Stetigkeit einer Funktion mit mehreren Variablen

19.05.2013, 17:48	F.F.	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Funktion mit mehreren Variablen Hallo Zusammen, für unser aktuelles Übungsblatt, sollen wir überprüfen, ob die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y)=\left\{ \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} ,(x,y)\neq (0,0) \wedge 0 , (x,y) = (0,0) \right\} \end{eqnarray}$ (sorry für die schlechte Darstellung, ich wusste nicht, wie ich das in Latex ordentlich schreiben kann; ich hoffe es ist klar geworden, was ich ausdrücken möchte) stetig ist. Für (x,y) ungleich (0,0) ist die Stetigkeit ja klar? Interessant wirds also im Punkt (x,y)=(0,0): nun meine Frage: wie überprüfe ich hier auf Stetigkeit? Ich habe bereits hier gelesen, das hat mir allerdings irgendwie nicht weiter geholfen... Zeigen möchte ich ja eigentlich: $\begin{eqnarray} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = 0 \end{eqnarray}$ oder irre ich mich da? Falls dem nicht so ist, wäre die Funktion halt nicht stetig...? Wie gehe ich jetzt hier also vor? Im Eindimensionalen wäre ich jetzt einfach von links und rechts auf die 0 zu gelaufen und hätte überprüft ob der Grenzwert 0 ist - hier weiß ich allerdings leider echt nicht weiter. =/ Ich hoffe jemand kann mir helfen, lG FabFaeb
19.05.2013, 18:05	Bartolomeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest zwei Nullfolgen x_n und y_n finden, um mit dem Folgenkriterium zu argumentieren, dass die Funktion in (0,0) nicht stetig ist.
19.05.2013, 18:46	F.F.	Auf diesen Beitrag antworten »
... dafür müsste ich ja aber wissen, dass die in Funktion tatsächlich nicht stetig in (0,0) ist... Ich war ja eher die Meinung, sie wäre dort stetig..! Gibts für solche Fälle kein "Grundrezept"? =/
19.05.2013, 18:59	Bartolomeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Folgenkriterium lautet hier: Die Funktion ist stetig in (0,0), wenn für alle Nullfolgen (x_n,y_n) gilt: f(x_n,y_n)=0. Indem du zeigst, dass es eine Nullfolge gibt, für die gilt $\begin{eqnarray} f(x_n,y_n)\neq 0 \end{eqnarray}$ , zeigst du also, dass die Funktion dort nicht stetig ist.
19.05.2013, 19:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
@Bartolomeo: Du brauchst jeweils $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} = \end{eqnarray}$ .
19.05.2013, 19:46	F.F.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann ist die Funktion also wohl nicht stetig in (0,0). Bleibt aber die Frage woher ich das so von vornherein sehe..? @Che Netzer: Was genau meinst du damit? Ich suche also zwei Nullfolgen $\begin{eqnarray} (x_{n}, y_{n}) \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} f(x_{n}, y_{n}) \to 0 \end{eqnarray}$ nicht gilt?
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19.05.2013, 20:06	Bartolomeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap. Stelle dir die einfachsten Nullfolgen, die du kennst, vor und setze sie in die Funktionsvorschrift ein. @Che: einverstanden

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