Peano auf kompakten Intervall (Differentialgleichungen)

20.05.2013, 14:00	12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Peano auf kompakten Intervall (Differentialgleichungen) Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} G \subseteq \mathbb R \times \mathbb K^n \ offen, \ n \in \mathbb N.<br /> f: G \rightarrow \mathbb K^n \end{eqnarray}$ ist stetig und $\begin{eqnarray} C \subseteq G \end{eqnarray}$ kompakt. Dann gibt es $\begin{eqnarray} \alpha > 0 \end{eqnarray}$ so dass das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} y'=f(x,y)<br /> y(x_0)=y_0 \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \in C \ eine \ Loesung \ \phi: ]x_0-\alpha,x_0+\alpha[ \rightarrow \mathbb K^n \end{eqnarray}$ hat. Meine Ideen: Zunächst wollten wir uns das für $\begin{eqnarray} G=\mathbb R \times \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ überlegen. Dann ist $\begin{eqnarray} C := C_1 \times C_2 \ mit \ C_1 =[a,b] \subseteq \mathbb R \ und \ C_2 \end{eqnarray}$ kompakte Teilmenge des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Wir haben also zunächst ein festes $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ betrachtet, und dafür liefert uns Peano für alle $\begin{eqnarray} x_0 \in [a,b] \end{eqnarray}$ Existenz einer Lösung für das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} (x_0,y_0) \end{eqnarray}$ auf einem Intervall $\begin{eqnarray} (x_0- \alpha, x_0+\alpha) \end{eqnarray}$ . Nun liefert uns das eine (überabzählbare) Überdeckung von [a,b], von der es wegen Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung gibt. Dies liefert uns nun eine endliche Anzahl an offenen Intervallen, die sich übelappen. Als $\begin{eqnarray} \alpha_{y_0} \end{eqnarray}$ wollen wir nun folgendes wählen: Den halben Durchmesser der kleinsten Überlappung der endlich vielen Überlappungen. Dann vermuten wir, dass es für unser festes $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ eine Lösung zum Anangswertproblem gibt, die auf einem Intervall $\begin{eqnarray} (x_0-\alpha_{y_0}, x_0+ \alpha_{y_0}) \end{eqnarray}$ definiert ist. Stimmt der Ansatz bisher? Und wie kann man das auf alle $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ übertragen? Wieder mittels Kompaktheit?
20.05.2013, 19:09	12345678	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wir haben jetzt noch rumprobiert, und sind irgendwie auf das Problem gekommen, dass wir keine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray} C_2 \end{eqnarray}$ finden. Hat da jemand einen Tipp zu?

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