Kurvenintegral einer skalaren Funktion

18.05.2013, 23:45

Studi92

Kurvenintegral einer skalaren Funktion

Guten Abend,

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe mit Kurvenintegralen (Aufgabenstellung im Anhang).

Wie sollte ich hier genau vorgehen?

Muss ich hier zuerst komponentenweise ableiten und dann die Teilergebnisse wieder zu einem Integral zusammensetzen?

Gruß

19.05.2013, 13:19

zyko

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RE: Kurvenintegral einer skalaren Funktion
Wenn du dich auf der Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ befindest, wie lautet dann der Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=xyz \end{eqnarray*}$ als Funktionsausdruck von t?
Diesen Ausdruck über das t-Intervall integrieren.

19.05.2013, 14:08

Studi92

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Ich verstehe leider nicht genau was du damit meinst, aber meinst du vielleicht

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=(t,\frac{1}{3}\sqrt(8t^3),\frac{1}{2}t^2) \end{eqnarray*}$ oder eher etwas mit $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ ?

19.05.2013, 14:31

Studi92

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Ich kann den Beitrag leider nicht mehr bearbeiten.

Ist also vielleicht eher:

$\begin{eqnarray*} x(t)=(1,\frac{\sqrt(2) t^2)}{\sqrt(t^3)}, 2t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x(t)|=\sqrt(1+(\frac{\sqrt2 t^2)}{\sqrt(t^3)})^2+4t^2) \end{eqnarray*}$ gemeint, das ich dann integrieren muss über $\begin{eqnarray*} \int_{0}^1 |x| dt \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Ersetzung der Kommas beim Betrag durch +

19.05.2013, 15:14

HammerTobi

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Hallo,

erstmal, wie berechnest du ein Kurvenintegral 1. Art?

Zu deinem 2. Beitrag:
f(x,y,z)=x*y*z, wie kommst du da auf (t,(1/3)*sqrt(8t^3),(1/2)*t^2) ?
Auch der dritte Beitrag macht keinen Sinn.

Lg Tobi

19.05.2013, 15:39

Studi92

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Berechnung eines Kurvenintegrals:
Ich dachte man muss zuerst ableiten, den Betrag bilden und das dann integrieren?

2. Beitrag:
Hier habe ich versucht die Kurve als f(x,y,z) darzustellen.

3. Beitrag:
Dort habe versucht die o.g. Schritte auszuführen, um zur Berechnung zu kommen.

Wenn das alles falsch ist, wie sieht dann der richtige Lösungsweg aus?

Vielen Dank und Gruß

19.05.2013, 17:38

HammerTobi

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Hallo, erstmal sieht die Formel für die Berechnung des Kurvenintegrals 1. Art so aus:

http://upload.wikimedia.org/math/e/4/e/e4e5886c9b77fa81a0698aea4dd9b658.png

Was musst du hier tun:

Die Intervallgrenzen sollten klar sein, da du t zwischen 0 und 1 hast.
$\begin{eqnarray*} f(\gamma(t)) \end{eqnarray*}$ , hier setzt du einfach ein: $\begin{eqnarray*} f(x(t),y(t),z(t)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=x(t) \end{eqnarray*}$ von deiner Kurve, $\begin{eqnarray*} y=y(t) \end{eqnarray*}$ der Kurve und $\begin{eqnarray*} z=z(t) \end{eqnarray*}$ der Kurve

Dann musst du, wie du schon gesagt hast, ableiten und zwar komponentenweise die Komponenten der Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)) \end{eqnarray*}$ .
Als nächstes bildest du die Norm dieses Vektors $\begin{eqnarray*} \dot{\gamma}(t) \end{eqnarray*}$

Dann bildest du dieses Integral und berechnest dieses.

Liebe Grüße

Tobi

19.05.2013, 17:50

Studi92

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Vielleicht sehe ich das falsch, aber habe ich nicht genau das schon im 3. Beitrag bei der komponentenweisen Ableitung gemacht, wenn auch falsch bezeichnet?

Ich würde das nämlich jetzt nochmal genauso machen und das soll ja falsch sein. verwirrt

19.05.2013, 17:55

HammerTobi

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Zitat:

Original von Studi92
Vielleicht sehe ich das falsch, aber habe ich nicht genau das schon im 3. Beitrag bei der komponentenweisen Ableitung gemacht, wenn auch falsch bezeichnet?

Ich würde das nämlich jetzt nochmal genauso machen und das soll ja falsch sein. verwirrt

Ja, das ist richtig so, aber die Bezeichnungen solltest du auf jeden Fall ändern, es ist die Norm und nicht x(t), sondern $\begin{eqnarray*} \dot{\gamma}(t) \end{eqnarray*}$

19.05.2013, 18:22

Studi92

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Ok also:

$\begin{eqnarray*} f(\gamma(t))=(t,\frac{1}{3}\sqrt(8t^3),\frac{1}{2}t^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot{\gamma}(t)=(1,\frac{\sqrt2t^2}{\sqrt(t^3)},t) \end{eqnarray*}$

Normierung von $\begin{eqnarray*} \dot{\gamma}(t) \end{eqnarray*}$

Das kenne ich nun so

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt(1,+(\frac{\sqrt2t^2}{\sqrt(t^3)})^2+t^2)} *(1,\frac{\sqrt2t^2}{\sqrt(t^3)},t) \end{eqnarray*}$

Hattest du das mit gemeint?

Wie ist das genau bei deiner Formel gemeint, wenn da steht $\begin{eqnarray*} \int_{a}^b f(\gamma(t)) ||\dot{\gamma}(t)||_2 \end{eqnarray*}$ ?

Was genau bedeutet die untergestellte 2 und muss ich das Integral also mit dem normierten Vektor multipliziert mit der normalen Funktion der Kurve berechnen?

19.05.2013, 18:34

HammerTobi

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Hey,

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x*y*z \end{eqnarray*}$ , somit $\begin{eqnarray*} f(\gamma(t))=f(x(t),y(t),z(t))=t*\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}*\frac{1}{2}t^2 \end{eqnarray*}$ . Das ist damit gemeint.

Als nächstes sollst du nicht den Vektor normieren, sondern die Norm des Vektors berechnen und diese einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1^2+(\frac{\sqrt{2}*t^2}{\sqrt{t^3}})^{2}+t^2 } \end{eqnarray*}$ das hast du schon berechnet und das brauchst du dann noch vereinfachen und ins Integral einsetzen.

Die "untengestellte" 2 bedeutet die Euklidische Norm eines Vektors.

Lg Tobi

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