Menge beschränkt und abgeschlossen? |
| 21.05.2013, 13:47 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Menge beschränkt und abgeschlossen? ich hätte da mal eine spezielle Frage. Damit eine Menge beschränkt ist, reicht es aus entweder nur eine Oberschranke zu haben oder eine Unterschranke? Oder muss beides vorhanden sein? Dann würde mich noch interessieren ob folgende Aussage korrekt ist. Teilmengen von R(Reelle Zahlen): Die Teilmenge 1/n vereinigt mit Null ist nach oben und nach unten beschränkt. Da ihr Supremum 1 ist und darüber unendlich viele Oberschranken existieren und ihr Infimum Null ist und unendlich viele untere Schranken existieren. Auch ist diese abgeschlossen, da die Obermenge R (Reelle Zahlen )ohne die vorgegebene Teilmenge offen ist! Und da die Teilmenge abgeschlossen und beschränkt ist, ist sie somit kompakt. Edit: So, ich habe mir noch einmal die Definition der Beschränktheit durchgelesen und komme zum Entschluss, dass eine Menge eine Obere und untere Schranke haben muss, damit man sie als beschränkt bezeichnen kann! |
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| 21.05.2013, 14:49 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auch wenn das nicht ordentlich formuliert ist, ist das was Du meinst richtig.
Du müsstest schon beweisen dass das Komplement wirklich offen ist. Es einfach nur hinzuschreiben reicht nicht.
Das gilt nur im endlichdimensionalen, was aber hier der Fall, also richtig ist. |
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| 21.05.2013, 15:59 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke, das mit dem Beweis werde ich mir jetzt noch einmal anschauen. Mich würden noch zwei Fragen interessieren: 1) Eine Folge 1 bzw. (Konstante) diese ist über den ganzen Intervall abgeschlossen oder? 2) Folgen wie z.b. 1/n sind immer offen, da ich für noch so große n, immer eine Umgebung am jeweiligen Punkt finde. |
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| 21.05.2013, 16:22 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was?
Das es eine Umgebung gibt reicht nicht, die Umgebung muss Teilmenge der untersuchten Menge sein. Zudem ist die Frage ob eine Menge, die aus den elementen Folge besteht offen oder abgeschlossen ist abhängig von der zugrundegelegten Topologie. Zahlenfolgen erzeugen stets abzählbare Mengen und abzählbare Mengen sind in R abgeschlossen. |
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| 21.05.2013, 18:08 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bezüglich der ersten Frage, meine ich ob konstanten wie z.B. 1 oder 2 abgeschlossen sind (Mir fällt gerade ein, dass diese selbstverständlich abgeschlossen sind, den es sollte nicht möglich sein, die Offenheit der Obermenge ohne der Teilmenge (Hier 1 oder 2) zu beweisen). Also die Fragen die ich stelle beziehen sich alle auf den Standardmetrischen Raum. Die Bedingung für die Offenheit einer Teilmenge ist, dass diese an jeden Punkt in sich eine Umgebung hat. Wieso ist dann eine Folge wie z.B. 1/n abgeschlossen? Ist es weil der erste Folgeglied (1/1=1) ein Rand ist? Und warum gilt abgeschlossenheit? Ich komme doch eigentlich niemals bei 0 an. Ich würde jetzt sagen, dass Folgen weder abgeschlossen noch offen sind. Also sie sind in der Form [x,y). In diesem Fall bei 1/n also [1,0). Du musst verstehen. Ich bin sehr neu in diesem Thema und es nicht sehr leicht alles sofort zu verstehen.^^ |
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| 21.05.2013, 18:20 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gute Argumentation. Ja, man muss zu den Folgen noch ihre Häufungspunkte hinzunehmen, dann werden die Mengen abgeschlossen. Aber: In der normalen Topologie ist eine Zahlenfolge stets nicht offen. Der Punkt ist, dass alle Folgenglieder Randpunkte sind.
Abgeschlossenheit ist eine Eigenschaft von Mengen, nicht von Zahlen. |
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| 22.05.2013, 00:58 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke, dann ist also eine Folge stets abgeschlossen wenn ich das nun richtig verstanden habe (Im Standardmetrischen Raum)? Aber ich vermute mal, dass sie nur abgeschlossen sein kann, wenn sie konvergiert? Außerdem muss ich nun noch die genannte Teilmenge zeichnen. Wobei die Folge 1/n (n element natürliche Zahlen) vereinigt mit 0 eine Teilmenge von R (Reell) ist. Das heißt, es gibt nur eine Achse (Zahlenstrahl, welcher reell ist) oder? Den R^1 bedeutet ja eindimensional, wenn ich das richtig verstanden habe. Wenn das stimmen sollte, wie kann ich das in den Zahlenstrahl einzeichnen ? Mit zwei Achsen wäre das ganze ja einfach. Eventuell verstehe ich auch etwas nur falsch. |
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| 22.05.2013, 01:02 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Warum bist du denn so resistent gegenüber Versuchen, deine falschen Konzepte aufzuräumen?
Und du redest wieder von irgendwelchen abgeschlossenen Folgen. Folgen sind zwar auch keine Zahlen, allerdings auch keine Mengen.. |
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| 22.05.2013, 07:37 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, bisher nur einmal. Und glücklicherweise nicht öfter, das ist nämlich falsch. Abzählbare Mengen sind keineswegs immer abgeschlossen (in )! Folgen bieten ein wunderbares Gegenbeispiel. Die Menge der Folgenglieder ist nämlich (wie alle anderen Mengen auch) genau dann abgeschlossen, wenn sie all ihre Häufungspunkte enthält. Und Grenzwerte von nichtkonstanten Teilfolgen sind solche Häufungspunkte. Damit die Menge der Folgenglieder also abgeschlossen ist, muss sie alle Häufungswerte der Folge enthalten. Und zwar ist sie sogar genau dann abgeschlossen. |
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| 22.05.2013, 11:31 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich muss mich bei Amplitude entschuldigen. 
Tut mir Leid, ich habe zu kurz darüber nachgedacht und die Uhrzeit tat ihr übriges. |
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