Näherung von oben / unten an eine Asymptote

22.05.2013, 00:30

Ascareth

Näherung von oben / unten an eine Asymptote

Hallo,

ich habe hier folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} g_{2} (x) = \frac{2 x^2 + 6 x + 3}{x + 3} \end{eqnarray*}$

Für x gegen unendlich habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} g_{2}(x)=2 x \end{eqnarray*}$

Meine Asymptote ist also y = 2x.

Frage jetzt nur: Wie kann ich feststellen, ob sich die Funktion g2(x) von oben, oder von unten der Asymptoten nähert?

Gruß, Asca

22.05.2013, 01:03

Dopap

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g ist nach Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} g(x)=2x+\frac {3}{x+3} \end{eqnarray*}$

d.h das Vorzeichen von x+3 entscheidet ob g(x)>2x ist.

22.05.2013, 01:04

original

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RE: Näherung von oben / unten an eine Asymptote

Zitat:

Original von Ascareth

$\begin{eqnarray*} g_{2} (x) = \frac{2 x^2 + 6 x + 3}{x + 3} \end{eqnarray*}$

Meine Asymptote ist also y = 2x.

Wie kann ich feststellen, ob sich die Funktion von oben, oder von unten der Asymptoten nähert?

$\begin{eqnarray*} g_{2} (x) = \frac{2 x^2 + 6 x + 3}{x + 3} = 2x + \frac{3}{x+3} \end{eqnarray*}$

je nach dem, wie du das Bild betrachtest:

deine Funktion schleicht sich sozusagen sowohl als auch
an die Asymptote ran
(die Bildkurve hat ja zwei "Äste" ..) Wink

23.05.2013, 13:18

Ascareth

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Definition: f(x) = Z(x) / N(x)

1. also, wenn ich das richtig verstehe, heisst das, dass für Fälle in denen N(x) < Z(x) (Nennerpolynom < Zählerpolynom)
ist, erst einmal durch Polynomdivision der rationale Teil vom gebrochen rationalen Teil (rest) getrennt werden muss.

Definition: f(x) = rational(x) + rest(x)

2. bestimmt dann das Vorzeichen von N(x) darüber, ob die Funktion f(x) größer / kleiner rational(x) ist. Ist also N(x) > 0, dann ist f(x) > rational(x) und ist N(x) < 0, dann ist f(x) < rational(x).

Stimmt das so?

23.05.2013, 16:02

Ascareth

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Ich will da noch mal eben kurz nachhaken. Bin grad etwas unter Zeitdruck Augenzwinkern

. Ich würde die Aufgaben gern endlich absclhießen.

Kann mir jemand sagen, ob das so richtig ist?

23.05.2013, 16:27

HAL 9000

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Es geht nicht um $\begin{eqnarray*} N(x)>0 \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} \operatorname{rest}(x)>0 \end{eqnarray*}$ - das entscheidet doch nicht allein der Nenner! Nehmen wir

$\begin{eqnarray*} g_3(x) = \frac{2 x^2 + 6 x - 3}{x + 3} = 2x - \frac{3}{x+3} \end{eqnarray*}$ ,

dort verläuft $\begin{eqnarray*} g_3(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to \infty \end{eqnarray*}$ demnach unterhalb der Asymptote "trotz" $\begin{eqnarray*} N(x)=x+3>0 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Und rational(x) steht wohl bei dir für ganzrational(x), denn rational ist ja auch schon die Ausgangsfunktion. Augenzwinkern

23.05.2013, 17:53

Ascareth

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Zitat:

Original von HAL 9000
P.S.: Und rational(x) steht wohl bei dir für ganzrational(x), denn rational ist ja auch schon die Ausgangsfunktion. Augenzwinkern

Genau so meinte ich das.

Jetzt wäre nur noch die Sache, dass auch halbwegs anständig zu untersuchen. Ich stelle mir das etwa so vor:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x³}{x² - 4} = \frac{2x³}{(x-2)(x+2)} \end{eqnarray*}$

Definitionsmenge also D = IR \ {-2 ; 2} (IR = reele Zahlen)

Polynomdivision ergibt dann:

(2x³) : (x² - 4) = 2x + 8x / (x² - 4) also nochmal in schön: $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x + \frac{8x}{x² - 4} \end{eqnarray*}$
-(2x³ - 8x)
--------------
0 + 8x

Untersuchung von rest(x) dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to + \infty} rest(x)= \frac{8x}{x² - 4} = ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} rest(x)= \frac{8x}{x² - 4} = ... \end{eqnarray*}$ und dann?

24.05.2013, 09:27

Ascareth

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Ich habe noch einmal darüber nachgedacht. Das müsste man eigentlich so sagen können (obwohl ich mir bei dieser ganzen Grenzwertnotation immer etwas unsicher bin, so lange es sich nicht um den DQ handelt):

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to + \infty} rest(x)= \frac{8x}{x² - 4} = \frac{8}{x} = + 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} rest(x)= \frac{8x}{x² - 4} = \frac{8}{x} = - 0 \end{eqnarray*}$

Also für 2x + 0 (wobei ja 0 eigentlich nie wirklich 0 ist, sondern sich die Funktion lediglich beliebig nah an die 0 annähert) muss das Ergebnis dann > 2x sein.

Und für 2x - 0 muss das Ergebnis dann < 2x sein.

Richtig?

25.05.2013, 05:41

Dopap

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das ist so ganz einsichtig, nur die Schreibfigur :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} rest(x)= \frac{8x}{x² - 4} = \frac{8}{x} = - 0 \end{eqnarray*}$

ist Murks.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty} \left( rest(x)\right) = \lim_{x \to - \infty} \left( \frac{8x}{x² - 4}\right) = \lim_{x \to - \infty}\left( \frac{8}{x - \tfrac 4 x}\right )=-0 \end{eqnarray*}$

sieht besser aus.

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