(Absolute) Konvergenz einer Reihe

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Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »
(Absolute) Konvergenz einer Reihe
Ich möchte gerne eine Aussage über die absolute konvergenz folgender Reihe machen können:



Nun habe ich zwei Fragen bezüglich dieser und ähnlicher Reihen.

1) Wenn nun die imaginäre Einheit i in der Reihe enthalten ist, die als Wurzel-Minus 1 definiert ist. Folgt aus den Beträgen der absoluten Konvergenz, dass die Wurzel positiv wird? Und letztendlich die Imaginäre Einheit i zu 1 hier wird?

2) Ich möchte den Limes folgender Folge bestimmen.



Wie mach ich das? Mir geht es explizit um den Exponenten des Zählers und der Fakultät + deren Exponenten des Nenners. Wie kann ich hier abschätzen, ob Zähler oder Nenner schneller wächst?

Ich freue mich über jede Hilfsbereitschafte Antwort!
TobiSemseg Auf diesen Beitrag antworten »

Quotientenkriterium liefert dir sofort absolute Konvergenz dieser Reihe, da
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TobiSemseg
Quotientenkriterium liefert dir sofort absolute Konvergenz dieser Reihe, da


Danke, dass habe ich bereits auch vermutet. Mir ging es jedoch eher, um die von mir explizit genannten Fragen.

lg
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt noch einmal bezüglich erster Frage nachgedacht und komme zum Entschulss, dass aus



folgendes folgt:


Korrekt? Also jetzt nur bezüglich der absoluten Konvergenz.

Edit: Das herausziehen von vem negativen Vorzeichen der Wurzel ist gar nicht möglich. Ups. Ich kann aber wenn ich den Betrag nehme, die Wurzel -1 einfach zu einer Wurzel 1 machen indem ich das Vorzeichen weglasse!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Amplitude
Ich kann aber wenn ich den Betrag nehme, die Wurzel -1 einfach zu einer Wurzel 1 machen indem ich das Vorzeichen weglasse!

Was ist das denn für ein Unfug? Es ist doch wohl offensichtlich, daß ist. Außerdem ist i nicht als definiert. Von daher solltest du i nicht durch ersetzen. Das führt nur zu komischen Ergebnissen. Vielleicht solltest du dir auch das Kapitel "Betrag von komplexen Zahlen" nochmal genauer ansehen.

Zitat:
Original von Amplitude
2) Ich möchte den Limes folgender Folge bestimmen.



Und warum willst du das unbedingt tun? verwirrt
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und warum willst du das unbedingt tun? verwirrt


Weil ich schauen möchte ob das Quotientenkriterium erfüllt ist. Ich weiss jetzt das man die Folge in Realteil und Imaginärteil aufteilen kann und so die Konvergenz der einzelnen Teile betrachten kann. Jedoch ist mir nicht bewusst wie ich das praktisch anstelle. Deshalb wäre ein kurzes Beispiel klasse was damit überhaupt gemeint sei.
 
 
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ich keinen neuen Thread aufmache frag ich mal hier. Abgesehen von meiner Frage einen Post über mir würde ich gerne wissen ob folgendes stimmen tut:

Die Reihe ist nicht (absolut) konvergent, da sie nicht das Nullfolgenkriterium erfüllt, d.h.

(Sie wächst gegen unendlich weil der Zähler schneller wächst - Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenzfunktion).

Wenn das stimmen sollte, wie ist es möglich sowas mathematisch zu beschreiben ? Oder kann man das so lassen ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip kann man das so lassen. Falls man das begründen will, wäre eine Möglichkeit, 27 mal l'Hospital anzuwenden. smile

Zitat:
Original von Amplitude
Zitat:

Und warum willst du das unbedingt tun? verwirrt


Weil ich schauen möchte ob das Quotientenkriterium erfüllt ist.

Dann wende es doch an. Dazu mußt du aber nicht bestimmen.
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Im Prinzip kann man das so lassen. Falls man das begründen will, wäre eine Möglichkeit, 27 mal l'Hospital anzuwenden. smile

Zitat:
Original von Amplitude
Zitat:

Und warum willst du das unbedingt tun? verwirrt


Weil ich schauen möchte ob das Quotientenkriterium erfüllt ist.

Dann wende es doch an. Dazu mußt du aber nicht bestimmen.


Tut mir leid. Ich habe das Quotientenkriterium bereits genutzt bzgl. der Reihe. Das läuft dann auf folgendes heraus:



Nun sieht das auf den ersten Blick aus, ob die Folge gegen Null konvergiert und somit wäre die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut konvergent, aber ich bin mir unsicher bzgl. dem Zähler da mich die Imaginäre Einheit stört. Wenn meine Lösung richtzig ist würde mich immer noch interessieren wie ich soeine komplexe Folge untersuche. Ich weiss das ich hier irgendwie nur den Realteil und Imaginärteil allein betrachten soll, weiss aber nicht was gemeint ist. Deshalb wäre ein kleins Beispiel super.

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt auch das Quotientenkriterium vollständig anwenden. Bei einem genauem Blick, müßtest du da Betragsstriche entdecken. Richtig ist daher:



Und die Berechnung des Betrages von 6+i sollte keine sonderliche Hürde darstellen. Augenzwinkern
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Betrag war ja gerade meine Frage. Deshalb würde mich interessieren was mit der imahinären einheit passiert? Ansonsten würde es mich nioch erfreuen, mir zu zeigen wie ich den realteil und imaginärteil alleine betrachten kann bzgl. konvergenz.

mfg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt verstehe ich dein Rumgezackere mit der imaginären Einheit nicht. Du wirst doch wohl noch den Betrag von 6+i ausrechnen können?
SirIsaacNewton111 Auf diesen Beitrag antworten »



Wie lautet den das ganze Gesetzt dieser Teilung. Das würde mich neben ,,Amplitude" auch interessieren. Ich weiss nur das der Betrag eines Bruchs g(x)/f(x) umgeformt werden ei kann zu Betrag von g(x) geteilt durch Betrag von f(x). Das stimmt doch oder. Dann hast du sicherlich dasselbe verwendet wobei ich den Betrag in die Binomische Formel hereinziehen kann? Das sehe ich nämlich zum ersten Mal.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da wird nicht der Betrag in die binomische Formel gezogen, sondern schlicht und ergreifend diese Regel angewendet: Die gilt für alle komplexen Zahlen. smile
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