Topologie zu algebraischen Kurven

21.05.2013, 20:22

Mandelbrötchen

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Topologie zu algebraischen Kurven

Hallo zusammen,

gleich noch etwas, das sich mir nicht direkt erschließt.

Gegeben ist folgende Situation:

Es sei $\begin{eqnarray*} C \subset \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ eine ebene algebraische Kurve. Dann ist $\begin{eqnarray*} C-Sing(C) \end{eqnarray*}$ eine offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

Das soll direkt aus der Qutiententopologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}_2 \end{eqnarray*}$ folgen, ich bin mir aber nicht recht sicher wie genau.

Wäre super, wenn mir jemand einen Anstoß geben könnte.

Viele Grüße,
Mandelbrötchen

21.05.2013, 20:48

watcher

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Hallo,

was genau meinst du hier mit Quotiententopologie?
Was ist die zugrunde liegende Toplogie?
Die Zariskietopologie?

21.05.2013, 21:02

Mandelbrötchen

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Mit der Quotiententopologie meine ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb{C}^3-\{0\} \rightarrow \mathbb{P}_2, \quad (x_0,x_1,x_2) \mapsto (x_0:x_1:x_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb{P}_2 \end{eqnarray*}$ heißt dann offen, falls $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1}(U) \subset \mathbb{C}^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ offen.

Die zugrunde liegende Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ sollte dabei die übliche Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ sein.

21.05.2013, 21:07

watcher

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Zitat:

Die zugrunde liegende Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ sollte dabei die übliche Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ sein.

Was ist denn die übliche Topologie?

Da du von algebraischen Kurven sprichst ist die "übliche Topologie" die Zariskietopologie.

Also bitte informieren welche Topologie genau gemeint ist.

21.05.2013, 21:16

Mandelbrötchen

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Kann ich dir leider auch nicht sagen. Beziehe mich auf Kirwan "Complex Algebraic Curves" Definition 2.15, der an dieser Stelle auf Sutherland "Introduction to metric and topological spaces" S.68 verweist.

Beide sagen nicht, welche Topologie sie voraussetzen - leider.

21.05.2013, 22:25

Che Netzer

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Welche Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ benutzt wird, sollte klar sein: Die von der Standardtopologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ induzierte. Und die Standardtopologie wird z.B. durch die Norm definiert.

Jedenfalls kannst du natürlich äquivalenterweise zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{Sing}(C) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist. Das folgt aus der Stetigkeit (der Ableitung) von Polynomen.

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22.05.2013, 00:55

watcher

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Zitat:

Original von Che Netzer
Welche Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ benutzt wird, sollte klar sein: Die von der Standardtopologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ induzierte. Und die Standardtopologie wird z.B. durch die Norm definiert.

Woher nimmst du diese Klarheit?

Im Kontext algebraischer Kurven ist die Zariskie-Topologie die Standardtopologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb P^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die zugrunde liegende Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ sollte dabei die übliche Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ sein.

Die Abbildung ist nur der Standardisomorphismus zur Darstellung der projektiven Ebene.
Den Nachsatz interpretiere ich als reines Raten.

Und die behauptete Aussage gilt auch für die Zariskietopologie.

Das was auf deine Interpretation, Che Netzer, hindeutet ist dieser Name: "Introduction to metric and topological spaces" (Zariskie-Topologie ist nicht metrisch)

22.05.2013, 07:26

Che Netzer

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Mandelbrötchen hat doch gleich im ersten Beitrag geschrieben, dass die Quotiententopologie betrachtet wird.
Und da zur Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ nichts anderes gesagt wurde, dürfte das die Standardtopologie sein, zumal Mandelbrötchen ebenfalls von der üblichen Topologie sprach und bezüglich der auch in der Regel die Quotiententopologie gebildet wird.

22.05.2013, 08:20

ollie3

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hallo,@watcher
zariski schreibt man übrigens mit "i" und nicht mit "ie" am ende.
(das sei nur am rande bemerkt).
gruss ollie3

23.05.2013, 12:21

Mandelbrötchen

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Also ich denke auch, dass die von der üblichen Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3 \end{eqnarray*}$ induzierte Topologie gemeint war.

Die Zariski-Topologie wäre theoretisch auch möglich, wäre in diesem Fall aber wohl eine sehr ungute Wahl, da es um die Riemannsche Fläche zu einer ebenen algebraischen Kurve geht. Hier würde die Zariski-Topologie doch eher wenig Sinn machen, da sie ja i.A. nicht hausdorffsch ist.

Habe auch noch mal mit einer Professorin gesprochen und sie meinte, dass hier einfach die Teilraumtopologie für $\begin{eqnarray*} C \subset \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ gemeint ist, wobei $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ hier eben mit der Standardtopologie versehen ist. So ist es ja nicht mehr so tragisch sich zu überlesen, dass $\begin{eqnarray*} C-Sing(C) \subset C \end{eqnarray*}$ offen.

Sie war sich auch nicht so genau sicher, weswegen hier auf die Quotientenabbildung verwiesen wird.

23.05.2013, 19:52

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mandelbrötchen
Habe auch noch mal mit einer Professorin gesprochen und sie meinte, dass hier einfach die Teilraumtopologie für $\begin{eqnarray*} C \subset \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ gemeint ist

Aber $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ liegt doch nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

Hast du meinen ersten Beitrag hier gelesen?
Bilde den dreidimensionalen Vektor der Ableitungen des Polynoms. Dessen Nullstellenmenge ist aus Stetigkeitsgründen abgeschlossen (auch in der Menge der Nullstellen des Polynoms).
Damit ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{Sing}(C) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Sie war sich auch nicht so genau sicher, weswegen hier auf die Quotientenabbildung verwiesen wird.

Die Quotiententopologie ist nunmal die Standardtopologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C\mathrm P^2 \end{eqnarray*}$ , die man aus der Standardtopologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ erhält.
Wenn man dann eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb C\mathrm P^2 \end{eqnarray*}$ auf Offenheit/Abgeschlossenheit untersuchen, muss man überprüfen ob deren Urbild unter der Projektion von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3-\{0\} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C\mathrm P^2 \end{eqnarray*}$ offen/abgeschlossen ist.

Wofür ist sie denn Professorin? verwirrt

verwirrt

23.05.2013, 20:15

Mandelbrötchen

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RE: Topologie zu algebraischen Kurven

Zitat:

Original von Mandelbrötchen
Es sei $\begin{eqnarray*} C \subset \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ eine ebene algebraische Kurve. Dann ist $\begin{eqnarray*} C-Sing(C) \end{eqnarray*}$ eine offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

Doch doch, Ausgangssituation war, dass man das Nullstellengebilde $\begin{eqnarray*} V(f) \end{eqnarray*}$ eines Polynoms $\begin{eqnarray*} f \in \mathbb{C}[X,Y] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Wie kommst du darauf, dass die Kurve nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ liegt?

Genau deswegen hat mich ja der Verweis zur Quotiententopologie gewundert. Hätte ich eine Kurve in $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}_2(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ , dann wäre mir schon klar, weswegen man diese Topologie nutzt.

23.05.2013, 20:29

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mandelbrötchen
Kann ich dir leider auch nicht sagen. Beziehe mich auf Kirwan "Complex Algebraic Curves" Definition 2.15

Dann sieh dir mal Definition 2.24 an.

Oder hat das Buch doch nichts mit deiner Frage zu tun?
Woher kam denn die Behauptung aus dem Ursprungsbeitrag?

23.05.2013, 21:03

Mandelbrötchen

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Habe ich mir durchgelesen. Die Definition einer projektiven Kurve.

Die komplexe algebraische Kurve wird von Kirwan in Definition 2.1 eingeführt.

Ich beziehe mich bei meiner Frage auf das Buch und zwar auf den Beweis von Proposition 5.27.
Von dort kam auch die Aussage aus dem ursprünglichen Post.

23.05.2013, 21:22

Che Netzer

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Da kannst du die Bemerkung in Klammern streichen, die ergibt keinen Sinn.
Ich hatte das fälschlicherweise auf die Übertragung in diese Frage geschoben, aber das Problem liegt tatsächlich im Buch...

23.05.2013, 21:29

Mandelbrötchen

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Perfekt. Also war ich nicht ohne Grund verwirrt.

Danke für die Hilfe und die teils interessanten Vorschläge Freude

Freude

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