Sehnenmuster in Sinuskurve

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W2 Auf diesen Beitrag antworten »
Sehnenmuster in Sinuskurve
Jeder Winkel w° in einem Einheitskreis erzeugt gleichzeitig eine Sehne s
zwischen (1/0) und den Punktkoordinaten (a/b)

Bild 1


Mit dieser Steigung „x“ der Sehne s lassen sich alle Kreispunkt-Koordinaten +
und auch das Steigungsverhältnis b/a, ohne Wurzel mathematisch darstellen:

a = ……… (x²-1) / (x²+1)
b = ……… -2x / (x²+1)
b/a = m = .. -2x / (x²-1)

Es macht also Sinn die Sinuskurve anhand von Sehnensteigungen zu untersuchen.

Es zeigt sich, dass Sehnensteigungen, die zu regelmäßigen Kreispunkten gehören,
in einem mathematischen Muster aufeinanderfolgen.

Sie ergeben sich abwechselnd als Senkrechte bzw. als Parallele zu vorhergehenden Steigungen.

Bild 2

Steigung folgt als ………………….. aus Steigung

n2 ……………… Senkrechte zu m … n1
n3 ……………… Parallele .............. n1, n2
n4 ……………… Senkrechte zu m … n2
n5 ……………… Parallele ........….... n2, n3
n6 ……………… Senkrechte zu m ... n3
n7 ……………… Parallele ………….... n3, n4

usw.

Interessant wäre, herauszukriegen, ob es mathematisch erkennbare Unterschiede gibt,
zwischen den Anfangssteigungen, die einen Teilwinkel von 90° darstellen (0,5°, 18°, 2° usw.)
und den Anfangssteigungen, die in ihrer Summe nicht 90° ergeben (17°, 4° usw.).

So nun ist es kurz und klar formuliert.

Hier hört mein bisheriges Wissen/ Können auf.

Gelänge dies, so könnte man einen Kreis, bzw. die Sinuskurve mit quadratischen Mitteln beschreiben, soviel zur „Quadratur des Kreises“


@sulo,
welchen Grund gibt es das Thema zu schließen ?

Ich nehme die Kritik gerne an, mich präziser und kürzer zu fassen.
Das Thema hat wenig mit Schul-Mathematik zu tun.

Das Thema einfach zu schließen erscheint mir voreilig.

Die Antworten, die angeblich im Bereich „Schulmathematik/Geometrie“ gegeben wurden beschrieben lediglich dasselbe noch mal, was ich bereits vorher beschrieben habe.

Ich bin nicht der Fachmann, aber einige Antworten/ Zurechtweisungen erscheinen zudem nicht ganz korrekt.
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

... ich habe eben gesehen, dass in "BILD_2" die Werte der letzten 4 Sehnen-Steigungen "x" das falsche Vorzeichen haben.

(Ich habe die Formelansicht für Chico_Tobi beigefügt)

In diesem Bild wird als Steigung x(1) der Wert 3 angenommen.
Er entspricht der Sehnensteigung aus a=0,8 und b=0,6
(0,6/(1-0,8)=3, (Einheitskreis a²+b²=c²=1))


Vergleicht man z.B. die beiden Anfangswerte für Sehnensteigungen: 6,3137515 und 6,1622777

... so erfüllt der erste Wert gewisse Symmetrie-Eigenschaften, da er zum Winkel von 18° gehört,
während der zweite Wert zum "unrunden" Winkel von 18,43949 gehört.

Wie bereits erwähnt, alle Kreispunkt-Koordinaten lassen sich aus den Sehnensteigungen Wurzel-frei berechnen.

Frage:
Gibt es einen mathematischen Bereich, welcher sich mit solchen Symmetrie-Eigenschaften beschäftigt,
immerhin sind die Sehnensteigungen, die aufeinander folgen durch ein "Muster" miteinander verknüpft.
(Abwechselnd Senkrechte und Parallele zu vorhergehenden Steigungen)

Ich würde gerne mit den hier gegebenen Plott- Funktionen das Ganze Mal darstellen, jetzt ist leider zu spät,
... ich weiß allerdings nicht ob ich auch die Ergebnisse einer Reihenberechnung plotten könnte.

Gruß W2
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

.. nach eigenen weiteren Untersuchungen, stellt sich heraus:

Eine Symmetrie besteht (das heißt der Startwinkel ist Teiler von 90°),
wenn sich der Koordinaten-Werte für Kreispunkte wiederholen.

Zur schnelleren Untersuchung ziehe ich die Iteration für Winkelverdopplung vor.

(Die Iteration für alle Folgewinkel, per Additionstheorem, hätte weitaus mehr "Treffer", ist aber ungleich aufwändiger)

Iteration für Winkelverdopplung:

.....a(2n) = 2a(n)²-1

(a(1) -> gegeben)

Werte bis 10° lassen sich mit der Methode auf "Symmetrie" untersuchen.



Später mehr

.. (Antwort:..."oh, Danke, wir warten alle gespannt !" ... ;- )

tbc, Gruß W2
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag:

Um mal zu zeigen, dass auch die Startwerte per Iteration hergeleitet werden können:
(Diesmal leider nicht ganz Wurzel-frei)

So können mit dieser Iteration und der des Additionstheorem alle Sinus- und Cosinuswerte
auf ca. 10 Nachkommastellen genau ohne Kenntnis von Pi berechnet werden.

Erstaunlich -und von mir (noch) nicht verstanden- ist das Produkt aus Sehnensteigung * Winkel für 360/1024.
Das Ergebnis (ca. 114,...) entspricht ebenfalls auf ca. 10 Nachkommastellen der Sehnensteigung von 1°

tbc, Gruß W2
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig sehe, beschäftigst du dich mit der Parameterdarstellung



des Einheitskreises in einem kartesischen -Koordinatensystem. Die Terme sind rational in , also handelt es sich um eine rationale Parameterdarstellung des Einheitskreises. Davon gibt es unendlich viele.
Hier ist es so, daß, wenn das Intervall durchläuft, der Punkt , von ausgehend, den Einheitskreis einmal in positiver Orientierung umwandert, wobei der Punkt selbst ausgelassen wird. Man könnte ihn formal für dazunehmen.

Es wird nun nicht klar, was du genau sagen willst. Willst du Sinus- und Cosinuswerte berechnen?
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

Uff, ich danke dir Leopold,

Zitat:
Es wird nun nicht klar, was du genau sagen willst. Willst du Sinus- und Cosinuswerte berechnen?


Sinus und Cosinuswerte kann ich bereits berechnen, auch mit hoher Genauigkeit,
mit Hilfe des trogonometrischen Additionstheorems, .. s.o.
... wahrscheinlich auch ein alter Hut (wie HAL9000 dereinst anmerkte).

Auch die benötigten Anfangswerte kann ich berechnen, s.o. . . somit wäre alles erreicht:
Ich kann Cosinus/ Sinuswerte herleiten (ohne Kenntnis der Kreiszahl Pi).

Da ich mich aber an der Sehnensteigung fest gebissen habe, als zentralen Ausgangsfaktor,
möchte ich einen kleinen Schritt weiter kommen.

Ich untersuche, ob es mathematische Merkmale gibt, für eine frei gewählte Sehnensteigung,
an denen man erkennt, ob diese zu einem ganzzahligen Teiler von 90° gehört oder nicht.


Wie ganz oben beschrieben kann ich von der Sehnensteigung x=b/(1-a), alle anderen Werte ableiten,
ich muss also nur einen Faktor untersuchen (so mein ursprünglicher Gedanke).

Beispiele:

Die Anfangs-Sehnensteigung x=-114,588650129332 entspricht zum Beispiel dem Winkel von 1°.
Sie erfüllt symmetrische Ansprüche, da das Summieren dieser Winkel irgendwann einen Vollkreis ergeben.

Die Sehnensteigung x=-3 entspricht ungefähr 36,86989765°.
Mit cos=0,8 und sin=0,6 sind das schön runde Zahlen- aber man erhält kaum einen Vollkreis.

Ich vermute, dass sich meine Untersuchung letzten Endes -in doppeltem Sinne- im Kreis dreht.
Dennoch sind bereits unglaublich viele überraschende Zwischenergebnisse entstanden.

Beispiel:
Dreieckssteigung m=2 (b/a)
=> Sehnensteigung x=Phi (goldener Schnitt) (b/1-a).
(Legende: immer a²+b²=c², mit c=1)...
Jaja, ich weiß, das sind noch mehr neu entdeckte alte Räder.

Aber: "den goldenen Schnitt verstehen" und ihn " 'bloß' nachzulesen" ist halt ein Unterschied.

Mag sein, dass dieser Beitrag eine Alleinunterhaltungsnummer wird, insofern tausend Dank deiner Mühen,
... ich werde jedenfalls dran bleiben und berichten.

tbc, Gruß W2

PS:
- habe die Sehnensteigung als Avatarbild hochgeladen, das verkürzt hoffentlich Erklärungen, mir ist noch kein besserer Name eingefallen.
 
 
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

Symmetrische Betrachtungen zeigen, dass die Kreispunkt-Koordinaten
für 30°-Winkel sich bereits nach beim nächsten Folgewinkel wiederholen.

.......... cos(30°) = sin(2*30°)

Wenn es also gelingt die Sehnensteigung x für 1° so zu bestimmen,
dass deren Koordinaten a(n) und b(2n) (für cos(30°) und sin(60°)) übereinstimmen,
dann ist ein genauer Anfangswert gefunden.


Um eine genäherte Anfangs-Sehnensteigung für 1° zu erhalten, schlage ich vor,
die Anfangswerte für 1° a(1) und b(1) mit einem Trick zu nähern.

Man schlage im Einheitskreis einen kleinen Kreis um den Punkt (1/0), mit dem Radius
Pi/180.
Die Berechnung des gemeinsamen Punktes der beiden Kreise ergibt einen gut genäherten Wert für a(1) (cos (1°))

Kleiner Kreis: r=pi/180 um (1/0)

Gemeinsamer Punkt:

.......... Wurzel(1-a²) = wurzel(r²-(a-1)²) => a = 1-r²/2

Gemeinsamer Punkt:
.......... a(1) = 1-r²/2 ……………... cos(1°)
.......... b(1) = Wurzel(1-a(1)²)… sin(1°)
.......... x(1) = b(1)/(1-a(1))…….. Sehnensteigung (1°) = sin/(1-cos)

In Zahlen:
.......... r …… = 0,0174532925199433
.......... a(1)… = 0,999847691290107
.......... b(1) …. = 0,0174526279351733


genäherte Sehnensteigung für 1°:

.......... x = b/(1-a) = 114,587195619957

Mit dieser genäherten Sehnensteigung für 1° (x = 114,587195619957)
kann man über

.......... a = (x²-1)/(x²+1) und
.......... b = 2x/(x²+1)


genäherte Anfangswerte festlegen.

Mit den Anfangswerten kann man schnell durch Additionstheorem und Verdopplung in einer
Excel-Tabelle die Kreispunktkoordinaten cos(30°) und sin(60°)herleiten.

Da in der Tabelle alle Folgewerte miteinander verknüpft sind,
braucht man den Anfangswert von x(1)= 114,587195619957000 bloß erhöhen/ vermindern,
bis cos(30°)=sin(60°) erfüllt ist (15 Nachkommastellen).

Endergebnis:

Die exaktere Sehnensteigung x für 1° ist 114,58865012931.


Somit sind alle Koordinaten einer Cosinus- Sinuskurve hergeleitet (15 Nachkommastellen),
ohne Verwendung der implementierten cos-sin-Funktion des PCs.

Was die Sache rund machen würde, wäre eine (reelle) f(x),
die regelmäßige Kreispunkte y in Anbhängigkeit von x liefert.

Ikk jloobe aba, ditt ditt nich jeht...

Gruß W2 (still calculating)...
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist eigentlich schonmal jemandem aufgefallen,
dass die Sinuskurve den Schatten einer Spirale darstellt.

Stellt euch eine etwas stabilere, durchsichtige, quadratische Folie vor,
mit den Kantenlängen von 2*Pi in cm.

Nun zeichnet man von unten links nach oben rechts eine Diagonale
und rollt die Folie danach so zusammen, dass sie eine Röhre bildet (Durchmesser = 2cm).

Nun stellt die aufgezeichnete Diagonale eine Spirale dar,
die in der Seitenansticht genau der Sinuskurve entspricht.

Ihre Gesamtlänge als Spirale beträgt Wurzel(2)*2Pi.
Die Länge der reinen Sinuskurve weiß ich nicht.

Diese Betrachtung hilft derzeit nichts, bei meiner (verbohrten) Suche nach einer f(x) für die Sinuskurve als Funktionsgraph.
Auch wenn ich weiß, dass diese Spiral-Linie von Geraden in regelmäßigen Abständen gekreuzt wird, die in der Draufsicht (auf die Röhre) meine Winkellinien wären.

(Interessant wäre lediglich für Physiker, ob eletromagnetische Schwingungen tatsächlich schwingen, oder in der hier beschriebenen Weise evtl. kreiseln.)

W2 .. calculating
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von W2
Ich untersuche, ob es mathematische Merkmale gibt, für eine frei gewählte Sehnensteigung,
an denen man erkennt, ob diese zu einem ganzzahligen Teiler von 90° gehört oder nicht.

An sich wurde diese Frage im alten Thread nahezu beantwortet, aber du hattest dich ja dazu entschieden, Anregungen nicht aufzunehmen. Versuchen wir es nochmal:



Kennzeichnet den Bogenwinkel, zu dem deine rote Sehne gehört, dann besteht die aus geometrischen Überlegungen gewonnene Beziehung



umgestellt , zumindest für jene negativen Steigungen wie in deinem Bild - wir sind ja in einem Koordinatensystem, wo man das Vorzeichen der Steigung nicht außer Acht lässt.

Und dann ist dieses genau dann eine "passende" Sehnensteigung, um nach einem Umlauf am Ausgangspunkt (1,0) anzukommen, wenn dieses ein ganzzahliger Teiler von ist, d.h.

.

Weiß nicht, welche kürzere Charakterisierung es da noch geben soll. Augenzwinkern
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

ich danke dir.

... ich bin nicht sicher wie deine Hilfe

Zitat:
.



... gemeint ist, denn wenn ich den zweiten Term
deiner Gleichung nach Regeln der Bruchrechnung umstelle/ vereinfache,
dann wird daraus wiederum der erste Term.

Umformung:




<=>


<=>


<=>


<=>


<=>

Ich bin nicht sicher, ob ich auf die Probe gestellt wurde,
oder ob du dich dankenswerterweise "in's Geschehen" gestürzt hast,
und dabei den Punkt der "mathematisch evidenten Selbstbeschreibung", übersehen hast.

... sollte das der Fall sein, dann "willkommen im Club",
... zumindest mir passiert das des Öfteren.

Ich hoffe dich versöhnt im Boot zu haben, trotz unserer Keilereien zu Beginn.
Falls dich der Beitrag eher marginal bis gar nicht interessiert, ... gecheckt.

Ich fühlte mich zu Beginn auf den Schlips getreten, es war mein erster Beitrag,
und so ergriff ich die Gelegenheit Epmfindsamkeiten zu testen. ;- ).

Wie gesagt, ich bin eher der Talsohlenmathematiker,
und es fehlt mir an mathematisch korrekter Semantik.

Der Beitrag ist wahrscheinlich nicht viel mehr, als "ein altes Rad neu zu erfinden",
ich bin bloß ausgestattet mit bildlichem Denken und ein wenig Logik.

PS:
Vorkommende orthografische Fehler sind eher Tippfehler.
Ich poste meist während der Arbeitszeit, möglichst unentdeckt,
... das bringt manchmal Hektik in's Spiel.

tbc

Gruß W2
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von W2
denn wenn ich den zweiten Term
deiner Gleichung nach Regeln der Bruchrechnung umstelle/ vereinfache,
dann wird daraus wiederum der erste Term.

Das sollte ja auch so sein, wenn man ein Gleichheitszeichen dazwischensetzt. Eigentlich wollte ich damit nur zwei mögliche Darstellungsformen ein- und desselben Ergebnisses angeben, du musst also nicht gleich wieder das Schlimmste ("auf die Probe stellen") denken. Augenzwinkern

Die zweite Darstellungsform hat nur ein drin statt zwei, das und nur das war der Grund, die auch mit anzugeben.

Das wesentliche an dieser Zeile war doch nicht die Gleichheit, sondern die Eigenschaft !!! Also nochmal, von der dich verwirrenden Umformung befreit:

Zitat:
Die negative Anfangssteigung führt dann und nur dann zu einer "Sehnenkette" entlang des Kreisumfangs, die nach einem Umlauf wieder auf den Anfangspunkt (1,0) trifft, wenn



gilt.
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

... hmm,

die Sehnenkette einer Unterteilung eines Vollkreises in 30°-Abschnitte
sollte nach 12 Winkeln wieder zum Ausgangspunkt führen.

30° entsprechen einer Steigung m = b/a von 0,5773503...
während die Sehnensteigung x = b/(1-a) = -3,7320508 beträgt.
(das entspricht einem Sehnenwinkel von 75° in Gradmaß).

Wenn ich nun die Sehnensteigung x=-3,7320508 in die Formel



einsetze, dann erhalte ich:

1,09090909090909000000 als Ergebnis: nicht

ich glaub' aber, ich weiß was du meinst...

Es ging mir -in meinen mathematischen Niederungen- auch darum,
Sinus- Cosinus (Tangenswerte) ohne die im PC dafür vorgegebenen Funktionen zu ermitteln,
insofern würde mir die vorgegebene Funktion arctan so oder so nichts nützen.

Es ging mir um eine eigene Formel, (wenn möglich eine (reelle) f(x).)

Da ich möglichst "wurzelfrei" vorgehen wollte,
machte ich alles von der besagten Sehnensteigung x abhängig.

Besser wäre wahrscheinschlich die Bezeichnung m(Sehne),
da sie die Steigung aus b/(1-a) darstellt (.. im Dreieck a²+b²=c² mit c=1).

Im Grunde ist alles vollbracht:

Die selbstgestrickte "Funktion" zur exakten Berechnung von Sinus/Cosinus ..-Werten besteht (Reihenberechnung mit Additionstheorem),

ebenso die 15-Nachkommastellen-genaue Berechnung der Anfangswerte a(1) b(1)
für 0,3515625° Grad (=360°/1024) ist vollbracht (per mathematischer Winkelhalbierung).


Es fehlten eben noch Erkenntnisse darüber:
Wie hängen Anfangs-Sehnensteigung x(1) und ein Vollkreis aus ganzzahliger Summe aller Anfangswinkel zusammen?

Bisherige Antwort:
Nur bei Anfangswinkeln, die in Summe einen Vollkreis bilden,
wiederholen sich Koordinatenwerte a, b (Absolutwerte), auf Grund symmetrischer Eigenschaften.

Daraus folgt:
Hat man einen genäherten Wert für einen Winkel dessen Koordinaten a, b sich schnell wiederholen (z.B. 30°),
so kann man die Anfangssteigung für 1° verringern oder erhöhen, bis die Koordinatenwerte sich gleichen.


Man erhält so auch für 1° eine sehr genaue Anfangssteigung x(1).

So, vorerst genug (wiederholend) erklärt, ich vermute das schreckt mal wieder eher ab.

Gruß W2
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

Halt stop,

deine Funktion



ergibt Werte , wenn der Teilwinkel sich zu 360° summieren lässt !

Setze ich x=-3,7320508 ein, dann erhalte ich -wie zu erwarten- 12 als Ergebnis.

Ein Fehler in meiner Excelberechnung (der letzte Schritt fehlte).

Aber so berechnet deine Formel x-Werte, anhand der implementierten arctan-Funktion.

Das wäre natürlich auch mit jeder anderen PC-Winkelfunktion möglich gewesen.

(x = b/(1-b) = sin/(1-cos))

In diesen Funktionen wird der Cordic-Algorythmus geschickt verwendet,
dieser ist bei der Suche nach einer (reellen) f(x) eher komplex, soweit ich ihn überhaupt verstanden habe.

Das gilt natürlich auch für das Additiontheorem in einer Iteration
Es ist allerdings anschaulicher.

später weiter...

Gruß W2
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach schwierigem Ringen, ob es überhaupt Zweck hat, doch noch eine Antwort von mir.

Zitat:
Original von W2
Halt stop,

deine Funktion



ergibt Werte , wenn der Teilwinkel sich zu 360° summieren lässt !

Setze ich x=-3,7320508 ein, dann erhalte ich -wie zu erwarten- 12 als Ergebnis.

Besser spät als nie, diese Einsicht.

Zitat:
Original von W2
Aber so berechnet deine Formel x-Werte, anhand der implementierten arctan-Funktion.

Nein: Diese Formel berechnet keine -Werte. Sie entscheidet bei gegebenen -Werten, ob diese in deinem Sinne passend sind - ganz exakt zugeschnitten auf deine obige Frage

Zitat:
Original von W2
Ich untersuche, ob es mathematische Merkmale gibt, für eine frei gewählte Sehnensteigung,
an denen man erkennt, ob diese zu einem ganzzahligen Teiler von 90° gehört oder nicht.


Im Gegensatz zu manch anderen verzettele ich mich nämlich nicht in dieses und jenes, sondern gehe punktgenau die Fragestellung an. Augenzwinkern

Zitat:
Original von W2
Das wäre natürlich auch mit jeder anderen PC-Winkelfunktion möglich gewesen.

Jetzt sage mal ganz konkret, was dieser hingeworfene Satz in Bezug auf



bedeuten soll. Das nachgeschobene "(x = b/(1-b) = sin/(1-cos))" ist in der Hinsicht auch nicht gerade erhellend, zumal die Argumente von sin/cos durch Abwesenheit glänzen.
W2 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, zur Korrektur, (diesmal von zu Hause ohne Arbeitshektik drumherum

Zitat:
Original von W2: Aber so berechnet deine Formel x-Werte, anhand der implementierten arctan-Funktion.


Hast recht , deine Formel berechnet nicht x,
sie überprüft mit arctan ob x zu einem ganz-zahligen Teiler von 360°gehört.

Der entscheidende Punkt für mich ist aber,
die PC-implementierten Rechenroutinen sin, cos, tan und ihre inversen nicht zu verwenden.

Ich befinde mich im Zahlen-Bereich von a, b, m (=b/a) und x (=b(1-a)).

Wollte ich mit gegebenen PC -Winkelfunktionen überprüfen,
ob x zu einem ganzzahligen Teiler führt, dann hätte ich das jederzeit bereits mit der kurzen Formel

2PI/arccos(a)

tun können.

{a=(x²-1)/(x+1)}

Ich könnte auf ganz kurzem Weg die Anfangs-Sehnensteigung x für 1° berechnen mit

x=sin(1°)/(1-cos(1°))

Entschuldige meinen unpräzisen Umgang in der Benennung welche Winkelfunktion wann eingesetzt wird.
Danke für deine Mühe, trotz des Kuddelmuddels.

ich wünsche schönes WE, und beginne nun meinen Abend, yeah

Gruß W2
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