Dirichlet-Funktion = Regelfunktion?

20.05.2013, 20:00

Shalec

Dirichlet-Funktion = Regelfunktion?

Hallo,
ich sitze vor einem interessanten Rätsel.

Zunächst die Definition einer Regelfunktion:
Die von Wikipedia ist so ziemlich die, die ich auch zu Grunde liegen habe.

Dann ein Korollar aus dem Königsberger (Analysis 1 - 6. Auflage. Seite 195)
"Folgerung: Jede Regelfunktion f : I -¥ C ist fast überall stetig, d.h., mit
Ausnahme höchstens abzählbar vieler Stellen. Insbesondere ist jede
monotone Funktion auf einem Intervall fast überall stetig. "

Dies würde bedeuten, dass wenn es überabzählbar viele Unstetigkeitsstellen gibt, so ist eine Funktion keine Regelfunktion.

Nun wissen wir, dass die Rationalen Zahlen dicht in IR liegen und außerdem abzählbar sind. Die irrationalen Zahlen sind demzufolge überabzählbar (anderenfalls wäre IR abzählbar).

Also nach der Variante der Dirichlet-Funktion, die ich hier liegen hab (vermutlich 1-D) ist
für
$\begin{eqnarray*} x\in [0,1], f(x)=\begin{cases} 0 & x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q \cup \{0\}\\ \frac{1}{q} & \text{sonst, } p,q\in\mathbb N\text{ teilerfremd}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich sage:
die einseitigen Limetes existieren für alle x und damit ist es eine Regelfunktion.

Alternativ ließen sich auch überabzählbar viele Unstetigkeitsstellen durch die irrationalen Zahlen erzeugen, sodass hier ein Widerspruch entsteht. Oder ist f für irrationale Zahlen stetig? Wenn ja, wie zeige ich das? Bzw. wo liegt hier das Argument?

Viele Grüße und vielen Dank,
Shalec

20.05.2013, 20:10

Che Netzer

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RE: Dirichtlet-Funktion = Regelfunktion?

Zitat:

Original von Shalec
die einseitigen Limetes existieren für alle x und damit ist es eine Regelfunktion.

Dass du das sagst, genügt nicht.
Wie begründest du das?

Übrigens scheint die Bedingung $\begin{eqnarray*} x=\frac pq \end{eqnarray*}$ in deiner Definition zu fehlen.

20.05.2013, 21:20

Shalec

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RE: Dirichtlet-Funktion = Regelfunktion?

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Shalec
die einseitigen Limetes existieren für alle x und damit ist es eine Regelfunktion.

Dass du das sagst, genügt nicht.
Wie begründest du das?

Betrachten wir hierfür doch einfach Folgen x_n, die gegen den jeweiligen Wert des Intervalles konvergieren und nur aus Elementen des komplementären Raumes (d.h. anstelle rationaler, nur irrationale und analog andersrum..Dichtheit ausnutzen :-D ). Dann ist f(x_n)=0 für alle n (oBdA) und lim f(x_n)=0 != f(x)=f(lim x_n)
Aber dies stellt ja keine Forderung da, also ist der Grenzwert mit limf(x_n)=0 existent.
Analog andersherum.
I.A. ist f(x) an überabzählbar vielen Stellen gleich 0.und ich meine gelesen zu haben, dass f(x)=0 an überabzählbar vielen Stellen stetig ist und nur in Q an abzählbar vielen Stellen unstetig.
Daher die alternative Frage.

Ich würde gerne ausführlicher schreiben, hab mir heute jedoch in den Finger geschnitten und nun nervt das 9-Finger schreiben schon sehr...^^

Es kann aber auch sein, dass ich die Definition der Regelfunktion nicht vollständig nachvollzogen habe.

Zitat:

Original von Che Netzer
Übrigens scheint die Bedingung $\begin{eqnarray*} x=\frac pq \end{eqnarray*}$ in deiner Definition zu fehlen.

Ja, richtig. Das fehlt ^^

20.05.2013, 21:25

Che Netzer

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RE: Dirichtlet-Funktion = Regelfunktion?
Wenn der rechtsseitige Grenzwert einer Funktion in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existieren soll, dann heißt das, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(x_n) \end{eqnarray*}$ für ALLE fallenden Folgen mit $\begin{eqnarray*} x_n\to x_0 \end{eqnarray*}$ gelten soll.
Nicht nur für irgendeine.

Dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nirgends stetig und in keinem Punkt existiert ein rechts- oder ein linksseitiger Grenzwert.

20.05.2013, 21:33

Shalec

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RE: Dirichtlet-Funktion = Regelfunktion?

Zitat:

Original von Che Netzer
Wenn der rechtsseitige Grenzwert einer Funktion in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existieren soll, dann heißt das, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(x_n) \end{eqnarray*}$ für ALLE fallenden Folgen mit $\begin{eqnarray*} x_n\to x_0 \end{eqnarray*}$ gelten soll.
Nicht nur für irgendeine.

Dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nirgends stetig und in keinem Punkt existiert ein rechts- oder ein linksseitiger Grenzwert.

Ich denke, dass ich den Existenzbegriff zu schwach gewichtet habe.
Aber ja, nun sehe ich meinen Gedankenfehler. Ich hatte den Existenzbegriff darauf reduziert, dass ich mir eine beliebige Folge greifen kann, und sollte dort ein Grenzwert existieren, so genügt dies. Die Eindeutigkeit eines Grenzwertes habe ich missachtet.

Vielen Dank!

Edit://
Ich bin eben über folgende Argumentationsweise gestolpert.

Sei $\begin{eqnarray*} x_n=\frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q_n < q_{n+1} \end{eqnarray*}$ (legitim, in Hinsicht auf Approximationen) eine Folge rationaler Zahlen, dann ist lim f(x_n)=lim 1/(q_n) = 0 = lim(x), x irrational.
Für irrationale Folgen y_n ist lim f(y_n)=0.
Demzufolge existiert er, und ist eindeutig. Daher würde hiermit eine Regelfunktion folgen.
Nach deiner Aussage ist diese Argumentation falsch. Warum?

Edit2://
Ich vermute, die Wahl der rationalen Folgen ist nicht beliebig. Auch die größerwerdenden Nenner scheinen mir suspekt und eher konstruktiv als legitim.
Weiter stellen die irrationalen Folgen ein Problem dar. Zu mindest muss hier der Widerspruch zur Regelfunktion existieren, denn dies würden die überabzählbar vielen Sprungstellen erzeugen.

20.05.2013, 22:59

RavenOnJ

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Wenn ich das richtig sehe, ist die Funktion bei allen irrationalen x stetig, bei allen rationalen unstetig. Stetigkeit bei irrationalen x lässt sich so begründen: Es lässt sich zu jeder irrationalen Zahl $\begin{eqnarray*} 0 <x <1 \end{eqnarray*}$ und zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_\delta(x) \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} \forall y \in U_\delta(x):f(y) < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Dies ist der Fall, weil sich immer eine Umgebung um x finden lässt, die keine rationale Zahl enthät mit einem Nenner $\begin{eqnarray*} \le\Big\lceil \frac 1 \epsilon\Big\rceil \end{eqnarray*}$ . Denn es gibt in dem betrachteten Intervall nur endlich viele von diesen rationalen Zahlen mit genügend kleinem Nenner.

21.05.2013, 08:17

Che Netzer

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Ah ja, ich hatte da ein $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac1q \end{eqnarray*}$ gelesen smile

Ja, damit ist die Funktion in allen irrationalen Zahlen und im Nullpunkt stetig.

Mit der gleichen Argumentation erhält man dann, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine Regelfunktion ist.

21.05.2013, 12:07

Shalec

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Offensichtlich hatte ich mir die Aufgabe nicht genügend lange angeschaut. Klar. Jetzt sehe ich auch die Stetigkeit.

Vielen Dank euch beiden!
(im Netz scheint diese Aufgabe eine "Streitfrage" zu sein..)

21.05.2013, 13:36

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Shalec

(im Netz scheint diese Aufgabe eine "Streitfrage" zu sein..)

wo?

21.05.2013, 15:48

Shalec

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Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von Shalec

(im Netz scheint diese Aufgabe eine "Streitfrage" zu sein..)

wo?

Das ist jetzt eine gute Frage. Als ich gestern auf der Suche nach dieser Aufgabe war, bin ich einige Seiten gestoßen, die aussagen, dass diese Abbildung keine Regelfunktion ist. Andere sagen, dass diese eine sei. Wo genau ich was gelesen habe, kann ich nicht mehr mit Sicherheit sagen, aber meine Suche beschränkte sich auf "google" ;-) mit den Parametern "Regelfunktion Dirichlet-funktion" und umgekehrt. Seltener hatte ich auch nur nach der Regelfunktion und Gegenbeispielen gesucht.

Viele Grüße

21.05.2013, 19:40

Che Netzer

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Die Dirichlet-Funktion, die ich standardmäßig unter diesem Namen kenne, ist auch keine Regelfunktion.
Für die ersetze man $\begin{eqnarray*} \frac1q \end{eqnarray*}$ durch Eins.
Daher wohl auch meine Verwirrung...

Vielleicht hast du ein paar Seiten gefunden, auf denen die Dirichlet-Funktion auch so oder ähnlich definiert wurde.

21.05.2013, 23:37

RavenOnJ

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Ich kenne diese Funktion unter dem Namen Thomaesche Funktion.

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Dirichlet-Funktion = Regelfunktion?

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