Charakteristisches Polynom berechnen

20.05.2013, 15:46

Krümeli

Charakteristisches Polynom berechnen

Meine Frage:
Ich kann da eine Aussage nicht ganz nachvollziehen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \det{(A-X*E_n)} = (-1)^nX^n +(-1)^{n-1}(a_{11}+...+a_{nn})X^{n-1}+...+\det{A} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich denke, man muss Leibniz verwenden, ich seh aber nicht, wo das $\begin{eqnarray*} \det{A} \end{eqnarray*}$ herkommt...

20.05.2013, 15:49

watcher

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Setze X=0.

20.05.2013, 16:02

Krümeli

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Ja, im Falle $\begin{eqnarray*} X=0 \end{eqnarray*}$ stimmt die Gleichung. Aber $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann ja auch z. B. 42 sein.

Die höchste Potenz muss doch normal beim Produkt der Hauptdiagonalen auftreten?

20.05.2013, 16:06

watcher

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Zitat:

Aber $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann ja auch z. B. 42 sein.

Und? Was hat das mit dem konstanten Term zu tun?

Zitat:

Die höchste Potenz muss doch normal beim Produkt der Hauptdiagonalen auftreten?

Was willst du damit sagen?

Oder allgemein?
Was ist dein genaues Problem mit dieser Gleichheit?

20.05.2013, 16:46

Krümeli

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Mein Problem ist vermutlich, dass ich nicht weiß, was da bei $\begin{eqnarray*} +...+ \end{eqnarray*}$ steht. Also was zwischen $\begin{eqnarray*} (-1)^{n-2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X^{n-2} \end{eqnarray*}$ kommt, etc.

20.05.2013, 16:49

watcher

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Die Pünktchen stehen da aus gutem Grund.
Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{n-2}, \ldots ,a_1 \end{eqnarray*}$ sind im Algemeinen nicht schön zu berechnen. Daher die Pünktchen:
Da stehen Koeffizienten, wie die genau aussehen ist vollkommen wurscht.

Anders ausgedrückt: Die Formel macht keinerlei Aussagen über die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{n-2}, \ldots ,a_1 \end{eqnarray*}$

20.05.2013, 17:44

Krümeli

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Vielen Dank, das hilft mir schon viel weiter. Ich dachte da gäbs ein schönes Muster Augenzwinkern

Wenn $\begin{eqnarray*} \sigma=id \end{eqnarray*}$ , dann ist der Summand von Leibniz ja $\begin{eqnarray*} (a_{11}-X)*(a_{22}-X)*...*(a_{nn}-X) \end{eqnarray*}$
Daher kommen die ersten beiden Summanden.

Der letzte Summand kommt dann daher, dass man ja weiß, dass X auch 0 sein kann, und deshalb addiert man (vorsichtshalber) $\begin{eqnarray*} \det{A} \end{eqnarray*}$ ? Das ergibt für mich keinen Sinn...

20.05.2013, 17:53

watcher

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Zitat:

Der letzte Summand kommt dann daher, dass man ja weiß, dass X auch 0 sein kann, und deshalb addiert man (vorsichtshalber) $\begin{eqnarray*} \det{A} \end{eqnarray*}$ ? Das ergibt für mich keinen Sinn...

Für mich ergibt das auch keinen Sinn. Man tut das hier auch nicht.
Es wird hier gar nichts addiert. Warum auch?

Der Beweis arbeitet hier mit Koeffizientenvergleich.

20.05.2013, 19:42

Krümeli

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Also sind alle konstanten Werte aus $\begin{eqnarray*} \det{(A-X*E_n)} \end{eqnarray*}$ gesucht, und die bekommt man, wenn X=0 ist.

Jetzt ist alles klar, herzlichen Dank Freude

Krümeli

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