Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden

24.02.2007, 20:45

The Bearclaw

Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden

Hallo,

ich stecke gerade in Klausur-vorbereitungen. Und im Moment komme ich beim Thema "Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden" gar nicht weiter.

Ich habe im Mathebuch zwar das Verfahren erklärt usw., jedoch wenn ich dies auf eine Übungsaufgabe anwende, kommt bei mir nie das richtige Ergebnis!

Kann mir jemand das mal vielleicht nochmal leicht erklären?

(Oder vielleicht findet einer meinen Fehler?!)

Die Übungs-Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass die Geraden g1 und g2 windschief sind und berechnen Sie ihren kürzesten Abstand und die Trägergerade dieses Abstands.

$\begin{eqnarray*} g1: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \sigma \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zum Beweis, dass die nicht windschief sind, habe ich zuerst gezeigt, dass sie nicht parallel sind (einfach $\begin{eqnarray*} \vec{u} \nparallel \vec{v} \end{eqnarray*}$ festgestellt... (lin. Unabhängigkeit) oder ist das zu simpel?)
Anschließend habe ich gezeigt, dass es keinen Schnittpunkt gibt mithilfe des Determinantenverfahrens
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -8 & 8 & -3 \\ 0 & 6 & -1 \\ 7 & -4 & 4 \end{vmatrix} = -90 \end{eqnarray*}$ (Hoffentlich richtig so!?) Dementsprechend muss also gelten, dass g1 und g2 windschief zueinander liegen.

Anschließend wollte ich den kürzesten Abstand berechnen mithilfe von $\begin{eqnarray*} F \in g1 \Rightarrow F (-4-3\sigma/1-\sigma/7+4\sigma) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} G \in g2 \Rightarrow G (4+8\tau/1+6\tau/-4\tau) \end{eqnarray*}$

Um Sigma und Tau zu ermitteln habe ich dann das Verfahren im Buch angewendet:

$\begin{eqnarray*} (g1 - g2)*\vec{u}=0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (g1 - g2)*\vec{v}=0 \end{eqnarray*}$

zuerst das Erste: $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix}+\sigma\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}-\tau\begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} ) * \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8-3\sigma-8\tau \\ -\sigma-6\tau \\ 7+4\sigma+4\tau \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 8\sigma+46\tau+52=0 \end{eqnarray*}$

und das Zweite: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8-3\sigma-8\tau \\ -\sigma-6\tau \\ 7+4\sigma+4\tau \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} 46\sigma+116\tau+92=0 \end{eqnarray*}$

Und da kommt der Hammer, der zeigt, dass ich von der Lösung abweiche:

$\begin{eqnarray*} \sigma=-\frac{58}{23}\tau -2 \end{eqnarray*}$
Eingesetzt in Eins kommt dann
$\begin{eqnarray*} \tau=-\frac{46}{33} \Rightarrow \sigma=\frac{50}{33} \end{eqnarray*}$
usw.
Bei der Lösung sind jedoch ganze Zahlen angegeben:

Lotfußpunkte $\begin{eqnarray*} F(2/3/-1); G(4/1/0) \end{eqnarray*}$
Trägergerade $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und $\begin{eqnarray*} d(g1,g2)=3_LE \end{eqnarray*}$
Hilfe! Forum Kloppe

24.02.2007, 21:22

riwe

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RE: Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden
ich mache es so: bestimme den auf beide geraden senkrechten vektor (mit dem vektorprodukt oder irgendwie), das gibt

$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix}2 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetzt löse man das lgs

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \sigma \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+\rho \begin{pmatrix}2 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die idee: der punkt P liegt auf g1, von dort geht es senkrecht ab zu g2, der schnittpunkt ist Q:

ich erhalte; $\begin{eqnarray*} \sigma = -2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tau = 0 \end{eqnarray*}$
damit kannst du nun P und Q ausrechnen und die gerade aufstellen.

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

werner

edit: tippfehler beim normalenvektor korrigiert

24.02.2007, 22:17

The Bearclaw

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RE: Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden

Zitat:

Original von wernerrin
ich mache es so: bestimme den auf beide geraden senkrechten vektor (mit dem vektorprodukt oder irgendwie), das gibt

$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix}2 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
[...]
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

werner

Wieso kommt da zuerst beim Nomalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix}2 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix}2 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (steht ja am Ende aufeinmal mit $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix}2 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )

Zufälligerweise habe ich nämlich beim Nachrechnen auch

$\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix}2 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
geschockt

€dit:
Bei der Probe kommt ja auch raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3 \\ -1\\ 4 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ smile

24.02.2007, 22:21

riwe

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RE: Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden

Zitat:

Original von The Bearclaw

Zitat:

€dit:
Bei der Probe kommt ja auch raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}-3 \\ -1\\ 4 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ smile

naheliegend: TIPPFEHLER
ich werde es oben korrigieren.
werner

24.02.2007, 22:24

The Bearclaw

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Okay, danke! Dann zum Glück kein Rechen- oder Logikfehler von meiner Seite! Hammer

Ich komm jetzt an einer Stelle nicht weiter:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \sigma \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}+\rho \begin{pmatrix}2 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die idee: der punkt P liegt auf g1, von dort geht es senkrecht ab zu g2, der schnittpunkt ist Q:

ich erhalte; $\begin{eqnarray*} \sigma = -2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tau = 0 \end{eqnarray*}$

Ich bekomme ganz andere Zahlen.... traurig

$\begin{eqnarray*} \tau = \frac{7}{44}; \sigma = \frac{45}{22} \end{eqnarray*}$

Bin total frustriert... unglücklich

25.02.2007, 10:45

The Bearclaw

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Zitat:

Mit welchem Verfahren kann man das am Besten lösen?

Alles mühsam nach den einzelnen Variablen $\begin{eqnarray*} \sigma \rho \tau \end{eqnarray*}$ auflösen, oder eher ein "Subtraktionsverfahren" (komme nicht auf den korrekten Begriff... da setzt man die Gleichungen untereinander (so wie z.B. hier) und subtrahiert das so, dass einzelne Variablen wegfallen...)
Oder was ist denn hier vernünftiger? Es ist immer so ein imaginäres "herumgezerre" an den vielen Variablen....

Hat jemand da einen Tip?!

25.02.2007, 11:07

riwe

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ich mache es immer zu fuß
das ist doch geschmackssache.
du meinst wahrscheinlich gauß.
oder cramer oder oder....
da du mir nix glaubst
mit excel nach cramer

werner

25.02.2007, 11:23

The Bearclaw

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Zitat:

Original von wernerrin
da du mir nix glaubst
mit excel nach cramer

werner

Hallo,

bitte meine Kritik weiter oben nicht übelnehmen. Mich hatte es nur verwundert, warum da für den n-Vektor 2 verschiedene Zahlen angegeben worden sind...

Und dass für Sigma -2 und für Tau 0 rauskommen muss habe ich auch nicht angezweifelt; sondern ich war verzweifelt, warum bei MEINER Rechnung so ein Mist rauskommt (--> Man gelangt nach vielen Rechnungen auf Seite 3 oder 4 und bekommt ein falsches Ergebnis... LOL Hammer

Das macht einen Wahnsinnig!)

Die Cramersche Regel sieht sehr interessant und leicht aus! Freude

Mal wieder etwas neues gelernt!

Nur dazu habe ich ne Frage! Wie ich sehe, wird am Anfang "Richtungsvektoren" der Geraden mit dem Determinantenverfahren errechnet. Aber bis jetzt kenne ich es nur, dass man am Ende nur eine einfache Zahl bekommt. Wie bekommt man dann den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Der ist ja schließlich, wie ich im attachment sehe, wichtig für die weitere Rechnung...

25.02.2007, 11:30

riwe

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das war doch nur ein späßchen eines alten mannes.
das darfst du doch nicht allzu wörtlich nehmen.

8 = 4 + 4
0 = 1 - 1
-7 = 0 - 7

ja das, = inhomogener teil des lgs, ist natürlich wichtig.
damit wird in der determinnte des homogenen systems jeweils eine spalte ersetzt.

werner

25.02.2007, 11:42

The Bearclaw

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Na, dann habe ich zum Glück (hoffentlich) keinen verärgert! Augenzwinkern

Und diese 44, -22 und 0 werden anschließend von der -22 am Anfang dividiert? (Sieht für mich zumindest so aus...)

Und... äh... ich glaube, da ist wieder ein Tipfehler im attachment?! da steht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aber es sollte doch sicherlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heißen, oder? verwirrt

25.02.2007, 11:53

riwe

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ja D = -22 ist die determinante des homogenen systems, anschließend wird jeweils eine spalte durch den vektor des inhomogenen systems ersetzt und die jeweilige determinante berechnet.
schau dir das an:
cramer

und da es in excel die funktion =MDET(...) gibt und COPY & PASTE,
ist die meiste arbeit nach der eingabe erledigt.
nur bin ich meistens zu faul und verrechne mich zuerst zu fuß. Big Laugh

werner

von verärgerung keine spur unglücklich

edit: ich habe dir ja gesagt, dass ich es zu fuß gerechnet habe.
und wie das leben so spielt, kamen trotz eingabefehler die richtigen werte raus, daher habe ich nix mehr kontrolliert, anbei die (hoffentlich) richtigen werte.

25.02.2007, 12:08

The Bearclaw

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€dit:
Ah, wurde ja zwischenzeitlich korrigiert... dann isses ja gut! Prost

Danke!

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