Beweis Cauchy Kriterium

21.05.2013, 19:05

Theend9219

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Beweis Cauchy Kriterium

Guten Abend,

Weiß jemand wie man das Cauchy Kriterium für gleichmäßige Konvergenz beweist?

Es besagt:
Eine Folge $\begin{eqnarray*} (f_{n}) \end{eqnarray*}$ von Funktionen $\begin{eqnarray*} f_{n} : D \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig genau dann, wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \in n \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} \forall m,n >N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} ||f_{n}-f_{m}|| <\epsilon \end{eqnarray*}$

Idee:

$\begin{eqnarray*} ||f_{n}-f_{m}||\leq |f_{n}-f|+|f-f_{m}| \end{eqnarray*}$

Irgendwie soll das mit dem Grenzwert gehen?.. LG

21.05.2013, 22:59

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Wie habt ihr denn gleichmäßige Konvergenz definiert? Als Konvergenz in der Supremumsnorm?

21.05.2013, 23:07

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Hey Che Netzer,

als Konvergenz.

Ist die Folge $\begin{eqnarray*} (f_{n}) \end{eqnarray*}$ gleichmäßige konvergent, so gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ eine von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unabhängige, universelle Schranke $\begin{eqnarray*} N := N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ , sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} |f_{n}-f(x)| < \epsilon <br /> \forall n>N \end{eqnarray*}$
und alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f_{n} : D \rightarrow \mathbb K \end{eqnarray*}$

lg

21.05.2013, 23:11

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Ist dir bereits klar, dass das äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in D}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert=0 \end{eqnarray*}$
ist?

21.05.2013, 23:17

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Ne aber jetzt ... Danke

Und nun?

Ich dachte erst man beweist das mit Ausnutzung der Eigenschaft der Norm

21.05.2013, 23:20

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Naja, die eine Richtung ist jetzt nicht schwierig. Welche ist das?
Wenn du das noch nicht siehst: Welche Richtung der Äquivalenz zwischen Konvergenz und der Cauchy-Eigenschaft war denn für reelle Zahlenfolgen schon einfach zu beweisen?

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21.05.2013, 23:25

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium

Zitat:

Original von Che Netzer
Naja, die eine Richtung ist jetzt nicht schwierig. Welche ist das?
Wenn du das noch nicht siehst: Welche Richtung der Äquivalenz zwischen Konvergenz und der Cauchy-Eigenschaft war denn für reelle Zahlenfolgen schon einfach zu beweisen?

Ich schätze mal die Beschränktheit?

lg

21.05.2013, 23:27

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Halt der Vollständigkeit

21.05.2013, 23:29

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Beschränktheit und Vollständigkeit sind keine Richtungen einer Äquivalenz.

21.05.2013, 23:34

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Ich dachte Vollständigkeit in R heißt, dass für jede konvergente Folge reeller Zahlen der Grenzwert in R existiert. Und der Grenzwert jeder Cauchyfolge liegt auch in R.. Das ist doch äquivalent?

21.05.2013, 23:38

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Dann sieh dir mal den Begriff der Vollständigkeit etwas näher an und wiederhole bei der Gelegenheit kurz die Aussagen (konvergente Zahlenfolgen sind Cauchy-Folgen und umgekehrt) mit Beweis aus der Analysis 1.

21.05.2013, 23:47

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Vollständigkeit in R
Jede nach oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge von R hat ein Supremum in R.

Jede nach unten beschränkte, nicht-leere Teilmenge von R hat ein Infirmum

Konvergente Folge

Ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge, dann konvergiert $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

Jede Cauchy-Folge konvergiert in R.

Das sind wichtige Sätze ... erkennt man da einen Äquivalenz? Ich nur bei den letzten beiden.
lg

21.05.2013, 23:51

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Und genau für die letzten beiden Aussagen solltest du dir den Beweis ansehen? Welchen davon kannst du auf diese Aufgabe übertragen?

22.05.2013, 00:01

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ||f_{n}-f_{m}||\leq |f_{n}-f|+|f-f_{m}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||f_{n}-f_{m}||\leq |f_{n}-f|+|f-f_{m}|< \frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{eqnarray*}$

22.05.2013, 00:08

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
So in etwa.
Wenn du jetzt die Betragsstriche klärst und ein paar Worte zu deiner Ungleichungskette verlierst, hast du die eine Richtung.

22.05.2013, 09:30

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ||f_{n}-f_{m}||\leq |f_{n}-f|+|f-f_{m}|< \frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Guten Morgen,
nun kläre ich erst mal die Betragsstriche

$\begin{eqnarray*} |f_{n}-f_{m}|\leq |f_{n}-f|+|f-f_{m}|< \frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich hoffe die Betragsstriche sind jetzt richtig gesetzt
Dabei konvergiert $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$

22.05.2013, 15:46

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Und was ist der Betrag einer Funktion?

22.05.2013, 16:00

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Falls die Funktion positiv ist, kann der Betrag weggelassen werden.

LG

22.05.2013, 16:09

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium

Zitat:

Original von Che Netzer
Und was ist der Betrag einer Funktion?

22.05.2013, 16:16

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Der Betrag ordnet einer Zahl ihren Abstand von der Null zu.

22.05.2013, 16:17

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Ja, einer Zahl. Und was ist nun der Betrag einer Funktion?

22.05.2013, 16:22

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Der euklidische Abstand in metrischen Räumen oder sag ich mal lieber nur der abstand

22.05.2013, 16:25

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Der Betrag einer Funktion ist also "der Abstand"?
Was für ein Abstand?

22.05.2013, 16:32

Theend9219

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Ich weiß nicht mehr auf was du hinaus willst =(

22.05.2013, 16:59

Che Netzer

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RE: Beweis Cauchy Kriterium
Ganz einfach: Was verstehst du unter $\begin{eqnarray*} \lvert f_m-f_n\rvert \end{eqnarray*}$ ?
Was soll das sein? Gib eine Definition an.

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