Bogenlänge

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20.05.2013, 16:44	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge Meine Frage: Bestimmen Sie die Bogenlänge $\begin{eqnarray} B(\epsilon) \end{eqnarray}$ der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)= x^{2/3} \end{eqnarray}$ über dem Intervall $\begin{eqnarray} [\epsilon,1]\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{\epsilon \to 0} B(\epsilon) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe eine allgemeine Formel zur Berechnung der Bogenlänge gefunden: $\begin{eqnarray} B(\epsilon) = \int_a^b \! \sqrt{1-(f'(x))^2}\, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)= \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f'(x))^2 =\frac {4} {9\sqrt[3]{x^2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B(\epsilon) = \int_\epsilon^1 \! \sqrt{1- \frac {4} {9\sqrt[3]{x^2}}} \, dx \end{eqnarray}$ Mein Plan war es nun das ganze per Substitution zu integrieren allerdings weiß ich nicht so recht was genau ich substituieren soll.
20.05.2013, 16:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche es mal mit der Substitution $\begin{eqnarray} x = z^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$
20.05.2013, 17:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gefundene Formel ist übrigens falsch.
20.05.2013, 18:12	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel wurde uns auch in der Übung so gegeben Was ist daran falsch?
20.05.2013, 18:44	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn, wenn $\begin{eqnarray} \bigl(f'(x)\bigr)^2>1 \end{eqnarray}$ ?
21.05.2013, 16:45	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
@Guppi Wenn ich nun $\begin{eqnarray} x=z^{3/2} \end{eqnarray}$ einsetze komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} \int_\epsilon^1 \! \sqrt{1-\frac{4}{9\sqrt[3]{z^3}}} \, dz = \int_\epsilon^1 \! \sqrt{1-\frac{4}{9z}} \, dz = \int_\epsilon^1 \! {(1-\frac{4}{9z})}^{1/2} \, dz = \frac{2}{3}(1-\frac{4}{9z})^{3/2} \end{eqnarray}$ Und dann?
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21.05.2013, 19:43	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich korrigiere es muss heißen $\begin{eqnarray} \sqrt {1+(f'(x))^2} \end{eqnarray}$
21.05.2013, 20:47	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte siehe dir die Grundlagen der Substitution(und vielleicht auch allgemein die Grundlagen der Integralrechnung) nochmal an. Wenn jemand nach einem Tipp zur Substitution fragt, erwarte ich eigentlich, dass diese zumindest sitzen. In der Zeile $\begin{eqnarray} \int_\epsilon^1 \! \sqrt{1- \frac {4} {9\sqrt[3]{x^2}}} \, dx = \int_\epsilon^1 \! \sqrt{1-\frac{4}{9\sqrt[3]{z^3}}} \, dz = \int_\epsilon^1 \! \sqrt{1-\frac{4}{9z}} \, dz = \int_\epsilon^1 \! {(1-\frac{4}{9z})}^{1/2} \, dz = \frac{2}{3}(1-\frac{4}{9z})^{3/2} \end{eqnarray}$ ist selbst, wenn du das Minus zu einem Plus korrigierst fast mehr falsch als richtig und das sind keine Flüchtigkeitsfehler, sondern ganz grobe Patzer. Also bitte: Wiederhole die Grundlagen. Tut mir Leid, wenn sich das etwas hart anhört aber ohne Grundlagen geht nunmal garnichts.
21.05.2013, 21:06	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es mir noch einmal angesehen und komme nun auf folgendes $\begin{eqnarray} x=z^{3/2}<br /> \Rightarrow z= x^{2/3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dx} = \frac {2}{3\sqrt[3]{x}}<br /> \Rightarrow dx = \frac {3\sqrt[3]{x}}{2}dz \end{eqnarray}$ Für das Integral bedeutet das: $\begin{eqnarray} \int_\epsilon^1 \! \sqrt{1+\frac{4}{9z}}\frac {3\sqrt[3]{x}}{2} \, dz = \frac{3}{2} \int_\epsilon^1 \! \sqrt{1+\frac{4}{9z}}\sqrt[3]{x} \, dz \end{eqnarray}$ Stimmt es jetzt?
21.05.2013, 21:11	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht schon besser aus. Du hast aber noch vergessen, die Integrationsgrenzen anzupassen. Zusätzlich: was ist $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray}$ mit z ausgedrückt? Du möchtest ja nur noch z im Integranden stehen haben.
21.05.2013, 21:32	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x=z^{3/2}<br /> x^{1/3}=(z^{3/2})^{1/3} \end{eqnarray}$ = z^{1/2} $\begin{eqnarray} \frac{3}{2}\int_\epsilon^1 \! \sqrt{1+\frac{4}{9z}}\sqrt{z} \, dz = \frac{3}{2}\int_\epsilon^1 \! \sqrt{(1+\frac{4}{9z})z}\, dz = \frac{3}{2}\int_\epsilon^1 \! ((1+\frac{4}{9z})z)^{1/2} \, dz = \frac{3}{2}\frac{2}{3}((1+\frac{4}{9z})z)^{3/2} \end{eqnarray}$ Resubstitution: $\begin{eqnarray} \Rightarrow (1+ \frac{4}{9\sqrt[3]{x^2}})^{3/2} x \end{eqnarray*}$ Allerdings weiß ich nicht wie man die Integrationsgrenzen anpasst
21.05.2013, 22:12	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nicht weißt, wie man die Integrationsgrenzen anpasst, dann lass die Integrationsgrenzen weg, sonst sind deine Zwischenschritte alle falsch! Du kannst auch, wie du es gemacht hast, am Ende resubstituieren und die Grenzen erst dann dazuschreiben. $\begin{eqnarray} \frac{3}{2}\int_\epsilon^1 \! ((1+\frac{4}{9z})z)^{1/2} \, dz = \frac{3}{2}\frac{2}{3}((1+\frac{4}{9z})z)^{3/2} \end{eqnarray}$ Das ist nun(wenn du die Integrationsgrenzen weglassen würdest) nur durch kompletten Zufall richtig, denn du kannst nicht einfach $\begin{eqnarray} ((1+\frac{4}{9z})z)^{1/2} \end{eqnarray}$ so integrieren, als stünde da einfach nur $\begin{eqnarray} z^{1/2} \end{eqnarray*}$ . Hier stimmt es zufällig, weil du im Prinzip ein normiertes Polynom ersten Grades innerhalb der Klammer stehen hast. Das sieht man aber eigentlich erst, wenn man die innere Klammer zusammenfasst. Außerdem hast du hier ein bestimmtes Integral, da kommt keine Funktion raus, sondern eine feste Zahl.(abhängig von epsilon zugegebenermaßen).
21.05.2013, 22:13	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank für die Hilfe

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