Irreduzibilität in Z[x] und Q[x]

20.05.2013, 20:19

KiWo

Irreduzibilität in Z[x] und Q[x]

Meine Frage:
Hallo, vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen. Ich habe ein Polynom von Grad 4, das ich auf Irreduzibilität in Z[x] und Q[x] untersuchen soll.
2x^4+250x^3+30x^2+80x+1067220.
mod 2 ist das Polynom mit Eisenstein (p=5) irreduzibel.
Was sagt mir das aber jetzt zur Irreduzibilität in Z[x] und Q[x]?

Meine Ideen:
mod 2 ist das Polynom mit Eisenstein (p=5) irreduzibel.
Was sagt mir das aber jetzt zur Irreduzibilität in Z[x] und Q[x]?

20.05.2013, 20:27

watcher

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Hallo,

Zitat:

mod 2 ist das Polynom mit Eisenstein (p=5) irreduzibel.

5=1 modulo 2.
Also ist 5 modulo 2 nicht prim.
Modulo einer Primzahl (also in einem endlichen Körper) ist das Eisensteinkriterium gar nicht anwendbar, denn in Körpern gibt es keine Primelemente.

Ferner sieht das Polynom modulo 2 extrem langweilig aus.

Als allererstes sollte man sich hier die Koeffizienten mal scharf anschauen.
Dann sieht man sofort, dass das Polynom in den ganzen zahlen reduzibel ist.

20.05.2013, 21:04

KiWo

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RE: Irreduzibilität in Z[x] und Q[x]
Oh. unglücklich

Na, dacht' ich mir doch, dass meine Überlegungen nix bringen...
Dann werd' ich mir die Koeffizienten mal scharf anschauen...
Aber reduzibel in Z[x] impliziert ja dann direkt reduzibel in Q[x]...

20.05.2013, 21:09

KiWo

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Ach, ich hab' auch total was durcheinander geschmissen.
Ich meinte, wenn man 2 ausklammert, nicht mod 2!
bläh... sorry.
Aber danke!

20.05.2013, 21:14

watcher

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Zitat:

Aber reduzibel in Z[x] impliziert ja dann direkt reduzibel in Q[x]

Nein, das hier ist ein Gegenbeispiel dafür.
Für solche Implikationen wird eine Zusatzbedingung verlangt, die hier nicht erfüllt ist.

Zitat:

Ich meinte, wenn man 2 ausklammert, nicht mod 2!