Funktion von 2 Variablen, partielle Ableitung

21.05.2013, 22:25

paggy

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Funktion von 2 Variablen, partielle Ableitung

Hallo !

Hätte mal wieder ein paar Fragen zu einem Beispiel, folgende Angabe:

Gegegen ist die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) = (0,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x^{2}\cdot y}{x^{4} + y^{2} } \end{eqnarray*}$ sonst

Zuerst ist gefragt ob f im Punkt (0,0) stetig ist.
Danach sollen die partiellen Ableitungen fx und fy in (0,0) bestimmt werden.

Gut also die erste Frage ist mir eig klar. Umschreiben in Polarkoordinaten usw. ergibt dann für lim r -->0 =0 somit stetig in (0,0).

Ganz grundsätzlich kann ich die partiellen Ableitungen auch noch ohne Probleme bestimmen. Aber jetzt die Frage: Muss ich jetzt auch noch prüfen ob die Ableitung in (0,0) stetig ist, oder muss ich noch irgendwie beweisen das die Ausgangsfunktion in (0,0) nicht nur stetig sondern auch differenzierbar ist ? (vergleichbar mit funktionen einer variable)

Ich habs jetzt mal so gemacht das ich die partiellen Ableitungen wieder in Polarkoordinaten umgeschrieben habe, dann r=0 gesetzt (muss ja gelten für (0,0) und dann kam halt irgendwas raus für fx und fy (aber immer was in Abhängigkeit von phi).

Blick da nicht ganz durch, danke schonmal für Hilfestellungen !

21.05.2013, 22:30

Che Netzer

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RE: Funktion von 2 Variablen, partielle Ableitung

Zitat:

Original von paggy
Gut also die erste Frage ist mir eig klar. Umschreiben in Polarkoordinaten usw. ergibt dann für lim r -->0 =0 somit stetig in (0,0).

Nein, die Funktion ist nicht stetig. Argumentiere lieber mit Folgen.

Zitat:

Aber jetzt die Frage: Muss ich jetzt auch noch prüfen ob die Ableitung in (0,0) stetig ist, oder muss ich noch irgendwie beweisen das die Ausgangsfunktion in (0,0) nicht nur stetig sondern auch differenzierbar ist ? (vergleichbar mit funktionen einer variable)

Solange das nicht verlangt wird, brauchst das auch nicht zu tun.
In der Aufgabenstellung steht ja nur, dass du die beiden partiellen Ableitungen im Nullpunkt bestimmen sollst, mehr nicht.

21.05.2013, 23:06

paggy

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danke mal für die antwort !

das über Folgen zu argumentieren trau ich mir nicht zu....^^

mich würd interessieren wo ich da falsch abgebogen bin bei der Stetigkeit:

also nach einsetzen von x = rcosphi und y = rsinphi, umformen und kürzen bleibt über:

$\begin{eqnarray*} \cos(\phi)^{2} \cdot \sin(\phi) \cdot \lim_{r \to 0} \frac{r}{r^{2}\cdot \cos(\phi)^{4} + \sin(\phi)^{2}} \end{eqnarray*}$ und dieser Limes ist doch 0 ?

21.05.2013, 23:10

Che Netzer

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Wieso sollte der denn Null sein?
Beachte, dass auch $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ variabel ist, nicht nur $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Der Weg über Folgen wäre hier tatsächlich der einfachste.

21.05.2013, 23:21

paggy

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hmm ich versteh das nicht ganz. In meinem Skriptum sind zwei beispiele dazu.

$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0} r^{2} \cdot \cos(2\phi)^{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Da für verschiedene Winkel nur ein Grenzwert existiert ist die Funktion in (0,0) stetig.

$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0} \cos(2\phi) = \cos(2\phi) \end{eqnarray*}$

Nicht stetig in (0,0), weil für verschiedene Winkel verschiedene Grenzwerte.

Trifft dann bei mir nicht der erste Fall zu ?

21.05.2013, 23:26

Che Netzer

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Die Gleichung hier ist vor allem falsch:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0} \cos(2\phi) = \cos(2\phi) \end{eqnarray*}$

Das gälte nur, wenn man sich linear der Null nähert. Andernfalls muss der Grenzwert gar nicht existieren!

Und nein, bei dir tritt nicht "der erste Fall" ein.
Wie würdest du denn begründen, dass der Grenzwert Null ist?

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21.05.2013, 23:32

paggy

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das steht aber 1:1 bei mir im skript traurig

traurig

mir ist sowieso nicht klar wie das unabhängig von phi nicht sowieso immer 0 wird, wenn r im zähler 0 wird ist doch egal was im nenner steht ? probleme würds geben wenn im nenner auch 0 sein würde...

21.05.2013, 23:34

Che Netzer

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Ja, und im Nenner kann $\begin{eqnarray*} \sin\phi \end{eqnarray*}$ auch gegen Null gehen.

21.05.2013, 23:38

paggy

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ok das geht mir ja ein, aber kann ich dann nicht irgendwie sagen es ist stetig außer für die werte von phi bei denen sinphi 0 wird ? Im Punkt 0,0 ist mein winkel phi ja völlig egal oder weil r ja 0 ist und ich somit immer 0,0 haben werd oder ?

21.05.2013, 23:40

Che Netzer

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Zitat:

Original von paggy
stetig außer für die werte von phi bei denen sinphi 0 wird ?

Was soll das denn werden? Entweder ist die Funktion stetig im Nullpunkt oder nicht.

Wie gesagt: Vergiss das mit den Polarkoordinaten und zeig die Unstetigkeit mittels Folgen. Danach wird dir vielleicht klarer, wieso die bisherige Argumentation nicht funktioniert.

21.05.2013, 23:48

paggy

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gut ich gebs auf^^

kannst du mir evlt eine Hilfestellung für die Folgen geben, weil so haben wir das nie gemacht...

21.05.2013, 23:52

Che Netzer

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Finde eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n)_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n)\to(0,0) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} f(x_n,y_n)\not\to f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Aber das Kriterium habt ihr doch sicher schon besprochen, oder?

22.05.2013, 00:03

paggy

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ja schon, haben auch ein bespiel dazu gemacht. werd mich mal dazusetzen, weil so ganz klar ist mir das nicht...

letzter versuch: kann ich nicht sagen die funktion ist unstetig eben genau weil es einen phi gibt für die sie nicht stetig ist ?

22.05.2013, 00:06

Che Netzer

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Zitat:

Original von paggy
letzter versuch: kann ich nicht sagen die funktion ist unstetig eben genau weil es einen phi gibt für die sie nicht stetig ist ?

Welches denn?
Überhaupt solltest du das etwas präziser formulieren...

22.05.2013, 00:21

paggy

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naja für phi =0, pi, 2pi....

was ich mit meinen beschränkten mathematischen fähigkeiten hier zum ausdruck bringen will ist das die funktion in (0,0) gar nicht stetig sein kann, eben weil es Werte für phi gibt bei denen ein nicht definierter Term (0/0) zustande kommt. Wobei, hier könnte ich doch mit l'hospital weiter machen oder ? oder geht das hier nicht ? wenn ja in welcher abhängigkeit müsste ich ableiten ? Eigentlich ja dann von r, weil ja ich mir ja den fall eines ganz bestimmten phi anschaue oder ?

ok zu viele fragen zu wenig ahnung, aber sowas haben echt nicht gemacht...

22.05.2013, 00:22

Che Netzer

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Wenn $\begin{eqnarray*} \sin\phi=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bereits Null...

Wie habt ihr denn bisher Stetigkeit widerlegt?

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