Reihenkonvergenzkriterien

19.05.2013, 17:37

Rakovgi

Reihenkonvergenzkriterien

Ich möchte Reihen auf Konvergenz untersuchen, vielleicht kann mir jemand sagen ob das so passt:

Ich beginne mal mit der ersten

1. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (\frac{n}{2n+1})^n \end{eqnarray*}$

-> Wurzelkriterium, sodass die n-te Wurzel gezogen wird, und übrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2+1/n} \end{eqnarray*}$ und besitzt den Grenzwert 0,5;
und 0,5 < 1 -> die Reihe konvergiert.

19.05.2013, 20:19

Nofeykx

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Ja, das ist richtig. Freude

Schreib es aber besser ein bisschen formaler auf Augenzwinkern

20.05.2013, 16:20

Rakovgi

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Hi,

das freut mich sehr smile

Dann zur nächsten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (\frac{n^3}{2+4n^4}) \end{eqnarray*}$

Welches Konvergenzkriterium bietet sich denn hier an?
Instinktiv hatte ich an das Majorantenkriterium gedacht.. Naja, einen Versuch kann ich ja einfach wagen:

Seien $\begin{eqnarray*} (a_n) := 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) := \frac{n^3}{2+4n^4} \end{eqnarray*}$ zwei Folgen.

Da nach dem Majorantenkriterium gilt $\begin{eqnarray*} (b_n) \le (a_n) \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} 1 \ge \frac{n^3}{2+n^4} \end{eqnarray*}$ .
Da die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ( 1 ) \end{eqnarray*}$ konvergiert, konvergiert auch die zu untersuchende Reihe.

20.05.2013, 16:28

Nofeykx

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Zitat:

Da nach dem Majorantenkriterium gilt $\begin{eqnarray*} (b_n) \le (a_n) \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} 1 \ge \frac{n^3}{2+n^4} \end{eqnarray*}$ .

umgekehrt oder? Aus $\begin{eqnarray*} 1 \ge \frac{n^3}{2+n^4} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |b_n| \le a_n \end{eqnarray*}$ . f.a. n in IN.

Zitat:

Da die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ( 1 ) \end{eqnarray*}$ konvergiert,

Aha

Denk nochmal scharf nach Big Laugh

20.05.2013, 16:35

Rakovgi

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Zitat:

Original von Nofeykx

Zitat:

Da nach dem Majorantenkriterium gilt $\begin{eqnarray*} (b_n) \le (a_n) \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} 1 \ge \frac{n^3}{2+n^4} \end{eqnarray*}$ .

umgekehrt oder? Aus $\begin{eqnarray*} 1 \ge \frac{n^3}{2+n^4} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |b_n| \le a_n \end{eqnarray*}$ . f.a. n in IN.

Zitat:

Da die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ( 1 ) \end{eqnarray*}$ konvergiert,

Aha

Denk nochmal scharf nach Big Laugh

Uups!

Ne das passt wohl nicht.. Was bietet sich denn sonst an? Habe leider bisher kaum Erfahrung mit den Konvergenkriterien, daher muss ich derzeit einfach üben, üben, üben..

20.05.2013, 16:45

Nofeykx

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Ist dir die Divergenz der harmonischen Reihe bekannt?
Du könntest diese hier als Minorante verwenden(nicht ganz direkt, du brauchst noch eine kleine Zusatzberlegung)

21.05.2013, 11:19

Rakovgi

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Hallo,

Man, ich bin aber auch ein Schussel, habe mich zwischendrin des Öfteren vertippt, denn es hat eine " 4 " gefehlt. So nun nochmals richtig und vollständig:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2+4n^4} \end{eqnarray*}$

Das, was du geschrieben hast, musste ich nachschlagen.

Es ist wohl $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ eine divergente Reihe.

Wenn ich das nun richtig verstehe muss ich zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \frac{n^3}{2+4n^4} \end{eqnarray*}$ , daher vermute ich, dass ich es noch nicht richtig verstehe; auch nicht, welch Zusatzüberlegung ich brauche!

21.05.2013, 11:34

Nofeykx

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Die Zusatzüberlegung brauchst du, weil

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \frac{n^3}{2+4n^4} \end{eqnarray*}$ einfach nicht gilt.

Was du allerdings zeigen kannst, ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5n} < \frac{n^3}{2+4n^4} \end{eqnarray*}$ für n>1.

Diese Ungleichung und außerdem, dass die Reihe über 1/(5n) ebenfalls nicht summierbar ist, wäre zu zeigen.

21.05.2013, 15:51

Rakovgi

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Hi,

man, das ist ein super Tipp, danke Augenzwinkern

Die Ungleichung kann ich zeigen; Die Divergenz von 1/5n hoffe ich derart zeigen zu können:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5n} = \frac{1}{5} * \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Und die Aufsummierung sieht dann hoffentlich so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Und da die Harmonische Reihe divergiert, divergiert die Reihe 1/5n auch, da 1/5 ein konstanter Wert ist.

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