System nur x, y und f(x,y) interessieren. Dass es dafür hier zwei verschiedene Werte (+1, -1) gibt, bedeutet, dass man nicht nach einem einheitlichen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auflösen kann. Die getrennte Annahme der beiden, also einmal +1 bzw. einmal -1 würde bedeuten, dass für x bzw. y unendlich viele Lösungen (also alle Punkte der Fläche) in Frage kämen. Es wird/kann aber nicht jeder Punkt ein lokales Extremum sein.

mY+

19.05.2013, 10:32

Mystic

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Zitat:

Original von mYthos
Die beiden Gleichungen, die dabei entstehen, lauten

$\begin{eqnarray*} x = \lambda x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = - \lambda y \end{eqnarray*}$
_______________

Aus der ersten Gleichung folgt für $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 1 \end{eqnarray*}$ x = 0 und y = +/- 1 (aus der Nebenbedingung)
Aus der zweiten Gleichung folgt für $\begin{eqnarray*} \lambda \neq -1 \end{eqnarray*}$ y = 0 und x = +/- 1 (aus der Nebenbedingung)

Der Wert von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist dabei unerheblich, weil als Lösungen für das System nur x, y und f(x,y) interessieren. Dass es dafür hier zwei verschiedene Werte (+1, -1) gibt, bedeutet, dass man nicht nach einem einheitlichen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auflösen kann. Die getrennte Annahme der beiden, also einmal +1 bzw. einmal -1 würde bedeuten, dass für x bzw. y unendlich viele Lösungen (also alle Punkte der Fläche) in Frage kämen. Es wird/kann aber nicht jeder Punkt ein lokales Extremum sein.

Dieser umfänglichen Diskussion der beiden $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -Werte kann man auch einfach aus dem Weg gehen , indem man die beiden Gleichungen miteinander multipliziert, was dann auf

$\begin{eqnarray*} xy(\underbrace{1+\lambda^2}_{>0})=0 \end{eqnarray*}$

und durch Kürzen weiter auf xy=0 führt... Man hat also dann die beiden Gleichungen

$\begin{eqnarray*} xy=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

zu lösen, welche absolut symmetrisch in x und y sind, sodass es wiederum genügt, nur den Fall x=0 zu betrachten und dann anschließend in dessen Lösung noch x und y zu vertauschen... Das ist hier alles "l'ars pour l'ars", ich weiß, aber es kann dem Threadersteller vielleicht dazu dienen, seine Krallen in Hinblick auf kompliziertere Aufgaben zu schärfen... Augenzwinkern

19.05.2013, 14:14

Vinterblot

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Ich hab jetzt heute noch nicht versucht eure Antworten mal mit Stift und Papier nachzuvollziehen, werd ich gleich aber probieren.

So ganz klar geworden, warum aus

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) \end{eqnarray*}$

unterschiedliche Lambda entstehen können ist mir aber noch nicht.
Wieso kann eine Variable zwei unterschiedliche Werte annehmen?

19.05.2013, 14:25

mYthos

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Die Gleichung liefert nun mal zwei Werte. Diese wären dann jeweils zu diskutieren, wobei sie gar nicht interessieren, denn es sind ja die entsprechenden x, y, z - Werte der Extrema zu bestimmen.
Um der Diskussion aus dem Weg zu gehen, wird $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ eliminiert, bzw. wie von mystic gezeigt, dessen Term, der zu zwei Lösungen führt, ausgeklammert.

mY+

19.05.2013, 15:04

Vinterblot

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Okay, ich hab es dann nun folgendermaßen gemacht:

$\begin{eqnarray*} x = \lambda x \Leftrightarrow 0 = \lambda x - x -y = \lambda y \Leftrightarrow 0 = \lambda y + y \Leftrightarrow 0 = (\lambda x - x)(\lambda y + y) = xy(\lambda^2 - 1) \Rightarrow 0 = xy 1 = x^2 + y^2 \Rightarrow \pm \sqrt(1-y^2) = x \Rightarrow 0 = xy \Leftrightarrow 0 = \sqrt(1-y^2)y \Rightarrow y_1 = 1, y_2 = 0 y_1 = 1: 1 = x^2 + 1 \Rightarrow 0 = x y_2 = 0: 1 = x^2 + 0 \Rightarrow 1 = x \end{eqnarray*}$

Also hab ich als Kandidaten den Punkt (1, 0) und den Punkt (0,1)

Korrekt?

19.05.2013, 15:20

Vinterblot

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PS: Die Hessematrix ist dann indefinit, d.h. ich hab bei (0, 1) und (1, 0) Sattelpunkte, richtig? Gäbe es jetzt noch was zu tun um die lokalen Extrema zu bestimmen? Einen Definitionsbereich, so dass ich die Randpunkte überprüfen könnte, habe ich nicht, oder kann ich den aus der NB ableiten? Zumal ja eh nur nach lokalen Extremstellen gefragt war.

$\begin{eqnarray*} Hf = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.05.2013, 15:29

Mystic

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Zitat:

Original von Vinterblot
Okay, ich hab es dann nun folgendermaßen gemacht:

$\begin{eqnarray*} x = \lambda x \Leftrightarrow 0 = \lambda x - x -y = \lambda y \Leftrightarrow 0 = \lambda y + y \Leftrightarrow 0 = (\lambda x - x)(\lambda y + y) = xy(\lambda^2 - 1) \Rightarrow 0 = xy \end{eqnarray*}$

Hm, da ist gleich einiges schief gelaufen... unglücklich

Zunächst müssen ja beide Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \lambda x - x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda y + y=0 \end{eqnarray*}$

gelten, für

$\begin{eqnarray*} (\lambda x - x)(\lambda y + y) =0 \end{eqnarray*}$

muss aber nur mindestens eine der beiden Gleichungen gelten, von Äquivalenz kann also keine Rede sein... Des weiteren hast du in der Folge durch $\begin{eqnarray*} \lambda^2-1 \end{eqnarray*}$ gekürzt, und das geht schon mal gar nicht, da dieser Term ja gerade 0 ist... geschockt

19.05.2013, 15:56

Vinterblot

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Kannst du das ein bisschen näher erläutern? Ich hab doch grad gemacht, was du sagtest: Die Gleichungen (1) und (2) multiplizieren, den Term mit Lambda wegkürzen und erhalte xy = 0

Nachtrag:
Ok, man kann natürlich sagen

$\begin{eqnarray*} x = \lambda x y = -\lambda y \Leftrightarrow xy = - \lambda^2 xy \Leftrightarrow xy + \lambda^2 xy = 0 \Leftrightarrow xy(1 + \lambda^2) = 0 \Leftrightarrow xy = 0 \end{eqnarray*}$

Trotzdem versteh ich nicht was du meinst, dass beide Gleichungen gelten müssen bzw. warum dass in meiner Variante nicht sein soll.
Ich multipliziere ja in deiner als auch in meiner Variante zwei Gleichungen miteinander, löse die Klammern komplett auf und klammere anschliesend xy aus. Insofern unterscheiden wir uns da ja nicht. Dass mit der Null seh ich ja noch ein, dass andere erscheint mir etwas diffus.

19.05.2013, 18:35

Mystic

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Zitat:

Original von Vinterblot
Trotzdem versteh ich nicht was du meinst, dass beide Gleichungen gelten müssen bzw. warum dass in meiner Variante nicht sein soll.
Ich multipliziere ja in deiner als auch in meiner Variante zwei Gleichungen miteinander, löse die Klammern komplett auf und klammere anschliesend xy aus. Insofern unterscheiden wir uns da ja nicht. Dass mit der Null seh ich ja noch ein, dass andere erscheint mir etwas diffus.

Ich hatte diesen Abschnitt

Zitat:

Original von Vinterblot
$\begin{eqnarray*} x = \lambda x \Leftrightarrow 0 = \lambda x - x -y = \lambda y \Leftrightarrow 0 = \lambda y + y \Leftrightarrow 0 = (\lambda x - x)(\lambda y + y) = xy(\lambda^2 - 1) \Rightarrow 0 = xy \end{eqnarray*}$

so gedeutet, dass für dich gilt

$\begin{eqnarray*} \lambda x -x=0 \land \lambda y +y =0 \Leftrightarrow (\lambda x - x)(\lambda y + y) =0 \quad (\Leftrightarrow \lambda x -x=0 \lor \lambda y +y =0) \end{eqnarray*}$

was wie gesagt nicht richtig ist... Um die rechte Seite zu erfüllen, würde es z.B. genügen, dass x=0 ist, wohingegen y und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ dann noch vollkommen beliebig(!) sein können...

Was nun meine Herleitung betrifft, so habe ich von vornherein darauf verzichtet, von Äquivalenzen zu sprechen... Technisch gesprochen ist also die Gleichung xy=0, welche durch Multiplikation der beiden Gleichungen $\begin{eqnarray*} x=\lambda x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=-\lambda y \end{eqnarray*}$ in der Weise folgt, wie du das oben jetzt nun endlich auch richtigerweise nachvollzogen hast, nur eine notwendige Bedingung und man muss also streng genommen noch überprüfen, ob die Lösungen, welche daraus folgen, auch wirklich das anfängliche GS erfüllen, was aber offensichtlich auch der Fall ist...

Edit: Insgesamt habe ich den Eindruck, dass du nicht nur mit dieser Aufgabe, sondern auch mit vielen mathematischen Grundprinzipien noch arg "auf Kriegsfuß" stehst... Auch die seltsame Überschrift mit DGL (wo bitte?), trägt dazu bei...So gesehen solltest du das hier als eine gute Gelegenheit ansehen, einige Defizite auf diesem Gebiet zu beseitigen... Wink

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