Stabilität von Algorithmen

19.05.2013, 13:08	huebstAr-1988	Auf diesen Beitrag antworten »
Stabilität von Algorithmen Meine Frage: Hallo, ich bin im Rahmen der nächsten Klausurenrunde dabei für das Fach 'Numerik' zu lernen. Momentan bin ich im Themengebiet Kondition / Stabilität. Dabei habe ich folgende Algorithmen auf Stabilität zu prüfen: a) $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{e^x} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{2} (e^x + e^{-x}) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray}$ Leider sind die Lösungen, die ich dazu habe, wenig aussagekräftig mit "Alle Algorithmen sind stabil" - leider jedoch ohne Wege oder Ansätze. Durch das Lesen einiger Seiten in dem Fachbuch "Numerik für Mathematik" bin ich leider nicht wirklich schlauer geworden und mir fehlt jeglicher Ansatz für die Lösung des Problems. Meine Ideen:* Über die Suche im Forum habe ich folgenden Thread gefunden: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=476645 Hier scheint es mir so, als ob hier durch Umformung so verändert wird, dass sich alle Werte für x > 0 einsetzen lassen. Die Forderung ist hier ja aber nicht genau die selbe wie bei meinem Problem. Falls es einen Zusammenhang zwischen meiner Aufgabenstellung und der im Thread gibt, habe ich ihn bisher nicht erkannt. Zu meinem Problem: Meines Erachtens müsste geprüft werden, wie groß der Fehler bei Einsetzung bestimmter, nicht fehlerbehafteter Eingangswerte wird. Ist er in der Größenordnung des durch fehlerbehafteten Eingangswerten entstehenden Fehlers, ist der Algorithmus stabil. Soweit richtig? Dazu wird es sicherlich eine Art Leitfaden geben, mit dem ich an solche Probleme rangehen kann - und genau diesen suche ich.
19.05.2013, 16:10	huebstAr	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, jetzt wieder unter meinem alten Nickname. Habe mir noch einige Gedanken gemacht um mein Problem. Dabei bin ich auf folgendes gestoßen: * Multiplikation und Division von sind Operationen die für alle Eingangsdaten gut konditioniert sind. Bei Subtraktion zweier annähernd gleich großer Zahlen entsteht das Problem der Auslöschung, wodurch die Operation schlecht konditioniert ist. * Auslöschungen sollten bei Algorithmen vermieden werden. Bedeutet dies im Umkehrschluss, das wenn eine Subtraktion in meiner Funktion auftritt, der Algorithmus an der entsprechenden Stelle instabil ist? Weiter: * Bei einem stabilen Lösungsverfahren bleiben die im Laufe de Rechnung erzeugten Rundungsfehler in der Größenordnung der durch die Kondition des Problems bedingten unvermeidbaren Fehler. Wenn ich nun alle Elementaroperationen für sich betrachte, muss der Fehler also <= dem Fehler, entstehend durch schlechte Eingangsdaten, sein, damit der Algorithmus stabil ist? Ist es nun doch so, dass es in dem Sinne keinen Leitfaden gibt zur Lösung solcher Fragestellungen? Muss die Funktion hier nur auf die o.A. Punkte geprüft werden? Das würde zumindest die Lösung meiner obigen Funktionen erklären.
19.05.2013, 20:14	huebstAr	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider kann ich meinen letzten Beitrag nicht mehr editieren, daher ein Neuer. Ich bin nun auf die Formel $\begin{eqnarray} K_{i} = \| \frac{X_{i}}{y} \frac{d \psi_{1}}{dX_{1}} \| \end{eqnarray}$ gestoßen. Dabei nehme ich an, das i = Anzahl der Elementaroperationen sein soll. Leider kann ich dabei nicht erlesen, wie man nun auf $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ kommt, bzw woher man das x zur Berechnung nimmt. Als Beispiel ist hier folgendes angegeben: $\begin{eqnarray} <br /> f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R<br /> f(x) = e^{2x^ 2}<br /> <br /> 1) X_{1} = X; \phi_{1}: X_{1} \rightarrow X_{1}^ 2; \psi_{1}: X_{1} \rightarrow e^{2x_{1} ^ 2}<br /> <br /> 2) X_{2} = X^2; \phi_{2}: X_{2} \rightarrow 2 X_{2}; \psi_{2}: X_{2} \rightarrow e^{2X_{2}}<br /> <br /> 3) X_{3} = 2 X^2; \phi_{3}: X_{3} \rightarrow e^{X_{3}}; \psi_{3}: X_{3} \rightarrow e^{X_{3}}<br /> \end{eqnarray}$ Soweit zunächst. Könnte mir jemand sagen, was es mit $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray*}$ auf sich hat? Ich wäre sehr dankbar. Viele Grüße
19.05.2013, 22:34	huebstAr	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, ich glaube ich bin auf dem richtigen Weg: Mit $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ sind meines Erachtens die nächsten anstehenden Rechenoperationen gemeint. So ist in meinem Beispiel bei 1) $\begin{eqnarray} \phi = X_{1}^2 \end{eqnarray}$ , da in der Ursprungsformel x zunächst quadriert wird. Soweit richtig? Jetzt frage ich mich jedoch, warum im letzten Schritt $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} 2 x_{1}^2 \end{eqnarray*}$ ist, denn das wäre die nächste Rechenoperation für mich. Könnte mir jemand das Vorgehen erklären? Vielen Dank!
23.05.2013, 11:27	huebstAr	Auf diesen Beitrag antworten »
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