Erwartungswert und Varianz

21.05.2013, 12:50

Celine19

Erwartungswert und Varianz

Meine Frage:
Hallo =)

Also es geht darum, dass n verschiedene Getränke n Personen zugeordnet werden sollen, dabei nimmt die Zufallsgröße Xi, i aus 1,...,n, den Wert 1 an, wenn der i-te Gast sein Getränk erhält und sonst 0.

Ich soll nun die Varianz und den Erwartungswert berrechnen.

Meine Ideen:
Ich habe mir erst einmal überlegt:

Das die Wahrscheinlichkeit das ein Gast sein Getränk erhält 1/n ist also:
P(X=1) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ demnach ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Gast sein Getränk erhält $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit das ein Gast nicht das richtige Getränk erhält beträgt:
P(X=0) = $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$ und das jeder Gast nicht das richtige Getränk erhält: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k-1}{k} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich leider nicht weiter :/
Ich weiß schon wie man den Erwartungswert berechnet, aber hier komme ich nicht weiter.

21.05.2013, 16:43

Celine19

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Kann mir keiner helfen? :/

21.05.2013, 16:56

HAL 9000

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Warum philosophierst du über eine (übrigens falsch berechnete) Wahrscheinlichkeit, dass jeder Gast sein Getränk erhält, wenn danach überhaupt nicht gefragt ist? Augenzwinkern

Zitat:

Original von Celine19
Ich soll nun die Varianz und den Erwartungswert berechnen.

Erwartungswert und Varianz von welcher Zufallsgröße ? Von $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

21.05.2013, 17:47

Celine19

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Die Zufallsgröße ist Xi, wobei i aus {1,...,n} ist. Xi nimmt hier den Wert 1 an, wenn der i-te Gast das richtige Getränk erhält und den Wert 0, wenn der Gast nicht sein Getränk erhält.
Demnacht dachte ich ich müsste erstmal die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass der Gast das richtige Getränk oder das falsche Getränk erhält, um dann den Erwartunsgwert E(Xi) und danach die Varian Var(Xi) bestimmen zu können.

21.05.2013, 20:48

HAL 9000

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Stimmt genau.

Und jetzt kannst du mit diesem $\begin{eqnarray*} P(X_i=1) = \frac{1}{n},P(X_i=0)=\frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$ ja bereits

$\begin{eqnarray*} E(X_i) = \sum_{k} kP(X_i=k) \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} E(X_i^2) = \sum_{k} k^2P(X_i=k) \end{eqnarray*}$

berechnen, letzteres als Hilfsrechnung für $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X_i) = E(X_i^2)-(E(X_i))^2 \end{eqnarray*}$ .

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