Obere Schranke der Koeffizienten eines komplexen Polynoms

21.05.2013, 14:49	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Obere Schranke der Koeffizienten eines komplexen Polynoms Hallo, zu zeigen ist: Ist $\begin{eqnarray} p(z)=1+\sum\limits_{k=1}^{n}a_kz^k \end{eqnarray}$ ein im Ursprung normiertes Polynom ohne Nullstellen im (offenen) Einheitskreis, so gilt für alle $\begin{eqnarray} k=1,...,n \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \|a_k\|\leq \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ Als Tipp steht dabei, man soll den Spezial- und Extremalfall $\begin{eqnarray} p_0(z)=(1+z)^n \end{eqnarray}$ betrachten. Mir ist klar, dass $\begin{eqnarray} p_0 \end{eqnarray}$ genau die Binomialkoeffizienten als $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ hat, aber mir ist nicht klar, wie ich damit was über ein beliebiges anderes Polynom sagen kann bzw. insbesondere wie ich bei dem überhaupt an die Koeffizienten rankomme... die stehen ja in relativ unpraktischer Weise in der Summe drin. Hat jemand einen Rat für mich?
21.05.2013, 17:38	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte entschuldigt mein Drängeln, aber ich komme hier absolut nicht voran... Widerspruchsbeweis scheint nicht wirklich zielführend zu sein, denn was kann man schon daraus schließen, dass ein $\begin{eqnarray} a_j \end{eqnarray}$ betragsmäßig größer ist als der zugehörige Binomialkoeffizient? Versuche ich es direkt, komme ich aber auch nicht weiter, weil ich dann die Summe über die Koeffizienten nicht gut loswerde und somit keine Aussage über die Koeffizienten im Einzelnen treffen kann...
21.05.2013, 23:40	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
push... wirklich keiner ne Idee?
22.05.2013, 09:33	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Obere Schranke der Koeffizienten eines komplexen Polynoms Hat sich erledigt...
22.05.2013, 10:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab den Thread gestern nicht gesehen, hier aber mal ergänzend die Lösung (wenn Lithiesque sie schon nicht nennen will): Sämtliche Nullstellen $\begin{eqnarray} z_1,\ldots, z_n \end{eqnarray}$ des Polynoms sind nach Voraussetzung betragsmäßig $\begin{eqnarray} \geq 1 \end{eqnarray}$ also gilt für $\begin{eqnarray} b_j:=\frac{1}{z_j} \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \|b_j\|\leq 1 \end{eqnarray}$ und es ist gemäß Fundamentalsatz der Algebra $\begin{eqnarray} p(z) = \prod_{j=1}^n \left( 1 - b_jz \right) \end{eqnarray}$ . Ausmultiplizieren und Dreiecksungleichung erledigen den Rest.

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