Paare unabhängiger Ereignisse

19.05.2013, 18:25	LisaFee	Auf diesen Beitrag antworten »
Paare unabhängiger Ereignisse Meine Frage: Hallo, ich bin gerade am lesen des Buches "Stochastik für Einsteiger" (Henze) und nun bin ich an einer Aufgabe (16.4, Auflage 8, falls dieses Buch jemand besitzt) angelangt, an der ich nicht weiter komme. Es sei (Omega, P) ein Laplacescher W-Raum mit a) \|Omega\|=6 (echter Würfel) b) \|Omega\|=7 Wie viele Paare (A,B) unabhängiger Ereignisse mit 0 < P(A) $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ P(B) < 1 gibt es jeweils? Meine Ideen: In der Lösung sind bei a) 360 angegeben, mit der Begründung, dass es jeweils 180 Paare gibt, nachvollziehen kann ich dies aber nicht, da der lösungsweg nur teilweise skizziert wurde, obwohl ich das Buch gelesen habe und soweit alles verstanden hatte. Bei Aufgabenteil b) wird dann mit der Primzahl begründet...(Ergebnis 0) Leider haben wir solche Aufgaben weder in der Vorlesung, noch in der Übung oder im Tutorium behandelt...mich würde der Lösungsweg jedoch trotzdem interessieren. Vielleicht kann mir jemand helfen...das wäre echt total nett! Vielen Dank schon einmal!
22.05.2013, 15:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine gelungene Kombination von elementarer Kombinatorik + Zahlentheorie. Im Laplaceschen W-Raum mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Elementen sind alle Ereigniswahrscheinlichkeiten von der Struktur $\begin{eqnarray} \frac{m}{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m\in\{0,1,\ldots,n\} \end{eqnarray}$ . Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ erfordert nun $\begin{eqnarray} P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0<P(A)\leq P(B)<1 \end{eqnarray}$ und Unabhängigkeit $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ heißt dann übersetzt, dass es ganze Zahlen $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} P(A)=\frac{a}{n},\; P(B)=\frac{b}{n},\; P(A\cap B)=\frac{c}{n} \end{eqnarray}$ gibt, für die $\begin{eqnarray} 0<a\leq b < n \end{eqnarray}$ und zudem $\begin{eqnarray} \frac{c}{n} = \frac{a}{n}\cdot \frac{b}{n} \end{eqnarray}$ , umgestellt $\begin{eqnarray} cn=ab \end{eqnarray}$ gelten muss. a) Im Fall $\begin{eqnarray} n=6 \end{eqnarray}$ geht es also um die Gleichung $\begin{eqnarray} 6c = ab \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1\leq a\leq b\leq 5 \end{eqnarray}$ . Offenbar klappt das nur mit den $\begin{eqnarray} (a,b,c) \end{eqnarray}$ -Tripeln $\begin{eqnarray} (2,3,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (3,4,2) \end{eqnarray}$ . 1.Unterfall $\begin{eqnarray} a=2,b=3,c=1 \end{eqnarray}$ : Für $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=2 \end{eqnarray}$ Elementen gibt es $\begin{eqnarray} \binom{6}{2}=15 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten der Auswahl aus $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ muss nun der Struktur sein, dass genau ein Element aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und genau zwei Elemente aus $\begin{eqnarray} \Omega\setminus A \end{eqnarray}$ dabei sind, um $\begin{eqnarray} c=1 \end{eqnarray}$ zu ermöglichen. Das macht $\begin{eqnarray} \binom{2}{1}\cdot \binom{4}{2} = 12 \end{eqnarray}$ Auswahlmöglichkeiten. Insgesamt sind das in diesem 1.Unterfall $\begin{eqnarray} 15\cdot 12 = 180 \end{eqnarray}$ mögliche Ereignispaare $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ 2.Unterfall $\begin{eqnarray} a=3,b=4,c=2 \end{eqnarray}$ : Für $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=3 \end{eqnarray}$ Elementen gibt es $\begin{eqnarray} \binom{6}{3}=20 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten der Auswahl aus $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ muss nun der Struktur sein, dass genau zwei Elemente aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und ebenfalls genau zwei Elemente aus $\begin{eqnarray} \Omega\setminus A \end{eqnarray}$ dabei sind, um $\begin{eqnarray} c=2 \end{eqnarray}$ zu ermöglichen. Das macht $\begin{eqnarray} \binom{3}{2}\cdot \binom{3}{2} = 9 \end{eqnarray}$ Auswahlmöglichkeiten. Insgesamt sind das in diesem 2.Unterfall $\begin{eqnarray} 20\cdot 9 = 180 \end{eqnarray}$ mögliche Ereignispaare $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ Summa summarum über beide Fälle sind das $\begin{eqnarray} 180+180=360 \end{eqnarray}$ Ereignispaare $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ b) Ist $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine Primzahl wie hier $\begin{eqnarray} n=7 \end{eqnarray}$ , dann ist diese Gleichung $\begin{eqnarray} cn=ab \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0<a\leq b<n \end{eqnarray}$ nicht erfüllbar, da die rechte Seite $\begin{eqnarray} ab \end{eqnarray}$ sicher nicht durch die Primzahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ teilbar ist.
23.05.2013, 17:37	LisaFee	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

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