Unbekannte Matrix bestimmen

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19.05.2013, 13:14	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbekannte Matrix bestimmen Habe eine Aufgabe, bei der ich nicht ganz weiß wie ich ansetzen soll: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 6 & 9\\ -2 &-5 \end{pmatrix}\;\;B=\begin{pmatrix} 6 & 6\\ -3 &-5 \end{pmatrix}\;\;AT=TB \end{eqnarray}$ Meine Idee war es Gleichungssysteme in 4 Variablen anzuschreiben, das dauert aber ewig. Gibt es da einen raffinierteren Trick?
19.05.2013, 13:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unbekannte Matrix bestimmen Ich sehe keine Aufgabe.
19.05.2013, 13:57	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist die Matrix T zu bestimmen..
19.05.2013, 13:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Null.
19.05.2013, 14:04	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid. Es soll eine reguläre Matrix sein
19.05.2013, 14:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Na endlich. Was habt ihr denn zu dem Thema besprochen?
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19.05.2013, 14:11	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider war ich damals bei dieser VO anscheinend nicht dabei. Es muss irgendwas mit Inversen, transponiert, etc... zu tun haben
19.05.2013, 14:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ohne entsprechende Vorkenntnisse bearbeiten zu wollen, ist keine gute Idee... Lies dich in das Thema etwas ein, das Stichwort lautet "Ähnlichkeit von Matrizen".
19.05.2013, 14:18	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
AsoooO! Danke! Ich muss also die Orthogonale Matrix mithilfe der Eigenvektoren bilden.
19.05.2013, 14:43	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mir den Artikel auf Wiki durchgelesen. Weiß jetzt, dass A und B anscheinend ähnlich sein müssen, also gleichen Rang, Determinante, Spur etc... haben muss. Wie rechne ich mir aber das T aus? Keiner der Bedingungen hilft mir wirklich.
19.05.2013, 15:49	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß gerade nicht, ob es noch irgendwie einfacher anders geht, aber falls alle Stricke reißen: Deine Matritzen sind beide Diagonalisierbar. Bestimme also deren Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray}$ (die sollten gleich sein, sonst ist dein Unterfangen eh aussichtslos). Bestimme dann Matritzen, bestimme $\begin{eqnarray} T_1, T_2 \end{eqnarray}$ , so dass: $\begin{eqnarray} T_1^{-1}AT_1 = \begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix} = T_2^{-1}BT_2 \end{eqnarray}$ Wie das funktioniert solltest du auch im Internet unter Diagonalisierbarkeit finden, da musst du halt ein bisschen suchen. Wir können dir hier nunmal wirklich nicht alle Grundkenntnisse vermitteln. (Das ist eigentlich ein ziemlich großes Kapitel in der Vorlesung, da kannst du nicht bloß einmal gefehlt haben, um das KOMPLETT zu verpassen). Wenn du $\begin{eqnarray} T_1,T_2 \end{eqnarray}$ bestimmt hast, musst du nochmal scharf hinsehen und weißt dann, was $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ist. Sonst meld dich nochmal.
19.05.2013, 16:12	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe jetzt T1 und T2 so bestimmt, dass die diagonale Eigenwertmatrix rauskommt: $\begin{eqnarray} T_1 = \begin{pmatrix} -9 & -9\\ 2 &9 \end{pmatrix}\;\;T_2=\begin{pmatrix} -6 & -6\\ 2 &9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich weiß aber immer noch nicht wie ich T erhalte. Mein größtes Problem ist, dass ich das alles zwar rechnen kann, mir es aber gar nichts sagt. Sprich ich habe überhaupt kein Verständnis für die Lineare Algebra, wobei ich dazu sagen muss, dass ich es gerne verstehen will was ich da mache, denn dann wüsste ich auch wie ich die ganze Sache angehen soll. Beispiel: T^-1 - A -T ??? Wieso das denn? Wie kommt man auf sowas? Ich will ja etwas ganz anderes, und zwar will ich eine Matrix T finden, die obige Bedingung erfüllt. Was haben da Eigenwerte damit zu tun? Wieso diagonalisieren? Wie kommt man überhaupt auf die Idee zu diagonalisieren? Wieso sage ich A ist diagonalisierbar und man meint damit dass C^-1AC = D wobei eigentlich D dann die DIagonale Matrix ist und nicht A. Und komischerweise besteht D aus allen Eigenwerten. Wieso muss ich in diesem Fall dann meine Matric C aus den Eigenvektoren bilden? Macht man das, nur weil es funktioniert oder weil da ein Sinn dahinter steckt?. Bei mir ist es gerade so: Ich kann die Rechenregeln, und ich weiß was ich wo tun muss wenn ich was bestimmtes lese. Aber diese Werkzeuge mit dem Verständnisteil meines Gehirrns zu verbinden, damit alle Lücken verschwinden das ist noch nicht passiert und kein Mensch kann das ändern, außer der der mir das ganze auch menschlich und anschaulich so erklärt, damit ich das NUR verstehen muss!!
19.05.2013, 17:06	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst erstmal zur Aufgabe: Versuche in der Gleichung (T_1)^(-1)AT_1 = (T_2)^(-1)BT_2 durch rechts und links-Multiplikation von T_1 oder T_2 oder deren Inversen auf die gewünschte Form zu kommen. Zu deinen Fragen: wie ich bereits sagte, da steckt eine umfangreiche Theorie hinter, die einen großen Teil der linearen Algebra ausmacht. Ich kann das nicht mal eben in einem Forumsbeittag so erklären, dass du es WIRKLICH verstehst. Besuche entweder die Vorlesung nochmal oder arbeite das alles anhand eines Buches nach, wenn du nicht nur Rechenkonzepte auswendig lernen willst. Es tut mit Leid, aber so sieht es aus.
19.05.2013, 17:48	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, ich verstehe nicht ganz was du meinst. Soweit ich das jetzt (hoffentlich) richtig verstanden habe, sind die MAtrizen A und B so darstellbar: $\begin{eqnarray} A=T_1DT_1^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=T_2DT_2^{-1} \end{eqnarray}$ Wenn ich das einsetze, dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} T_1DT_1^{-1}T=TT_2DT_2^{-1} \end{eqnarray}$ Aber ich stehe noch vor dem selben Problem wie vorher. Ich habe jetzt A diagonalisiert, nur hebt sich durch Operationen nichts auf, sodass sich T ergibt.
19.05.2013, 18:23	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A=T_1DT_1^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=T_2DT_2^{-1} \end{eqnarray}$ Aber das kannst du doch umstellen zu $\begin{eqnarray} T_1^{-1}AT_1 = D \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_2^{-1}BT_2 = D \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du doch beides gleichsetzen, so dass du $\begin{eqnarray} T_1^{-1}AT_1 = T_2^{-1}BT_2 \end{eqnarray}$ erhälst. Mit dieser Gleichung solltest du jetzt ein bisschen rumspielen, bis du sie in der Form hast, die du brauchst.
19.05.2013, 18:32	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön! Die Lösung ist daher T = T1*T2^-1
19.05.2013, 21:32	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss einfacher gehen. Habe das jetzt nämlich so gerechnet, jedoch komme ich auf ein anderes Ergebnis als in den Lösungen, aber beide stimmen. Also für das Bsp: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 2 &-6 \\ 4 & -9 \end{pmatrix} \;\; \begin{pmatrix} -3 & 3\\ 2&-4 \end{pmatrix}\;\;Loesung:T= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}& \frac{5}{4}\\ 0 &1 \end{eqnarray}$ Aber wie hat man das so gelöst? Ich finde keinen anderen Weg das zu machen um so schöne Zahlen herauszubekommen. Der Lösungsweg ist leider nicht bekannt.
19.05.2013, 21:38	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 2 &-6 \\ 4 & -9 \end{pmatrix} \;\; \begin{pmatrix} -3 & 3\\ 2&-4 \end{pmatrix}\;\;Loesung:T= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}& \frac{5}{4}\\ 0 &1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
19.05.2013, 22:08	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh, bitte was? So wie du $\begin{eqnarray} T_1, T_2 \end{eqnarray}$ angegeben hast, kommt da bei mir $\begin{eqnarray} T_1T_2^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus. Ich frag mich, wie du da ein schöneres Ergebnis bekommen willst
19.05.2013, 22:33	Schreiber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ja ich habe mich verrechnet. Danke

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