Unterräume von Funktionen prüfen

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19.05.2013, 12:50

Printe

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Unterräume von Funktionen prüfen

Hallo!

Ich durchschaue das mit den Vektorräumen und Unterräumen noch nicht so ganz und bitte um Hilfe Gott

^^

und zwar lautet die aufgabe wie folgt:

Welche der folgenden Mengen von reellen Funktionen sind Unterräume?
a) {f(x) element C^0 (IR): f(k)=0, K=1,..., n}
b) {f(x) element C^2 (IR): für alle x element IR: f'(x)=f''(x)}
c) {f(x) element C^0 (IR): f(k)=k, k=1,...n}
d) {f(x) element IR[x]: (x²+x+3] teilt f(x)}

Meine Ansätze sind wie folgt:
Kriterien des Unterraums:
1. U darf nicht leer sein
2. Addition muss in U bleiben
3. Multiplikation mit einem Skalar muss in U bleiben.

wie ich das praktisch anwende, ist mir aber nicht klar. Vor allem verwirrt mich bei a) dass das steht f(x) .....und dann plötzlich aber f(k)...!

Ich hab mit a) angefangen und dachte, dass das 1. Kriterium erfüllt ist, da ja z.B. f(1)=0 ein Element der Menge U ist und U daher nicht leer ist.
Beim 2. Kriterium dachte ich, man muss was mit (f+g)(k) = f(k)+ g(k) schreiben, dann hätte ich 0+g(k), aber was sagt mir das? Ich kenne doch g(k) nicht? Und die restlichen Beispiele verstehe ich überhaupt nicht.... verwirrt

Bitte um Hilfe geschockt

LG Printe

19.05.2013, 16:23

DerJFK

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Antworte ich dir eben auch hier Augenzwinkern

zur a) $\begin{eqnarray*} U=\{ f(x) \in C^0 (\mathbb{R}) : f(k)=0, \ k=1,..,n \} \end{eqnarray*}$

Du hast zwar recht, dass dieser Raum nicht leer ist, aber dein Begründung stimmt nicht. Denke daran, du benötigst eine stetige Funktion die eben an den stellen 1,..,n jeweils eine Nullstelle besitzt. Einfaches beispiel ist das Polynom (sind auch immer stetig)

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-1)\cdot ... \cdot (x-n) \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} f \in U \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du noch schauen ob die Addition zweier Elemente aus der Menge auch in U ist und ebenso die skalar Mulitplikation. Dies können wir auch in einem Aufwasch machen, wir nehmen uns zwei Funktion $\begin{eqnarray*} f,g \in U \end{eqnarray*}$ und definieren uns die neue Funktion

$\begin{eqnarray*} h(x)=\lambda g(x) + f(x), \ \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

1. Die Summe stetiger Funktionen ergibt wieder eine Stetige Funktion
2. $\begin{eqnarray*} h(k)=\lambda g(k) + f(k)=0, \ k=1,..,n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow h(x) \in U \end{eqnarray*}$
Somit ist gezeigt, dass U ein Unterraum ist.

Nun probiere dich mal an den anderen Aufgaben.

19.05.2013, 19:52

Printe

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danke schon mal für deine Mühen.
so ganz kann ich das abrer noch nicht nachvollziehen.

Bzgl. Kriterium 1: Warum genügt es nicht, dass ich für k einen Wert einsetze? Ich muss doch nur zeigen, dass U nicht leer ist, da reicht es doch, wenn ich zeige, dass U ein Element besitzt, eben z.B. f(1). (Könnte ja auch f(432) nehmen, ist ja egal, ist doch 0. oder was habe ich da missverstanden?
z.B. habe ich bei b) für das 1. Kriterium die e-Funktion angeführt, als "Gegenbeispiel" dass U nicht leer sein kann..... und dann gesagt dass (f+g)'(x)=f'(x) + g'(x) = f''(X) + g''(X) = (f+g)'' (x) um die Addition zu beweisen. Geht das so?

Deinen letzten Schritt verstehe ich nicht. Also wie du darauf kommst, dass h(x) zu U gehört.
Ich habe gedacht, wenn ich zu f(x) etwas addiere, dann wird das ja auf jeden Fall größer als 0, also 0 + g(k). Und das ist ja nicht gleich 0, gehört also nicht zu U, womit das Kriterium verletzt ist u.s.w. Also kurzum, die Untermenge ist ja eigentlich nur 0 weil f(k) für alle k gleich 0 wird, und was ich addiere oder subtrahiere ist ja dann von 0 verschieden.
Verstehst du was ich meine?

19.05.2013, 20:20

DerJFK

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Zitat:

Warum genügt es nicht, dass ich für k einen Wert einsetze?

Betrachte nochmal die Menge

$\begin{eqnarray*} U=\{ f \in C^0(\mathbb{R}) : f(k)=0, \ k=1,...,n \} \end{eqnarray*}$

In Worten: U enthält alle Reellen Funktionen die Stetig sind und für die gilt, dass sie für die Werte $\begin{eqnarray*} k=1,...,n \end{eqnarray*}$ immer den Wert 0 annehmen ( $\begin{eqnarray*} f(k)=0 \end{eqnarray*}$ ).

Du hast nur angeben $\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$ , was ist die Funktion?! Z.b. für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x-1 \end{eqnarray*}$ gilt eben $\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$ jedoch für $\begin{eqnarray*} k=2,...,n \end{eqnarray*}$ gilt hier $\begin{eqnarray*} f(k)\not=0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f \not\in U \end{eqnarray*}$ . Die Vorschrift der Menge besagt ja, dass die Funktion an allen Stellen 1,..,n den Wert null annehmen muss.

Um zu zeigen, dass eine Menge nicht leer ist, ist es eben am einfachsten ein konkretes Element anzugeben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (f+g)'(x)=f'(x) + g'(x) = f''(x) + g''(x) = (f+g)'' (x) \end{eqnarray*}$

Ja das kannst du so schreiben. setze vor g oder f noch ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und dann hast du auch schon die skalare multiplikation geschafft. Ich würde jedoch noch irgendwo vermerken, dass die letzte Gleichung gilt, weil Differenzieren eine Lineare Operation ist.

Zitat:

Deinen letzten Schritt verstehe ich nicht. Also wie du darauf kommst, dass h(x) zu U gehört.

Ich habe geschrieben $\begin{eqnarray*} h(x)=\lambda g(x) + f(x) \end{eqnarray*}$ , was passiert denn wenn ich ein beliebiges $\begin{eqnarray*} k \in \{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ einsetze?

Da $\begin{eqnarray*} g,f \in U \Rightarrow g(k)=0, f(k)=0 \end{eqnarray*}$ , setze ich es nun in h(x) ein,....

$\begin{eqnarray*} h(k) = \lambda \underbrace{g(k)}_{=0} + \underbrace{f(k)}_{=0}=0 \end{eqnarray*}$

hoffe das war evtl. etwas besser erklärt.

19.05.2013, 20:44

Printe

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ach, oh Mann. Jetzt fällts mir wie Schuppen von den Augen Freude

Ich hatte völlig vergessen, dass das ,was ich addiere (g( k)) ja ebenfalls zu U gehören muss. Dann kenne ich g(k) natürlich, nämlich =0. Dann ist das klar., weil 0+0 ergibt ja immer 0, logischerweise. Hammer

Und jetzt verstehe ich auch, warum f(k) und nicht f(x)....da lag mein Problem. Ich habe das so verstanden gehabt, dass f(x)=0 sein muss, dass f also immer den Wert 0 annimmt, egal welches k ich einsetze. Dass das also feststeht. Aber das ist ja quasi nur die Bedingung, die es zur erfüllen gilt! Nur: wie gebe ich das an, sage ich, dass z.B. die Funktion f(x)=0 ein Element des Unterraums U ist? (ist es nicht sogar die einzige Funktion, oder habe ich da schon wieder was falsch verstanden? verwirrt

)

Danke für die Hilfe smile

19.05.2013, 20:52

DerJFK

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-1)\cdot ... \cdot (x-n) \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} f \in U \end{eqnarray*}$

Ich hatte dir oben schon eine Funktion gegeben, welche in U liegt und nicht eine konstante Funktion ist. Weiteres beispiel wäre, das auch die Sinusfunktion so wählen kannst, dass sie für alle ganzen Zahlen 0 ist. Und diese Funktion würde dann auch in U liegen. Somit gibt es schon mind. zwei Funktionen und wie du schon gezeigt hast, liegen auch alle linear Kombinationen dieser beiden Funktionen in U und somit haben wir schon mal unendliche viele Funktionen in U.

19.05.2013, 20:59

Printe

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ach ja klar, hast Recht. Ich hab mal wieder zu einfach gedacht.
Aber es reicht doch, wenn ich ein Beispiel angebe, um zu zeigen, dass U nicht leer ist,oder? Und da kann ich doch f(x)=0 nehmen, auch wenn deine Beispiele natürlich schöner sind und sich nach mehr anhören smile

19.05.2013, 21:22

Printe

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....so, hab die anderen Teilaufgaben weitergemacht und bekomme heraus dass
b) ein Unterraum ist
c) kein Unterraum ist
d) weiß noch nicht - heißt "(x²+x+3) teilt f(x)" dass (x²+x+3)/f(x)= eine ganze Zahl geben muss?

19.05.2013, 22:26

DerJFK

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Hallo,

b) und c) stimmen.

Auf deine Frage von vorher: Genau es reicht ein Beispiel anzugeben, und klar kannst du auch f(x) = 0 nehmen Augenzwinkern

zu d)

damit folgendes gemeint:

sein nun $\begin{eqnarray*} q = x^2 + x + 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f,p,r \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$

Mit q teilt f ist gemeint, es gibt p und r sodass f = q*p + r,.. wo bei für r=0, q ein teiler von f ist.

Beispiel: q ist damit selber schonmal in U, denn q = q*1 + 0 und $\begin{eqnarray*} 1 \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ somit ist $\begin{eqnarray*} q \in U \end{eqnarray*}$

EDIT: $\begin{eqnarray*} f=q\cdot p \end{eqnarray*}$ , dann sind natürlich auch q und p teiler von f. Hier ist eben wichtig das sich f als produnkt zweier polynome schreiben lässt, wobei eines von beiden eben q sein muss.

20.05.2013, 13:56

Printe

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okay....also darf es einen Rest geben?
Nun habe ich allerdings das "Problem", dass f(x) ja nicht 0 sein darf, weils im Nenner steht. Aber f ist ein Polynom, also das Produkt der Nullstellen.....scheitert es dann nicht schon am 1. Kriterium? hmm.

ich habe außerdem noch eine e)....die wie folgt aussieht:
{f(x) elem. IR[x]: deg(f) <=5, f(i)=0}
(soll ein kleiner-gleich-zeichen sein)

d.h. höchstens fünften Grades, darf also max. 5 Nullstellen haben. Eine davon ist bei x=i. also kann ich f(x) schreiben als (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-i). Schlauer bin ich zurzeit noch nicht verwirrt

also bzgl. 1. Kriterium - es wird ja wohl eine Funktion geben, auf die die Bedingung zutrifft....vielleicht.......ganz banal, f(x)=3x.
Multiplikation: naja, wenn ich die Funktion mit einer Zahl vervielfache, wird sich der Grad nicht erhöhen. Und die Nullstellen bleiben da, wo sie sind. Also geht auch.
Addition: f(x)+g(x)=(f+g)(x).,....hmm, bin mir da unsicher. Behält die summe der funktionen die einzelnen Nullstellen bei?

20.05.2013, 18:00

DerJFK

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War vielleicht etwas ungeschickt erklärt. Ob das Polynom p, das Polynom f teilt ist genauso definiert als ob wir zwei ganze Zahlen a und b haben und wissen möchten ob a die Zahl b teilt.

p teilt f genau dann wenn, es ein weiteres Polynom q gibt mit

f=p*q

Ist denn eine ganze Zahl ein Teiler einer anderen Zahl wenn es einen Rest gibt?
Schau dir die obige Darstellung genau an, dann siehst du auch ob das konstante Polynom f(x)=0 drin ist oder nicht.

(kleiner Tipp: kennst du denn noch die Polynomdivision aus der Schule?)

Zitat:

ganz banal, f(x)=3x.

naja, gilt hier denn im Allgemeinen $\begin{eqnarray*} f(i)=3\cdot i \overset{?}{=} 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

f(x)+g(x)=(f+g)(x).,....hmm, bin mir da unsicher. Behält die summe der funktionen die einzelnen Nullstellen bei?

Dieses Spiel hatten wir oben schon mal. Schreibe es dir doch hin und rechne aus ob die Nullstelle erhalten bleibt oder nicht.

Schaue dir bitte das bisher erarbeitete genau an, denn wenn du das verstanden hast ist die letzte Aufgabe gelöst.

20.05.2013, 22:19

Printe

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also demnach ohne Rest.
Die Polynomdivision kenne ich, das Horner-Schema auch, aber irgendwie ist mir jetzt wieder alles unklar geworden. nee, vielleicht habe ich es doch noch nicht verstanden - ich habe keine Ahnung, warum oder warum nicht das Beispiel mit f(x)=3x falsch sein sollte...
Also ich "kenne" eben die Kriterien für einen Unterraum, aber weiß nicht was ich da eigentlich tue, während ich sie überprüfe, deshalb kann ich auch nicht sagen wie ich das nun korrekt aufschreiben soll, oder woran ich sehe ob eine Nullstelle erhalten bleibt oder nicht. Tut mir Leid.... unglücklich

warum geht f(x)=3x nicht. Es ist doch eine Gerade, und eine Gerade muss eine Nullstelle haben. i ist doch nur ein Parameter für irgendeine Zahl, also ist die Bedingung, dass der Unterraum nur Funktionen enthält, die (mind.) eine Nullstelle haben. Geraden haben eine, also ist die Bedingung erfüllt.....??

Finde das alles irgendwie schwammig und so, als ob ich versuchen müsste, zu beweisen dass ein Apfel eine Frucht ist.....sowas was eigentlich jeder weiß. unglücklich

20.05.2013, 22:57

DerJFK

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Zitat:

{f(x) elem. IR[x]: deg(f) <=5, f(i)=0}

das war die Menge die du geschrieben hattest. Mal in Latex geschrieben

$\begin{eqnarray*} \{ f \in \mathbb{R} [x] \ : \ \text{deg}(f) \le 5, f(i)=0\} \end{eqnarray*}$

Steht denn auf der Übung die du machst vielleicht

$\begin{eqnarray*} \{ f \in \mathbb{R} [x] \ : \ \text{deg}(f) \le 5, \exists i \in M \ : \ f(i)=0\} \end{eqnarray*}$
(soll eben als Beispiel stehen, dass an i noch eine weitere Bedingung geknüpft ist)

wobei M vielleicht für die reellen, rationalen, ganzen oder natürlichen Zahlen steht?

Denn wenn nicht, dann steht i für eine feste Zahl und somit sollen alle Funktion (wie bei deiner Aufgabe (a) ) an der gleichen Stelle eine Nullstelle haben. Diese soll eben an dem Punkte i sein.

Schreibe dir doch auch mal in Worten auf, welche Bedingungen die Funktionen erfüllen müssen um in der Menge U enthalten zu sein. Vielleicht wird es dir dann klarer.

Zitat:

Finde das alles irgendwie schwammig und so, als ob ich versuchen müsste, zu beweisen dass ein Apfel eine Frucht ist.....sowas was eigentlich jeder weiß.

Auch der Apfel besitzt bestimmte Merkmale um als Frucht zu gelten. Ebenso gilt dies für die Funktionen deiner Menge U.

Vielleicht könntest du auch erklären was dir als schwamming erscheint, weil verstehe nicht was hier schwamming ist?

Zitat:

Also ich "kenne" eben die Kriterien für einen Unterraum, aber weiß nicht was ich da eigentlich tue, während ich sie überprüfe, deshalb kann ich auch nicht sagen wie ich das nun korrekt aufschreiben soll,

Du prüfst ob diese Kriterien auf die Menge zutreffen oder nicht. Wenn "ja" dann ist es ein "Unterraum", sonst nicht. Diese drei Kriterien besagen nur:

1. Die Menge ist nicht leer -> es sollte mindestens ein Element enthalten sein.
2. $\begin{eqnarray*} x,y \in U \Rightarrow x+y \in U \end{eqnarray*}$ -> Die Addition zweier Elemente soll wieder ein Element der Menge ergeben. (Abgeschlossenheit bzgl. Addition)
3. $\begin{eqnarray*} x \in U, \ \lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow \lambda \cdot x \in U \end{eqnarray*}$ -> Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation

Gerade für 2. und 3. muss eben das resultierende Element (in deiner Situation Funktion) wieder eine Element der Menge sein. Du hast ja schon die vorherigen Aufgaben als Beispiele! Versuche die Parallelen zu erkennen.

21.05.2013, 22:41

Printe

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vielen Dank für all deine Mühen, Der JFK. smile

Ich musste das Zeug jetzt abgeben und werde in einer Woche Bescheid wissen, ob ichs richtig gemacht habe. Dort, wo ich mir nicht sicher war, habe ich eben die Ansätze hingeschrieben, manchmal bringt das auch schon was.
Wie gesagt, danke nochmal. smile

22.05.2013, 09:47

DerJFK

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Ok.

mich hätte dennoch interessiert, was dir schwammig erscheint. Denn vielleicht gibt es noch mehr Leute, die da eine ähnliche Schwierigkeit haben und dann kann man diese Unklarheit für alle beseitigen smile

Vielleicht klärt es sich ja auch, wenn ihr eure Übung besprecht.

Gruß und noch weiter viel Erfolg.

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