Potenzreihenentwicklung

30.07.2004, 10:36

economic

Potenzreihenentwicklung

Hi Leute.

Sitze hier an ein paar Aufgaben mit der Aufgabenstellung
"Geben Sie die Potenzreihenentwicklung von folgenden Funktionen um den Nullpunkt an:

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{1+x^2} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-x}{(1+x)(1+x^2)} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix} \frac{exp(x)}{-1} & : & x\neq0\\ 1 & : & x=0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix} \frac{sin(x)}{x} & : & x\neq0\\ 1 & : & x=0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So nun:
Warum heisst es "Potenzreihenentwicklung um den Nullpunkt"?

Ich kann die Funktionnen zwar meist mit Hilfe der un. geom. Reihe und mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} exp(a)=\sum_{n=0}^\infty ~\frac{1}{n!}(a)^n \end{eqnarray*}$ in Reihen "umwandeln". Jedoch verstehe ich den Zusammenhang nicht.

Ausserdem funktioniert der Spass mit einer etwas anderen Funktion auch nicht mehr. Was mache ich dann?

Vielen dank, Meistas smile

-eco

30.07.2004, 14:32

karl_k0ch

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Da hilft dir die Taylor-Formel. Die gibt nämlich eine eindeutige Potenzreihenentwicklung einer n+1 - mal stetig diff.baren Funktion um den Punkt x0 in folgender Form an:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k} \end{eqnarray*}$

Dann gibt es noch einen Fehlerterm, das sog. Lagrange-Restglied, das ist aber hier nicht so wichtig.

Für belibig oft diffenerzierbare Funktionen lässt man dann einfach n --> oo laufen und das ist danndie Potenz-Reihenentwicklung. das f^(k) meint hierbei die k-te Ableitung am Punkt x0.

30.07.2004, 16:42

Mazze

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wie Karl es gesagt hat, nutze die Taylorreihenentwicklung. Der erste Schritt wäre dann die n-te Ableitung zu bestimmen und zu beweisen (per Induktion). Dann kann man die Taylorformel verwenden

02.08.2004, 22:02

economic

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Dank euch! smile

Leider soll die keine Verwendung in der Klausur finden.

Die obigen Aufgaben sind da auch kein Problem, da wir die Potenzreihen von sin(x), cos(x), exp(x) vorgegeben haben.

Gibt es eine Möglichkeit die Potenzreihenentwicklung bei diesen Funktionen hier zu bestimmen, OHNE die Taylorreihe zu benutzen?

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(\frac{1}{1+x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} arctan(x) \end{eqnarray*}$

(Hinweis: Man beachte:
$\begin{eqnarray*} (ln(\frac{1}{1+x}))' = \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ )

Wäre für Hilfe echt dankbar.

Grüße,
eco smile

02.08.2004, 22:09

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von economic
(Hinweis: Man beachte:
$\begin{eqnarray*} (ln(\frac{1}{1+x}))' = \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

Das möcht ich aber bezwifeln. Ich würd eher sagen: $\begin{eqnarray*} (ln(\frac{1}{1+x}))' = -\frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

02.08.2004, 22:24

economic

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Richtig.

Die Unterlagen sind auch nur noch Schrott smile

Hast du vielleicht auch die Lösung?

02.08.2004, 22:31

Mathespezialschüler

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RE: Potenzreihenentwicklung

Zitat:

Original von economic
$\begin{eqnarray*} exp(a)=\sum_{n=0}^\infty ~\frac{1}{n!}(a)^n \end{eqnarray*}$ in Reihen "umwandeln". Jedoch verstehe ich den Zusammenhang nicht.

Helfen kann ich dir leider nich, Potenzreiheentwicklung kann ich noch nich.
Meinst du den Zusammenhang zwischen der rechten Seite und der linken?? MMn ist das da oben grad die Taylorreihe der e-Funktion (hab ich mal so gehört).

03.08.2004, 11:34

Bruce

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Die Potenzreihen für
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \quad\mathrm{und}\quad \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$
kennst Du ja schon.

Schreib die mal hin, und integriere die Summanden korrekt. Die entstehenden Reihen lösen das Problem.

Solltest Du die Reihen noch nicht kennen, so helfen dir sicher

der "blaue" Bronstein (Teubner Taschenbuch der Mathematik, Bd.1 Teubner Verlag)

oder der "silberne" Bronstein (Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch Verlag)

Den letzteren gibt es sogar auf CD (also für den Studenten von heute auch zum nachschlagen auf dem Laptop geeignet).

Die beiden Bücher sollten in fast jeder Uni-Bibliothek zu haben sein
(nachgucken in den Abteilungen für, Ingenieure, Mathematiker oder Physiker !!).

Mit freundlichen Grüßen. Bruce.

P.S.
Eine frage noch an Economic: Was studierst Du, etwa Wiwi ?
Wie gedenkst Du in Zukunft deine Mathe-Defizite zu beheben ?
Am besten ist es wohl, wenn Du mal die Brückenkurse an der Uni
besuchst.
Ansonsten gehen in Mathematik bei dir bald die Lichter aus X(.

03.08.2004, 21:55

economic

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Dank dir

Ja studiere WiWi.

Ob die Lichter ausgehen sehe ich erst in 3 Wochen. smile

04.08.2004, 01:32

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Bruce
P.S.
Eine frage noch an Economic: Was studierst Du, etwa Wiwi ?
Wie gedenkst Du in Zukunft deine Mathe-Defizite zu beheben ?
Am besten ist es wohl, wenn Du mal die Brückenkurse an der Uni
besuchst.
Ansonsten gehen in Mathematik bei dir bald die Lichter aus X(.

Also ich verstehe diese Kritik nicht so ganz. economic hat doch (zumindest in diesem Thread, hab ich einen anderen übersehen?) keine übermäßig grossen mathematischen Defizite gezeigt. Alles noch im Rahmen eines durchschnittlichen Wiwi-Studenten, ürd ich sagen Augenzwinkern

Gruß vom Ben

Edit: Also@economic, lass dir keine Angst machen smile

04.08.2004, 10:44

Leopold

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@ economic

Die geometrische Reihe und die Reihen für sin x, cos x, exp x sind die Startreihen, aus denen sich viele andere Reihen gewinnen lassen.
Bei Potenzreihen ist sowohl gliedweises Differenzieren als auch gliedweises Integrieren im ganzen Konvergenzbereich uneingeschränkt möglich.

Ich gebe dir einmal zwei Beispiele, so daß du sehen kannst, wie du bei deinen Aufgaben vorgehen mußt (alle Potenzreihen sind um 0 zu entwickeln).

Beispiel 1

Gesucht ist die Potenzreihe für
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1-\cos{(x^2)}}{x^4} \end{eqnarray*}$
Wie lautet die stetige Ergänzung bei x=0?

1. Schritt: cos-Reihe

$\begin{eqnarray*} \cos{x} \ = \ \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} \end{eqnarray*}$

2. Schritt: x durch x² substituieren

$\begin{eqnarray*} \cos{(x^2)} \ = \ \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{4k} \ = \ 1 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^8}{4!} - \frac{x^{12}}{6!} \pm ... \end{eqnarray*}$

3. Schritt: von 1 subtrahieren (die 1 am Anfang fällt weg, deswegen jetzt k=1 statt k=0 als Summationsbeginn; Vorzeichenänderung: k-1 statt k im Exponenten von -1; mit k+1 statt k würde es auch gehen)

$\begin{eqnarray*} 1-\cos{(x^2)} \ = \ \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{k-1}}{(2k)!} x^{4k} \ = \ \frac{x^4}{2!} - \frac{x^8}{4!} + \frac{x^{12}}{6!} \mp ... \end{eqnarray*}$

4. Schritt: Division durch $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ (beachte den neuen Exponenten von x)

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\cos{(x^2)}}{x^4} \ = \ \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{k-1}}{(2k)!} x^{4(k-1)} \ = \ \frac{1}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^{8}}{6!} \mp ... \end{eqnarray*}$

Und das ist schon die gesuchte Potenzreihe. Es ist jetzt noch eine Geschmacksfrage, ob man die Summation wieder mit k=0 beginnen läßt. Dann muß man in der Summe überall k durch k+1 ersetzen.

5. Schritt: Verschönerung der Schreibweise

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\cos{(x^2)}}{x^4} \ = \ \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(-1)^{k}}{(2k+2)!} x^{4k} \ = \ \frac{1}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^{8}}{6!} \mp ... \end{eqnarray*}$

Na ja, ob das schöner als vorher ist, darüber streiten sich die Gelehrten.
An der Reihe ganz rechts kann man die stetige Ergänzung in 0 ablesen, nämlich ½ (setze x=0 ein). In lim-Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos{(x^2)}}{x^4} \ = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Beispiel 2

Bestimme die Potenzreihe von
$\begin{eqnarray*} f(x) \ = \ \ln{\frac{1+x}{1-x}} \end{eqnarray*}$
(Tip: Berechne zunächst f'(x).)

1. Schritt: f'(x) berechnen (vorher log-Gesetz anwenden)

$\begin{eqnarray*} f(x) \ = \ \ln{(1+x)} - \ln{(1-x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) \ = \ \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \ = \ \frac{2}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

2. Schritt: geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \ = \ \sum_{k=0}^{\infty}~x^k \end{eqnarray*}$

3. Schritt: x durch x² substituieren

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^2} \ = \ \sum_{k=0}^{\infty}~x^{2k} \end{eqnarray*}$

4. Schritt: mit 2 durchmultiplizieren (Distributivgesetz)

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1-x^2} \ = \ \sum_{k=0}^{\infty}~2x^{2k} \end{eqnarray*}$

5. Schritt: unbestimmt integrieren

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{2}{1-x^2}~dx \ = \ \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{2}{2k+1}x^{2k+1} \end{eqnarray*}$

Da wir f(x) erst differenziert und jetzt wieder integriert haben, muß die rechte Seite bis auf eine additive Konstante gleich unserem f(x) sein.
Da f(0) = ln 1 = 0 ergibt, man in der letzten Reihe für x=0 aber auch den Wert 0 erhält, gilt daher:

$\begin{eqnarray*} \ln{\frac{1+x}{1-x}} \ = \ \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{2}{2k+1}x^{2k+1} \end{eqnarray*}$

Ich denke, es kommt dir im Moment vor allem auf den Kalkül an. Deswegen habe ich Konvergenzfragen hier außer acht gelassen.

04.08.2004, 23:55

economic

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Danke für das ausführliche Coaching smile

Hat sehr geholfen.

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