Beispiel schwaches Gesetz der großen Zahlen

19.05.2013, 19:35	kate86	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel schwaches Gesetz der großen Zahlen Hallo! ich habe noch eine kurze Frage zum Beispiel für eine Folge die dem schwachen aber nicht dem starken Gestz der großen Zahlen folgt (siehe unten). Warum gilt: $\begin{eqnarray} P( \|Z_n\| \geq \varepsilon ) = \frac{1}{2^m} \quad\mbox{für alle}\; 0<\varepsilon<1 \end{eqnarray}$ woher kommt der Wert $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^m} \end{eqnarray}$ ? Danke!!! kennt jemand sonst noch ein anderes Beispiel für eine Folge die dem schwachen aber nicht dem starken Gesetz der großen Zahlen folgt? Habe im Internet nichts gefunden Hier eine Kopie des alten Beitrags: Prinzipiell geht es um den Unterschied zwischen stochastischer Konvergenz und fast sicherer Konvergenz von Zufallsgrößenfolgen. Abgerüstet suchen wir da nach einer Folge $\begin{eqnarray} (Z_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Z_n \stackrel{P}{\longra} 0 \end{eqnarray}$ , für die nicht $\begin{eqnarray} Z_n \stackrel{\mathrm{f.s.}}{\longra} 0 \end{eqnarray}$ gilt. Das ist gar nicht so einfach, und wahrscheinlich ist das Beispiel, was ich jetzt im folgenden anführe, überkompliziert. Aber ihr könnt ja gern ein einfacheres bringen. smile Wir betrachten den Grundraum $\begin{eqnarray} \Omega=[0,1) \end{eqnarray}$ mit der üblichen Borel-Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathfrak{B} \end{eqnarray}$ und dem Borel-Maß $\begin{eqnarray} P=\lambda \end{eqnarray}$ als Wkt-Maß darauf. Für $\begin{eqnarray} n=2^m+k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq k<2^m \end{eqnarray}$ definieren wir $\begin{eqnarray} Z_n(\omega) := \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; \frac{k}{2^m} \leq \omega < \frac{2k+1}{2^{m+1}}\\[2ex] -1 & \;\mbox{für}\; \frac{2k+1}{2^{m+1}} \leq \omega < \frac{k+1}{2^m}\\[2ex] 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ (Wenn ich mich recht entsinne, nennt man das Haarsche Funktionen, oder so ähnlich.) Graphisch gesehen ist das eine Rechteckimpuls-Funktion, wo der Impuls für $\begin{eqnarray} n=2^m,\ldots,2^{m+1}-1 \end{eqnarray}$ von 0 nach 1 wandert, mit steigendem $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ dann aber immer schmaler wird. Für jedes $\begin{eqnarray} \omega\in[0,1) \end{eqnarray}$ ist damit klar, dass $\begin{eqnarray} Z_n(\omega) \end{eqnarray}$ nicht gegen Null konvergiert, da für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ immer mal wieder ein Impuls "dazwischenfunkt". Hingegen gilt aber $\begin{eqnarray} P( \|Z_n\| \geq \varepsilon ) = \frac{1}{2^m} \quad\mbox{für alle}\; 0<\varepsilon<1 \end{eqnarray}$ und da für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} m\to\infty \end{eqnarray}$ gilt, folgt die stochastische Konvergenz dieser Folge.
20.05.2013, 20:06	chili12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, $\begin{eqnarray} P( \|Z_n\| \geq \varepsilon ) = \lambda(Z_n=1) + \lambda(Z_n=-1) = \frac{2k+1}{2^{m+1}} - \frac{k}{2^m} + \frac{k+1}{2^m} - \frac{2k+1}{2^{m+1}} = \frac{k+1}{2^m} - \frac{k}{2^m} =\frac{1}{2^m} \mbox{ für alle}\; 0<\varepsilon<1 \end{eqnarray}$ mfg

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