gleichung 5. grades |
| 08.10.2003, 21:03 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| gleichung 5. grades hat jemand von euch informationen zur allgemeinen lösung einer gleichung 5. grades oder kann mir einen link zu näheren informationen geben? die artikel auf mathworld finde ich nicht so ergiebig, hat jemand vielleicht ein wirklich komplettes dokument, dass das ganze mal von anfang an durchrechnet? danke im voraus |
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| 08.10.2003, 21:19 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auf englisch und sehr lang, aber ich denke ganz gut 
http://library.wolfram.com/examples/quintic/ |
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| 10.10.2003, 17:55 | gockel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Solche Gleichungen kannst du nicht allgemein lösen. Es gibt nur Lösungsformeln für Spezialfälle. I.d.R. musst du eine Lösung durch Probieren finden und dann polymondividieren. Für Gleichungen 4.Grades gibst dann wieder Lösungsformlen (die von Ferrari). |
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| 10.10.2003, 21:18 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi. @Thomas: Diese Wolfram Seiten sind eigentlich das, was ich mit Mathworld gemeint hatte. Sie gehen mir irgendwie nicht weit genug, alles ist unübersichtlich und ich kann keine vernünftige Herleitung entdecken. @gockel: Doch doch, auch Gleichungen 5. Grades sind allgemein lösbar, nur kann man ihre Lösungen nicht in Form von Wurzeltermen angeben. |
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| 10.10.2003, 21:39 | BlackJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bist du dir sicher? ich bin mir nämlich eigentlich auch sicher dasses für gleichungen 5. grades keine allgemeine lösungsformel gibt. 
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| 11.10.2003, 21:26 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ich bin mir sicher. Für Gleichung 2. Grades a*x^2+b*x+c lauten die Lösungen ja (-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) So eine Lösung wird man für Gleichungen 5. Grades nicht mehr finden, also Wurzeln reichen nicht mehr aus, sondern man bekommt für a*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f eher etwas in der Art exp(a)*ln(b-4*c)+sin(ln(d*e))... Das ist jetzt natürlich frei erfunden, ich wollte nur die Art der Lösung andeuten. Und ich suche jetzt eben nach näheren Informationen zu dieser Lösungsformel. Gruß Philipp |
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| 11.10.2003, 21:41 | henrik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wurd nich ma gezeigt das man dafür keine allgemeine lösung angeben kann? |
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| 11.10.2003, 21:44 | movarian | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie gesagt, es wurde nur gezeigt, dass man die allgemeine Lösung nicht in Wurzeltermen angeben kann. |
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| 23.11.2003, 13:37 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Gleichung 5.Grades Ich bin zwar erst in der 11.Klasse, und kenne auch nur die version mit probieren, habe aber diesbezüglich einen tip: ax^5+bx^4+cx³+dx²+ex+f eine/mehrere Lösungen sind wahrscheinlich ein divisor von f!
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| 23.11.2003, 14:51 | johko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eins steht zumindest fest: Als Polynom eines ungeraden Grades (1,3,5,7,...) MUSS WENIGSTENS EINE Lösung vorhanden sein, da die zugehörigen Graphen alle irgendwo die x-Achse schneiden müssen. Johko 8) |
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| 23.11.2003, 15:03 | Gust | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: gleichung 5. grades Ich hab im Internet 2 Kommentare dazu gefunden: "meine irgendwo ( ? Zeitschrift "Der Mathematikunterricht" ) gelesen zu haben, daß "Elliptische Funktionen" da weiterhelfen." "Aber: Man kann die Lösungen von x^5 - 2x^4 - 2x³ - 8x² + 16x + 16 = 0 wirklich herleiten. Sie sind dann x(1,2)= -1+- i x sqrt(3) x(3,4)= 1 +- sqrt(3) x(5) = 2 " Ich weiß nicht, ob dir das weiterhilft, ich versteh nämlich nix davon :P |
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| 25.11.2003, 00:08 | asphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
with -i u mean "komplexe zahlen" but that is very complicated although that is as far as i know the only way u only have to first learn what they mean :P :P |
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| 25.11.2003, 17:09 | Mathefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gemischte Polynome, das sind Polynome in zwei Veränderlichen, haben als Bild, eine sogenannte elliptische Kurve, wobei bitte das Wort elliptisch nicht falsch zu verstehen ist. Und um Movarians Aussage noch einmal zu bekräftigen: Ist P(x) ein Polynom mit Grad(P(x)) >= 5, so gibt eine keine allgmeine!!! Lösungsformel aus Wurzeltermen. Für Spezialfälle kann es jedoch durchaus Lösungsvorschriften bzw. Algorithmen geben. Beim Lösen von Polynomen verallgemeinert man übrigens auf den Wertebereich der komplexen Zahlen |C. Denn jetzt gibt es genau Grad(P(x)) Nullstellen, die komplex sind. Der Beweis, dass es keine Lösungformeln fürPolynome mit Grad(P(X)) >= 5 gibt, führt auf den genialen Mathematiker Galois zurück. Er entwickelte die Galoistheorie, die erst nach seinem Tode anerkannt wurde. (Man bedenke, er verstarb durch einen Unfall im Duell im Alter von 20 oder 21 Jahren!) |
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| 27.09.2004, 22:31 | Gustav | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zu keinem n > 4 existiert eine Formel, um die Nullstellen des allgemeinen Polynoms vom Grade n exakt zu bestimmen. Trotzdem ist es zunächst nicht ausgeschlossen, dass für jedes konkrete Polynom ein individuelles Verfahren - etwa eine spezielle Substitution - existiert, um die Nullstellen exakt zu bestimmen. Es gibt aber Gleichungen, die nachweislich nicht auflösbar sind: Behauptung: Es ist unmöglich, die Lösungen von genau zu bestimmen. Man kann zwar numerisch die Werte mit großer Präzision approximieren, die exakten Lösungen erhält man auf diese Weise aber ebenso wenig, wie durch noch so verschachtelte Substitutionen. Beweis: Aus dem Kriterium von Eisenstein und dem Gaußschen Lemma folgt: Das Polynom f mit ist über Q unzerlegbar! Mit einer elementaren Kurvendiskussion zeigt man leicht, dass f genau drei einfache reelle Nullstellen hat, also existieren zwei konjugiert komplexe Nullstellen. Die komplexe Konjugation ist für die drei reellen Nullstellen die Identität, folglich enthält die Galoisgruppe eine Transposition. Ausserdem folgt aus dem Gradsatz und dem Satz von Cauchy, dass Gal(f) eine Permutation der Ordnung 5 enthält. Somit ist die Galoisgruppe von f die volle symmetrische Gruppe . Nicht nur das angegebene Polynom, sondern die weitaus meisten Polynome vom Grade n > 4 haben als Galoisgruppe die volle symmetrische Gruppe und sind damit nicht auflösbar. |
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| 28.09.2004, 01:23 | Phil A. Delphia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was heißt "exakt bestimmen"? Ist sqrt(2) exakter bestimmt als ln(2)?
Wie mathefreak schrieb: Es gibt "keine allgemeine Lösungsformel aus Wurzeltermen" (Hervorhebung von mir geändert). Galois hat nicht bewiesen, dass es keine allgemeine Lösungsformel gibt, sondern nur, dass es keine allgemeine Lösungsformel gibt, die nur rationale Operationen und Wurzelziehen verwendet. Offenbar sind einige hier zu Algebra-lastig im Denken, um den Fragesteller richtig zu verstehen. 
Ich selbst weiß leider auch nichts von einer anderen Art Lösungsformel.
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| 01.10.2004, 23:32 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: gleichung 5. grades für gleichungen > 4.grades existieren im allg. keine geschlossenen lösungen, kann man in jeden buch über algebra nachlesen, im internet mathoid etc. auch mathematica löst solche sachen NUR mit (fast beliebig genauen und ausgefeilten) näherungsverfahren werner |
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| 02.10.2004, 00:59 | Phil I. Pinen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: gleichung 5. grades Hallo wernerrin und andere "Mitstreiter", was ist eine "geschlossene Lösung", und was sagen Algebrabücher und was sagt matroid über nicht algebraische Lösungsformeln? Ist der Unterschied zwischen einer Lösungsformel und einer Lösungsformel die nur rationale Operationen und Wurzelziehen verwendet so schwer zu verstehen? In welchem Buch steht, dass es keine Lösungsformel gleich welcher Art gibt? |
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| 02.10.2004, 17:32 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: gleichung 5. grades
was ist der unterschied zwischen einem schlauchboot? (wenn man auf die phil I. Pinen will) werner |
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| 02.10.2004, 18:47 | Phil Zhut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: gleichung 5. grades
Ich versteh die Frage nicht. Was hat ein Schlauchboot mit Lösungsformeln zu tun? |
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| 03.10.2004, 00:31 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: gleichung 5. grades ich versteh dich auch nicht, das war des pudels kern werner |
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| 03.10.2004, 12:01 | Phil Igran | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK, dann kehren wir mal zu Ausgangsfrage zurück - die übrigens vor einem Jahr gestellt wurde. movarian fragte, ob es eine Lösungsformel für Gleichungen ab 5. Grades gibt. Er betonte, dass er damit keine Lösungsformeln nur mit Grundrechenarten und Wurzeltermen meinte, weil er weiß, dass es eine solche nicht gibt. Jede zweite Antwort war bisher, dass es eine letztere Lösungsformel nicht gibt - das wissen wir inzwischen. Das war aber auch gar nicht gefragt. Gefragt war, ob es Lösungsformeln anderer Bauart gibt und wie die aussehen. War das jetzt verständlich? Ich wiederum habe weitere Fragen gestellt, wie "Ist sqrt(2) exakter bestimmt als ln(2)?" oder "Was ist eine geschlossene Lösung?", mit dem Ziel, dass einige hier über das nachdenken, was sie gelernt haben. |
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| 31.03.2005, 21:16 | matz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo Miteinander In einem numerischen Sinne ist eine Wurzel oder ein Log gleich exakt bestimmbar, nämlich so exakt, wie gewünscht (unendliche Rechenleistung vorausgesetzt; es ist natürlich möglich, dass unterschiedlich schnell konvergierende algorithmen existieren). Numerisch betrachtet ist es im allgemeinen also irrelevant, ob die Lösung geschlossen vorhanden ist, oder ob direkte Lösungsalgorithmen angewandt werden können. Dies ist aber in der Diskussion um eine geschlossene Lösung irrelevant. Eine geschlossene Lösung ist eben nicht nur rechnerisch sondern auch auf einem abstrakten, algebraischen Niveau vorhanden (sie ist auch vorhanden, wenn sie nicht "berechnet" wird). Die geschlossene Lösung kann durch einsetzten verifiziert werden, d.h. Ihre Form ist durch algebraische Regeln eindeutig bestimmt. Da bewiesen ist, dass Polynomiale Gleichungen in einer Unbekannten mit Grad >=5 keine geschlossene Lösung mit Wurzeltermen besitzen, ist sehr zu bezweifeln, dass sie überhaupt geschlossene Lösungen besitzen können. (Ob dies bewiesen ist, weiss ich nicht, es wäre aber wahrscheinlich beweisbar). Es ist nämlich irgendwie einleuchtend, dass die algebraische, geschlossene Lösung die inversen Funktionen der Potenzen besitzen muss, eben die Wurzeln. Mit anderen Funktionen (z.B. Log) wird man kaum eine durch Einsetzten verifizierbare Lösung konstruieren können. Möglich wäre eventuell eine Formel mit solchen Funktionen, die die Lösungen approximiert. |
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| 01.09.2011, 19:07 | ruben | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist ein sehr schwieriger aber auch sehr interessantes thema, the Quintic. Ich habe mir da auch einige zeit in vertieft. ( Sorrie fur mein schlechtes Deutsch). Es stimmt das nich alle Quintics mit " allgemeine Lösungsformel aus Wurzeltermen" auf zu lösen sind. Aber einigen konnen so aufgelöst werden! Zum beispiel : X^5 + X + 1 = 0 oder X^5 + X + 6 = 0 aber X^5 + X + 5 = 0 nicht! auch X^5 + -X + 15 = 0 is auflosbar aber X^5 + -X + 16 = 0 nicht! Die beispielde die ich gebe kan man entbinden und mit Cardano auflösen. Aber auf nicht entbindbare Quintics kan man ab und zu auflösen! Zumbeispiel X^5 + 15X + 12 = 0 oder X^5 + 15X + -44 = 0 Kann man auflösen. Eine seher speciale Quintic the " de Moivre Quintic " kann man auch lösen mit eine summe from zwei quintic roots! Er lauted: X^5 + -5*t*X + 5*t^2*X^3 + -2*q = 0 Und mann kan im auflosen mit eine X = u + t/u substitution! So anlich wie Cardano. X = (q + (q^2 -t^5 )^(1/2) )^(1/5) + (q - (q^2 -t^5 )^(1/2) )^(1/5) Das ist doch schön nicht? Diese X^5 + 4*X^4 + -2 = 0 Quintic kann man ein bischen bearbeiten. X = 1/Y gibt : Y^5 + -2*Y + -1/2 = 0 Dann Y= t*Z gibt: Z^5 + (-2/t^4)*Z + (-1/2*t^5) = 0 stell : -2/t^4 = -1 t^4 = 2 t= (2)^(1/4) und t^5 = 2*(2)^(1/4) Z^5 + -Z + -1 / 2*(2)^(1/4) = 0 ist eine Canonische Quintic und Hermite has eine methode diese so lösen ( Ich weiß aber nicht wie) Da sind aber auch Quintics die mit eine summe from vier Quintic roots auflosbar sicht. Die so genannte Dihidral Quintics. Zumbeispiel: X^5 + -5*X + 12 = 0 , X^5 + 20*X + 32 = 0 und X^5 + 11*X + 44= 0 Weißt eine math crack here vlieliecht wie man diese lösen kann in 4 quintic roots? Das werde mich sehr interesieren! Grüß Ruben |
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| 01.09.2011, 19:15 | ruben | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tut mir lied die Canonische Quintic müß sein: Z^5 + -Z + -1 / 2*2*(2)^(1/4) = 0 also: Z^5 + -Z + -1 / 4*(2)^(1/4) = 0 (Ich habe eine 2 vergessen) |
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