Aufgabe zum Chinesischen Restsatz

21.05.2013, 14:52	MatheMaster_93	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum Chinesischen Restsatz Meine Frage: Zeige: Zu jedem Tripel $\begin{eqnarray} (a_{1},a_{2},a_{3}) \end{eqnarray}$ ganzer Zahlen existiert eine ganze Zahl a mit $\begin{eqnarray} a\equiv a_{1}\textrm{ mod 2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\equiv a_{2}\textrm{ mod 3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\equiv a_{3}\textrm{ mod 5} \end{eqnarray}$ Hinweis: Betrachte zunächstedie Ideale $\begin{eqnarray} \langle 2\rangle, \langle 3\rangle, \langle 5\rangle \subseteq\mathbb Z \end{eqnarray}$ und zeige, dass die Summe zwei dieser Ideale bereits $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist und verwende dann den chinesischen Restsatz. Meine Ideen: Wie im Hineweis habe ich zewei dieser Ideale zusammengezählt, also: $\begin{eqnarray} \langle 2\rangle + \langle 3\rangle = \langle ggT(2,3)\rangle = \langle 1\rangle =\mathbb Z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle 2\rangle + \langle 5\rangle = \langle ggT(2,5)\rangle = \langle 1\rangle =\mathbb Z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle 3\rangle + \langle 5\rangle = \langle ggT(3,5)\rangle = \langle 1\rangle =\mathbb Z \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich zwar, dass ich den chinesischen Restsatz verwenden Darf, also $\begin{eqnarray} \mathbb Z/\bigcap_{i=1}^3 \langle a_{i}\rangle = \mathbb Z/\langle 30\rangle \cong \mathbb Z /\langle a_{1}\rangle \times \mathbb Z /\langle a_{2}\rangle \times \mathbb Z \langle a_{3}\rangle \end{eqnarray}$
22.05.2013, 01:00	rc	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Restsatz liefert dir doch insbesondere einen surjektiven Homomorphismus von Z in dieses direkte Produkt.
24.05.2013, 12:42	MatheMaster_93	Auf diesen Beitrag antworten »
Und das bedeutet einfach, dass es zu jedem Tripel eine solche Zahl aus Z gibt? Mehr nicht? Diesen Gedanken hatte ich bereits, kam mir aber etwa einfach vor. Außerdem kann ich doch Zahlen wählen (z.B. Das Tripel (5,8,13) dann gilt a=23) Für die gilt dann nicht, dass 5 im Ideal (2) ist, 8 nicht in (3) und 13 nicht in (5) und 23 nicht in (30). Oder verstehvich etwas falsch ?

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