Verschoben! Analysis mit Verbindung zur Linearen Algebra (Gaußsches Eliminationsverfahren)

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alex130 Auf diesen Beitrag antworten »
Analysis mit Verbindung zur Linearen Algebra (Gaußsches Eliminationsverfahren)
Meine Frage:
Hallo zusammen smile
Ich muss bei folgender Aufgabe die ganzrationale Funktion 3. für die Gesamtkosten ermitteln.
Bei einer Produktionsmenge von 100 ME ergeben sich Gesamtkosten von 1608,4 GE, während bei einer Menge von 300 ME Gesamtkosten in Höhe von 2148,4 GE entstehen. Die variablen Stückkosten sind bei einer Produktionsmenge von 420 ME am geringsten und betragen dann 4,18 GE/ME. Es gilt 1ME=1.000KG, 1GE=10.000, (GE=Geldeinheiten, ME=Mengeneinheiten)

Meine Ideen:
Grundsätzlich müssen ja zunächst die Bedingungsgleichungen aufgestellt werden, dazu hab ich folgende Ideen:
F(x)=ax³+bx²+cx+d
K (100) =a100³+b100²+c100+d=1608,4
K (300) =a300³+b300²+c300+d=2148,4
K´(420)=a420³+b420²+c420+d=4,18
Ich weiß a) nicht ob das richtig ist und b) um da evtl. noch etwas fehlt. Ich hoffe ihr könnt mir beim Ansatz helfen. smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Gehört das nicht eher in die Schulmathematik?
smile

Edit (mY+): Deshalb *** verschoben ***

Wir haben eine Funktion 3. Grades und wie du bereits korrekt festgestellt hast, hat diese die Form



Somit haben wir 4 Variablen und benötigen dementsprechend 4 Bedingungen.

Deine erste und zweite Bedingung stimmen soweit.
Deine dritte ist falsch und die vierte fehlt erstmals.

Diese beiden stecken in diesem Satz:

Zitat:
Die variablen Stückkosten sind bei einer Produktionsmenge von 420 ME am geringsten und betragen dann 4,18 GE/ME.


Beachte, dass hier nicht länger von Gesamtkosten, sondern von Stückkosten die rede ist.
Wie lautet die zugehörige Stückkostenfunktion zu K(x)?
Des Weiteren beziehe dich darauf, dass hier die Stückkosten nicht nur 4,18 betragen, sondern sie auch am geringsten sind. Welche Information gewinnst du daraus?
alex130 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Stückkosten lautet doch S(x) = K(x) / x ??
Und die 3. Annahme ist dann K(420)=420³a+420²b+420c+d=1755,6 ?
Bei 420 ME sind die Produktionkosten/Stück am günstigsten. Die variablen Stückkosten gehen vor und nach diesem Punkt nach oben. Deshalb ist bei 420 auch ein Wendepunkt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein bei 420 ME ist kein Wendepunkt.
Der Wendepunkt hat ja immer was mit "extremer" Steigung zu tuen. Also einem Kostenanstieg. Bei Formulierungen wie:
"Minimum der Grenzkostenfunktion."
sollte man an einen Wendepunkt denken.

Viel mehr sind hier die Kosten am geringsten. Gesucht ist also nach einem Tiefpunkt.

Deine Formel für die Stückkosten ist korrekt.

Die dritte Annahme läuft darauf hinaus, dass

k(420)=4,18

ist. Hierbei ist k(x) die Stückkostenfunktion.
alex130 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Stückkostenfunktion ergibt sich ja wie oben genannt die 3. Annahme, K(420)=420³a+420²b+420c+d=1755,6.
Das Problem ist, dass mir für das lösen mit Gauß eine 4. Annahme fehlt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt suchen wir für unsere vierte Bedingung nach einem Tiefpunkt.
Was gilt für einen Tiefpunkt?

Zitat:
Aus der Stückkostenfunktion ergibt sich ja wie oben genannt die 3. Annahme, K(420)=420³a+420²b+420c+d=1755,6.


Das wäre zwar richtig, aber ich fände es angenehmer die Form

k(420)=4,18

zu verwenden, wie oben bereits erwähnt.
Diese Bedingung liegt sicherlich auch im Sinne des Aufgabenstellers.

Das LGS ist ohnehin schon mehr als ekelig. Da sollte man die Koeffizienten nicht noch weiter erhöhen.
 
 
alex130 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke ich komme so weiter! Vielen Dank! smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet den deine letzte Bedingung?
smile
alex130 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der Ableitung, der 0-Setzung und der Quotientenregel müsste sie lauten:
S(x)=4,18 / x²
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hier um die Bedingung. Des Weiteren kann ich nicht ganz nachvollziehen warum du diese Rechnung aufgeführt hast.
alex130 Auf diesen Beitrag antworten »

Für einen Tiefpunkt bzw. einen Hochpunkt braucht man ja die 2. Ableitung. Wenn ich nun k(420)=4,18 ableite kommt
k´´(420)=0 raus, oder? Ist dies dann die 4. Bedingung?
alex130 Auf diesen Beitrag antworten »

Das eben war falsch, einfach ignorieren..
Man muss die 1. Ableitung 0 setzen und das Ergebnis oder die Ergebnisse in die 2. Ableitung einsetzen und gucken ob es ein Hp oder Tp ist. Aber wenn ich die 1. Ableitung von k(420)=4,18 bilde, lautet diese ja schon k´(420)=0 ...
alex130 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun endlich die Bedingungsgleichungen aufstellen können. Da es ja 2 Funktionen gibt:
Kostenfunktion: K(x)=ax³+bx²+cx+d
variable Stückkostenfunktion: kvar(x)=ax²+bx+c

Demnach sind dies nun die Gleichungen:
K(100)=1608,4
K(300)=2148,4
k´var(420)=0
kvar(420)=4,18

Danke nochmals smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hier jedoch um die Stückkostenfunktion und nicht die variablen Stückkosten. Dies ist ein Unterschied.

Ja, die erste Ableitung muss gleich Null gesetzt werden, aber eben von der Stückkostenfunktion.



Für die Stückkostenfunktion k(x) gilt dann



was du ja oben auch schon so geschrieben hattest.

Die Bedingungen lauten also:

K(100)=1608,4
K(300)=2148,4
k '(420)=0
k(420)=4,18

Bilde nun also k(x) und die Ableitung k '(x)

smile

Zitat:
Man muss die 1. Ableitung 0 setzen und das Ergebnis oder die Ergebnisse in die 2. Ableitung einsetzen und gucken ob es ein Hp oder Tp ist.


In die zweite Ableitung musst du nicht einsetzen um zu gucken ob es ein Hoch oder Tiefpunkt ist. Dies wäre ja auch ohnehin eine Ungleichung. Daraus würdest du keine Information für das spätere Gleichungssystem gewinnen.
Hier besteht der Unterschied zwischen notwendiger und hinreichender Bedingung.
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