Konvergenz der folgenden Reihe beweisen

20.05.2013, 11:49

streuselschnecke

Konvergenz der folgenden Reihe beweisen

Meine Frage:
Die Serie sieht wie folgt aus:

\sum\limits_{k=0}^\infty (\sqrt[3]{n^3+1}-n)

Meine Ideen:
Laut Lösung soll ich einen limit comparison test machen (tut mir Leid, habe Mathe auf Englisch, weiß nicht alle deutschen Begriffe) und v_{n}=1/n^2 als Hilfsserie benutzen,

also

\lim_{n \to \infty} v_{n}/u_{n}=1/3

und dann irgendwie damit beweisen, dass u_{n} konvergent ist...

Irgendwer eine Idee? Danke!

21.05.2013, 09:32

Grautvornix

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RE: Konvergenz der folgenden Reihe beweisen

Zitat:

Original von streuselschnecke
Meine Frage:
Die Reihe sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (\sqrt[3]{n^3+1}-n) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Laut Lösung soll ich einen limit comparison test machen (tut mir Leid, habe Mathe auf Englisch, weiß nicht alle deutschen Begriffe) und $\begin{eqnarray*} v_{n}=\frac 1{n^2} \end{eqnarray*}$ als Hilfsserie benutzen,

also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} v_{n}/u_{n}=1/3 \end{eqnarray*}$

und dann irgendwie damit beweisen, dass $\begin{eqnarray*} u_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent ist...

Irgendwer eine Idee? Danke!

Die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel liefert:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n^3+1}=\sqrt[3]{n\cdot n\cdot\left(n+\frac 1{n^2}\right)}\leq n+\frac 1{3n^2} \end{eqnarray*}$

Damit findest Du nun eine konv. Majorante.

21.05.2013, 09:45

Theend9219

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RE: Konvergenz der folgenden Reihe beweisen
Entschuldigung das ich mich einklinke, aber es interessiert mich auch.

Warum liefert denn:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n*n*(n+\frac{1}{n^{2}})} \leq n+ \frac{1}{3n^{2}} \end{eqnarray*}$ ??

Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x_{1}* ... *x_{n}} \leq \frac{x_{1} + ... +x_{n}}{n} \end{eqnarray*}$

Dann gilt ja eigendlich

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{n*n*(n+\frac{1}{n^{2}})} \leq\frac{n+n+(n+\frac{1}{n^{2}})}{3}= \frac{3n+\frac{1}{n^{2}}}{3}= \frac{1}{3n^{2}}+n \end{eqnarray*}$

Upps es stimmt doch Big Laugh

Entschuldigung

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