Lineare Unabhängigkeit (LGS ungleich Determinantenlösung)

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Lineare Unabhängigkeit (LGS ungleich Determinantenlösung)
Ist jemand eventuell so lieb und möchte sich kurz meinen Fehler anschauen?

Die Aufgae war, dass ich die vorgegebenen Teilmengen auf Lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit prüfe. Nun habe ich mithilfe der Determinante einen ungleich 0 Wert herausbekommen (96), das bedeutet das die Teilmengen eigentlich Unabhängig sein sollten.

Ich habe dann zur Sicherheit noch einmal ein LGS aufgestellt, doch dort sind sie linear abhängig! Ich hoffe ihr wisst wo mein Fehler liegt! Das wäre sehr lieb von euch wenn ihr mir helfen könnt. smile
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es nur die triviale Lösung x=y=z=0 gibt, sind die drei vektoren lin. unabhängig.
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Zitat:
Original von frank09
Wenn es nur die triviale Lösung x=y=z=0 gibt, sind die drei vektoren lin. unabhängig.


Danke für diesen sehr wichtigen Hinweis!

Edit: Mich würde noch interessieren weshalb? Ich dachte bisher wenn die Lösungsmenge gleich ist, müssten die Teilmengen voneinander linear abhängig sein. Die Triviale Lösung 0 als Lösungsmenge eines homogenen LGS stellt da wahrscheinlich eine Ausnahme dar.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ich sehe in deiner Gauss-Reduktion keinem Hinweis auf lineare Abhängigkeit.

Es existiert demnach nur die triviale Lösung. Das ist - siehe oben - gerade das Kriterium
für lineare Unabhängigkeit.

Weshalb?

In der Ebene wird es klar: sind 2 Vektoren nicht "parallel" dann lässt sich der Nullvektor nur so schreiben:



einfach mal ausprobieren!
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Zitat:
Original von Dopap
ich sehe in deiner Gauss-Reduktion keinem Hinweis auf lineare Abhängigkeit.

Es existiert demnach nur die triviale Lösung. Das ist - siehe oben - gerade das Kriterium
für lineare Unabhängigkeit.

Weshalb?

In der Ebene wird es klar: sind 2 Vektoren nicht "parallel" dann lässt sich der Nullvektor nur so schreiben:



einfach mal ausprobieren!


Super, dann weiss ich nun bescheid, dass die triviale Lösung 0 als Lösungsmenge eine Ausnahme darstellt. Den jede andere selbe Lösungsmenge (ungleich Null) eines LGS von Teilmengen beschreibt die lineare abhängigkeit!
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

das mit der "Ausnahme" ist schlichtweg falsch. Du hattest ja deine Matrix so umgeformt damit du das LGS lösen konntest, aber ich denke dir ist nicht klar was dein LGS eigentlich ist.

Wenn du die folgende Matrix mit Gauss löst, dann ist das zu folgender Schreibweise äquivalent.



In deinem Fall war eben e=0=f, und deine Lösung sind eben gerade die Koeffizienten deiner Linearkombination. Und Vektoren sind eben genau dann linear unabhängig wenn es nur die Trivale Lösung der 0 gibt, so dass alle Koeffzienten gleich 0 sind. Keine Ausnahme, sondern das ist die Definition.

Hoffe dir hilft diese Äquivalenz um den Zusammenhang zwischen Linearkombination und LGS zu verstehen.

Gruß smile
 
 
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Also den Zusammenhang zwischen Linearkombination, Matrix und Gauß habe ich schon verstanden. Ich möchte ja schlichtweg schauen ob sich die eine Teilmenge durch die andere abbilden lässt (Vielfaches zueinander). Und das gilt wenn die Lösungsmenge der Linearkombination eine selbe Lösung hat. Ich versteh aber immer noch nicht so richtig, warum es bei 0 nicht gilt. (0=0)

Kannst du das noch einmal bitte verständlicher erklären? Wäre wirklich sehr lieb von dir.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du bitte die komplette frage rein stellen, denn bisher sehe ich nur 3 Vektoren die du auf lineare Unabhängigkeit testest,..

Also wie lautet denn genau deine Übungsaufgabe?
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerJFK
Kannst du bitte die komplette frage rein stellen, denn bisher sehe ich nur 3 Vektoren die du auf lineare Unabhängigkeit testest,..

Also wie lautet denn genau deine Übungsaufgabe?


Das ist schon korrekt. Ich soll die vorgegebenen Teilmengen bzw. Vektoren auf Lineare abhängigkeit bzw. Unabhängighkeit prüfen.

Ist die Lösungsmenge der Linearkombination der einzelnen Vektoren eindeutig, so sind diese linear abhängig.

Meine Frage: Warum gilt das aber nicht bei der Lösungsmenge 0 ?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist die Lösungsmenge der Linearkombination der einzelnen Vektoren eindeutig, so sind diese linear abhängig.


Woher kommt dieser Satz? Die Definition wann Vektoren linear unabhängig sind wurde schon oben geschrieben. (wenn sie nicht unabhängig sind, dann sind sie abhängig) Wenn damit gemeint sein soll, dass Vektoren linear abhängig sind, falls ihr LGS eine eindeutige Lösung bzgl. eines Vektors hat ist das einfach nur falsch.

Beispiel:



Hier sind A und b gegeben und x ist gesucht. Wie ich oben schon geschrieben habe, ist das gleich einer linear Kombination der Spaltenvektoren von A. Und hier gilt direkt, falls die Lösung eindeutig ist, sind die Spalten von A linear Unabhängig. Denn somit wäre der Kern(A)={0}, was gleich zu setzen ist mit Ax=0 und x=0, woraus folgt, dass die Spalten nur die triviale Lösung des null Vektors zu lassen.

Das gleiche gilt auch für m x n Matrizen. Somit ist die Bedingung nicht richtig.

Falls der Satz anders gemeint sein soll, dann schreibe bitte woher er kommt und was evtl. Voraussetzungen sind.

Gruß
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt etwas verwirrt und muss mir deshalb noch einmal die Definition ansehen.

Doch zuvor will ich noch gerne folgendes wissen:

Wenn die Lösungsmenge eines LGS von Vektoren z.b. x=Y=z=8 ist, dann sind diese linear abhängig oder?

Und wenn die Lösungsmenge z.B. x=3,y=33 und z=9 ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig oder?

lg
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiel:

Aufgabe:



Lösung:



x=y=2 und die Vektoren sind dennoch linear unabhängig.
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerJFK
Beispiel:

Aufgabe:



Lösung:



x=y=2 und die Vektoren sind dennoch linear unabhängig.


Wow, das haut mich gearde echt vom Hocker. Ich habe es so verstanden, dass Vektoren linear abhängig sind, wenn die Lösungsmenge der Linearkombination gleich ist, also wie in deinem genannten Beispiel. Ist das falsch was ich gelesen habe? Wieso sind deine genannten Vektoren linear unabhängig ?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso nutzt du nicht die Definition von linearer Unabhängigkeit?

Eine Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, falls die linear Kombination des Nullvektors

mit

nur die triviale Lösung besitzt. Sonst (also falls es auch gibt), heißen die Vektoren linear abhängig.
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerJFK
Wieso nutzt du nicht die Definition von linearer Unabhängigkeit?

Eine Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, falls die linear Kombination des Nullvektors

mit

nur die triviale Lösung besitzt. Sonst (also falls es auch gibt), heißen die Vektoren linear abhängig.


Dann müsste doch dein genanntes Beispiel nach dieser Definition linear abhängig sein?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte löse folgendes Gleichungssystem:



Die Definition besagt, du sollst die linear Kombinationen betrachten, welche den Nullvektor ergeben. Hat mein Beispiel den Nullvektor ergeben?
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerJFK
Beispiel:

Aufgabe:



Lösung:



x=y=2 und die Vektoren sind dennoch linear unabhängig.


Sorry, ich sehe gerade erst das die Linearkombination mit (2,2) gleichgesetzt wurden ist. Das habe ich nicht bemerkt.^^ Selbstverständlich muss gelten, dass die Linearkombination gleich dem Nullvektor gesetzt wird. Nach aufstellen des LGS und des lösen des LGS kommen Lösungsmengen heraus.

Ich weiss, dass wenn diese Lösungsmenge gleich ist und ungleich Null gilt, die Vektoren linear abhängig sind. Ist die Lösungsmenge verschieden oder sie ist eindeutig Null (z.b. x=y=z=0) so sind diese linear unabhängig. Das ist aber nun korrekt oder!?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass wenn diese Lösungsmenge gleich ist und ungleich Null gilt, die Vektoren linear abhängig sind


woher kommt denn das?

Die Vektoren sind einfach linear abhängig wenn sie nicht linear unabhängig sind.

Noch ein Beispiel:



Hier gilt z.B. für x=1 und y=-1, dass der Nullvektor raus kommt. Hierbei sind die Koeffizienten dennoch verschieden und es linear abhängig, weil der Nullvektor eben nicht nur die triviale Lösung x=y=0 besitzt.

Versuche dir mal die Definition von linear Unabhängig klar zu machen, dann siehst du wie wirr deine Regel mit den gleichen Koeffizienten ist. Denn Vektoren sind abhängig sobald es neben der trivialen Lösung (x=y=0) eben noch andere Lösungen gibt wo mindestens ein Koeffizient ungleich null ist.

Würde mich echt interessieren wo du diese Regel gelesen hast?

Gruß
Amplitude Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mich bei dir bedanken, da ich leider das falsch interpretiert hatte. So, nun weiss ich, dass Vektoren linear unabhängig sind, wenn die Lösung ihrer Linearkombination gleichgesetzt mit 0 die Triviale Lösung (z.B. x=y=0) ergeben!

Wenn ein Wert ungleich Null ist, so sind die Vektoren also sofort linear abhängig oder?

Was ist wenn ich keine eindeutige Lösung herausbekomme wie z.b. bei deiner genannten Matrix:

1 1
1 1

Nach Gaußverfahren - Gleichungen lauten:

I) x+y=0
II) 0x+0y=0

Nun von unten nach oben lösen.

Daraus resultiert ja das y freiwählbar ist oder? Also y=lambda. Ist x hier auch frei wählbar also x=lambda2?

Außerdem ..

Wenn ich solch eine Lösung herausbekomme kann ich selber entscheiden ob die Vektoren linear abhängig sind oder nicht oder?

Bitte nicht böse sein, aber ich bin etwas verwirrt gerade.^^
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nehmen wir mal etwas freizügiger:



hier gilt offensichtlich:

bei 3 Vektoren ist das nicht mehr so übersichtlich, allerdings gilt auch hier:

lässt sich ein Vektor als Linearkombination der Restlichen darstellen --> l.a.

Wenn es aber bei einem Vektor nicht klappt , folgt daraus nicht , dass die Vec. linear unabhängig sind.

Beispiel:



man erkennt, dass gilt -----> l.a. der 3 Vektoren.

aber:

ist keine Linearkombination von


also Vorsicht !

Nur die Prüfung auf triviale Lösung bietet sofortige Klarheit.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Stimme meinem Vorredner zu.

Noch die Antwort zu deiner Frage:

Du hast am Ende x+y=0 stehen => x=-y, dass heißt deine beiden Koeffizienten unterscheiden sich immer nur um das Vorzeichen, um den Nullvektor zu erstellen.

Hier ist mir nicht klar warum du auf einmal mit lambda1 und lambda2 argumentierst, da deine Koeffizienten ja x und y sind.

Zitat:
Wenn ich solch eine Lösung herausbekomme kann ich selber entscheiden ob die Vektoren linear abhängig sind oder nicht oder?


Welchen Sinn hat eine Definition, wenn ich frei entscheiden könnte ob sie zutrifft oder nicht? Es ist immer eine Ja oder Nein Antwort, entweder sie trifft zu oder eben nicht.

Ich habe dir in diesem Thread die Beziehung zwischen deinem LGS und der linear Kombination gegeben, wende das doch mal kombiniert mit der Definition der linearen Unabhängigkeit an.

Schau dir bitte die Definition genau an und mache selbst ein paar kleine Beispiele mit mehreren Vektoren im R^2 und/oder R^3.

Gruß und noch viel Erfolg
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