Gleichmäßige Konvergenz einer Reihe

19.05.2013, 00:09

gbk97

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichmäßige Konvergenz einer Reihe

Hallo,

ich zerbreche mir gerade den Kopf bei folgender Aufgabe:
Gegeben sindfolgende Funktionenfolgen bzw.- reihen, jeweils definiert auf der Menge M:

a.) $\begin{eqnarray*} $$ \sum_{k=1}^\infty x\cdot (1-x)^k \quad \quad auf M=[a,1) \, mit \, 0<a<1$$ \end{eqnarray*}$

b.)
$\begin{eqnarray*} $$f_n(x)=\frac{nx}{1+nx} \ ,M=[0,1] \, bzw. \, M=(0,1]$$ \end{eqnarray*}$

Untersuche auf punktweise konvergenz und gleichmäßige Konvergenz. Gib ggf ein N(epsilon) an.

So, das Problem ist nicht festzustellen, welche Funktionenreihen glm. bzw pktwiese konvergent sind, sondern das n(eps) anzugeben.

Bei der ersten Aufgabe habe ich folgenden Ansatz gewählt.

Das x vor die Klammer ziehen und dann die geometrische Summe bilden. Dann konvergiert die Summe (unabhängig vom x) gegen 1 (für k gegen unendlich) -->die Summe konvergiert gleichmässig.

Wenn ich jetzt allerdings ein n(eps) angeben soll, haperts gewaltig, da ich kein n(eps) unabhängig vom x angeben kann. Ich verwende folgende Definition:

$\begin{eqnarray*} $$\forall x \in M: \forall \epsilon >0 \exists \quad N(\epsilon): |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \, \forall x \in M \, und \quad \forall n >N(\epsilon) $$ \end{eqnarray*}$

Da fn(x) ja gegen eins konv. setzte ich also ein:

|fn(x)-1|<epsilon

und vereinfache die summe wieder auf die gleiche Art u. Weise wie oben (geom. Summe, x kürzen) und erhalte dann:

|(1-x)^(n+1)|<epsilon. Da kann ich dann aber so lange umformen, wie ich möchte und meine Aufgabe ist immer abhängig vom x.

Das gleiche Problem habe ich bei Aufgabe b.) mit M=(0,1). Ich kann ebenfalls wieder das N(eps) nicht unabhängig vom x ausdrücken. Ich komme immer auf folgenden Ansatz:

$\begin{eqnarray*} $$|\frac{x}{\frac{1}{n}+x}-1|<\epsilon$$ \end{eqnarray*}$

Nach Vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} $$\frac{1}{1+nx}<\epsilon$$ \end{eqnarray*}$

Kann mir irgendeiner weiterhelfen? Kann bei beiden Gleichung einfach nict das N(eps) nicht unabhängig von x darstellen?

Gruß Gbk

19.05.2013, 12:40

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo gbk,

Tut mir Leid, aber ich muss deinen Beitrag erstmal ein wenig zerpflücken, bevor ich eine Antwort geben kann.

Erstmal zu a)

Zitat:

Das x vor die Klammer ziehen und dann die geometrische Summe bilden. Dann konvergiert die Summe (unabhängig vom x) gegen 1 (für k gegen unendlich)

Warum tut sie das? bei mir ist das Ganze nicht konstant. Bitte beschreibe deine Rechnung.

Aber selbst wenn wir mal davon ausgehen, dass die Grenzfunktion konstant 1 ist, wie kommst du dann auf

|fn(x)-1| = |(1-x)^(n+1)| ? Das ist auch falsch.

Jetzt zu b)
Wie kommst du da auf glm. Konvergenz?

Bitte beschreibe deine Rechenwege zu allen diesen angesprochenen Punkten. Da niemand weiß, wo deine Fehler liegen, dass du darauf kommst, hat wahrscheinlich auch noch keiner geantwortet. Es hat niemand Lust, zu raten.

Gruß,
Guppi

20.05.2013, 14:44

gbk97

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
entschuldigung, dass ich so lang nicht geantwortet hab. Familienfeste haben mich aufgehalten.
Also mein Rechenweg für die a.)

$\begin{eqnarray*} $$ \sum_{k=1}^n x\cdot (1-x)^k = x\cdot \sum_{k=1}^n (1-x)^k=x \cdot \frac{1-(1-x)^{n+1}}{1-(1-x)}=1-(1-x)^{n+1}$$ \end{eqnarray*}$

und da

$\begin{eqnarray*} $$x \in [a,1) \quad mit \ 0<a<1 $$ \end{eqnarray*}$

folgt daraus, dass es unabhängig vom x gegen 1 konvergiert....

und das ganze dann in die Definition eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} $$|f_n(x)-1|=|1-(1-x)^{n+1}-1|=|(1-x)^{n+1}|$$ \end{eqnarray*}$

Das war meine Rechnung

und bei der b.) komme ich auf glm. Konvergenz für M=(0,1], da :

$\begin{eqnarray*} $$F_n(x)=\frac{nx}{1+nx}=\frac{x}{\frac{1}{n}+x}$$ \end{eqnarray*}$

und das ist unabhängig vom x für n gegen unendlich ja immer 1. Deswegen komme ich da auch auf glm. Konvergenz.

Ich hoffe mal, dass das jetzt verständlich ist.

Gruß, gbk97

20.05.2013, 16:40

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} $$ \sum_{k=1}^n x\cdot (1-x)^k = x\cdot \sum_{k=1}^n (1-x)^k=x \cdot \frac{1-(1-x)^{n+1}}{1-(1-x)}=1-(1-x)^{n+1}$$ \end{eqnarray*}$

Die Formel, die du da verwendest, gilt nur, wenn deine Summation bei 0 beginnt, nicht wenn sie bei 1 beginnt. Das erklärt auch alle Folgefehler.

Zu b)
Nur weil die Grenzfunktion nicht von x abhängt, heißt das noch lange nicht, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen sie konvergiert, es könnte ja sein, dass die Funktion für bestimmte x sehr langsam gegen 1 konvergiert. Dafür musst du wirklich genau die Definition abarbeiten, die da lautet(speziell in deinem Fall):

$\begin{eqnarray*} \forall_{\epsilon>0}\exists_{n_0\in\mathbb{N}}\forall_{n\geq n_0}\forall_{x\in M} : |\frac{nx}{1+nx}-1|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Das wird dir hier allerdings nicht gelingen, denn die Funktionenfolge ist einfach nicht glm. konvergent. Du solltest also lieber das Gegenteil zeigen.

20.05.2013, 21:13

gbk97

Auf diesen Beitrag antworten »

zu der a.) Da hab ich mich beim Abschreiben der Aufgabe verschrieben,. Die Summe beginnt schon bei null...entschuldigung.

Ich verstehe aber trotzdem noch nicht, wie ich da mein n(eps) angeben soll.

und bei der b.)

Ich versuche mich daran es nach unten abzuschätzen, komme aber nur auf konvergente Minoranten, wie z.B.:

$\begin{eqnarray*} $$|f_n(x)-f(x)|=|\frac{nx}{1+nx}-1|=|\frac{nx-(1+nx)}{1+nx}|=\frac{1}{1+nx}\ge \frac{1}{1+n}$$ \end{eqnarray*}$

und da gehts dann nicht mehr weiter.Hat vielleicht noch irgendwer einen Tipp?

Gruß gbk

20.05.2013, 21:28

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Sieh es doch mal so:

Du gibst $\begin{eqnarray*} \epsilon := 1/2 \end{eqnarray*}$ vor.
Sei dann $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beliebig.

Gib dann einfach $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ so an, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+nx}\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Tipp: Nimm einfach $\begin{eqnarray*} n = n_0 \end{eqnarray*}$ und rechne dir ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , das es tut einfach aus.

Zu 1)
Auch hier reicht natürlich nicht das Argument, dass die Grenzfunktion konstant ist. Ein gutes Gegenbeispiel ist da zB Aufgabe 2 Big Laugh

Big Laugh

Hier gilt natürlich $\begin{eqnarray*} |(1-x)^{n+1}| \leq (1-a)^{n+1} \end{eqnarray*}$ Das heißt, du musst nur $\begin{eqnarray*} (1-a)^{n+1} \end{eqnarray*}$ kleiner als Epsilon bekommen.

Anzeige

20.05.2013, 22:06

gbk97

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, so ergibt es Sinn. Ich komme dann letztendlich auf:

$\begin{eqnarray*} $$\frac{1}{1+n_0\cdot x}\ge \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac {1}{n_0}\ge x$$ \end{eqnarray*}$
und somit also nicht glm. konvergent, da es kein n_0 gibt, für das die Definition gilt. Richtig?

und für die a.) gilt dann also:

$\begin{eqnarray*} $$n\ge \lceil \frac{log(\epsilon)}{log(1-a)}-1\rceil +10$$ \end{eqnarray*}$

Vorausgesetzt, dass ich mich nicht verrechnet habe: Danke schön! Dann kann ich ja doch noch guten Gewissens ins Bett gehen Big Laugh

Big Laugh

!

20.05.2013, 22:12

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Schön!
Ich rechne das jetzt nicht nach, denn ich denke du hast das Prinzip verstanden und darauf kommt es an.

20.05.2013, 22:13

gbk97

Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings habe ich noch eine Frage: Woher hast du gleich gesehen, dass die b.) nicht glm konvergiert? Denn meistens muss man ja erst wissen, ob was glm. konvergiert oder nicht, um es dann letztendlich auch zeigen zu können? einfach nur Erfahrung oder gibts da vllt. doch einen Trick?

Ja, obs am Ende richtig gerechnet ist, ist mir auch (fast) egal....

20.05.2013, 22:18

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das daran gesehen, dass ich mir zuerst die Aufgabe angeschaut habe, wo die 0 noch im Intervall drin liegt. Bildet man da die Grenzfunktion, so ist diese natürlich auf (0,1) identisch mit 1. In 0 aber ist sie 0. Sie ist also nicht stetig. Nun sind aber alle fn stetig. Außerdem sind gleichmäßige Grenzwerte stetiger Funktionen stetig. Also kann die Folge nicht gleichmäßig konvergieren.

Natürlich kann man das mit Erfahrung auch sofort sehen, aber ich würde nicht soweit gehen, zu sagen, dass ich schon so viel Erfahrung mit sowas habe(bin selbst erst 2. Semester Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

20.05.2013, 22:27

gbk97

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn die 0 dann nicht dabei ist, könnte sie dann nicht gleichm. konvergieren? Denn dann ist die Grenzfunktion ja stetig und die einzelnen Funktionen an sich ja auch?

Edit: Dass das hier bei dieser Funktion nicht der Fall ist, haben wir ja grad gezeigt, aber allg. gesprochen?

20.05.2013, 22:31

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, wenn das so wäre, müsste aber x=0 die einzige Stelle sein, wo es nicht möglich ist, die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen. Nun ist es aber so, dass, wenn man x=0 wählt, sich die fn und die Grenzfunktion überhaupt nicht unterscheiden. Die Ursache der nicht gleichmäßigen Konvergenz muss also außerhalb der 0 liegen und damit auch noch bestehen, wenn man den Definitionsbereich einschränkt.

Hatte vergessen, dass ich mir diesen Gedanken auch noch gemacht hatte, ist mir grad wieder eingefallen.

20.05.2013, 22:41

gbk97

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, hat kurz gedauert, bis ich das verstanden habe, aber passt! Danke schön!

Gruß gbk

21.05.2013, 21:43

gbk97

Auf diesen Beitrag antworten »

So, es ist doch noch eine Frage aufgekommen:

Es handelt sich um folgende Funktion, die gleichmäßig konvergiert gegen f(x)=0. Es handelt sich dabei um M=rellee Zahlen

$\begin{eqnarray*} $$f_n(x)=\frac{x}{1+nx^2}$$ \end{eqnarray*}$

Ich habe den von dir vorgeschlagenen Ansatz gewählt.

Ich nehme an, dass die Funktion f_n(x) glm. gegen eine Funktion f(x) konvergiert. Dann gilt die Definition:

$\begin{eqnarray*} $$ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \quad N(\varepsilon): |f_n(x)-f(x)|< \varepsilon\quad \forall n \ge N(\varepsilon) \quad und \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ \end{eqnarray*}$

Ich wähle also ein eps=1/2 und wähle ein n_1 mit $\begin{eqnarray*} $$ n_1 \ge N(\varepsilon) $$ \end{eqnarray*}$

Dann gilt allerdings, dass (für x>0):

$\begin{eqnarray*} $$\frac {x}{1+n_1x^2} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2x-1}{x^2}\ge n_1$$ \end{eqnarray*}$

wobei ja eigentlich gelten sollte $$\frac {x}{1+nx^2} < \frac{1}{2} \forall n\ge N(\varepsilon)$$

und somit auch für n_1.

Wo ist der Fehler? Weil aus diesem Anstatz folgt ja, dass f_n(x) nicht glm. konvergiert.

Gruß Lukas

21.05.2013, 22:24

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler liegt hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-1}{x^2}\ge n_1$$ \end{eqnarray*}$

Das lässt du einfach so stehen. Ist es nicht möglich, dass diese Ungleichung für große n_1 keine Lösungen mehr in x hat? Dafür reicht bereits n_1 := 2...

21.05.2013, 22:33

gbk97

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist allerdings korrekt....danke schön.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »