Kartesisches Produkt Vektorraum=

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22.05.2013, 00:36	LeonardderKobold	Auf diesen Beitrag antworten »
Kartesisches Produkt Vektorraum= Wie kann ich überprüfen, ob die folgende Menge ein Vektorraum ist? $\begin{eqnarray} Z\times Z\times Z \end{eqnarray}$ (Mit Z sind die ganzen Zahlen gemeint!) Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen, ob z.b. ein inverses existiert. Wie geh ich hier ,,gedanklich" ran? Kann ich irgendwie mit einem leichtem Beispiel die Axiome testen? Und wenn ja, was muss dieses Beispiel erfüllen. Reicht das wenn ich Z z.b. nur jeweils als eine Zahl wähle und das gilt dann auch gleich für alle Z?
22.05.2013, 00:56	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, jeder Vektorraum hat einen Grundkörper. Was soll der hier sein? Was ist die Skalarmultiplikation, was die Vektoraddition auf diesem "Vektorraum"?
22.05.2013, 01:07	Arbmosal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kartesisches Produkt Vektorraum= Wenn man k-Vektorräume V und W hat und VxW schreibt, dann schwingt folgende Konvention quasi mit (meistens wird das irgendwann mal erwähnt und danach weg gelassen): Die Skalarmultiplikation und Addition werden komponentenweise ausgeführt. also formaler so $\begin{eqnarray} \cdot: k \times (V\times W)&\rightarrow V\times W\\<br /> (\lambda, (v,w))&\mapsto (\lambda v, \lambda w) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> +: (V\times W) \times (V\times W)\rightarrow &V\times W\\<br /> ((v_1,w_1), (v_2,w_2))\mapsto &(v_1+ v_2, w_1+ w_2)<br /> \end{eqnarray}$ Übrigens würde man hier, normalerweise eher von einem Modul als von einem Vektorraum sprechen, da es um die ganzen Zahlen geht und die ja kein Körper sind du musst prüfen, dass jedes Element ein ADDITIVES Inverses in der Menge hat (ein "negatives") und dass ganze Vielfache jedes Elements auch in der Menge liegt. Die Elemente sind dabei alle Tripel von ganzen Zahlen, mit obiger Addition und Multiplikation. Wie immer bei Vektorräumen musst du aufpassen, dass man nicht einfach 2 Elemente des Vektorraums multiplizieren kann (hier also sowas wie (a,b,c)*(d,e,f) nicht gehen würde), sondern dass du nur alle drei Zahlen des Tripels mit ein und der selben multiplizieren darfst Gruß
22.05.2013, 01:39	LeonardderKobold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey danke für die lieben Antworten. Ich habe hierzu folgendes gefunden: Sind $\begin{eqnarray} V_{1} , V_{2} \end{eqnarray}$ Vektorräume, so ist das kartesische Produkt $\begin{eqnarray} V_{1} \times V_{2}=\left\{ (v_{1},v_{2})\| v_{1}\in V_{1}, v_{2}\in V_{2} \right\} \end{eqnarray}$ bezüglich der komponentenweise Definition $\begin{eqnarray} (v_{1},v_{2})+(w_{1},w_{2}) =(v_{1}+ w_{1},v_{2}+w_{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(v_{1},v_{2})=(a v_{1},av_{2}) \end{eqnarray}$ von Addition und Multiplikation mit Skalaren wieder ein Vektorraum. Das ist dasselbe was Arbmosal genannt hatte. Das bedeutet, da die ganzen Zahlen ein Vektorraum sind (Abelsche Gruppe + Skalarmultiplikation - Ganze Zahlen verträglich mit den Vektorraumaxiomen), so sind auch die kartesischen Produkte der ganzen Zahlen, nach dieser Definition ein Vektorraum. Den Beweis muss ich mir nochmal genauer anschauen. Stimmt das aber erst einmal?
22.05.2013, 01:54	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die entscheidende Frage, über welchem Körper Z ein VR sein soll, hast du immernoch nicht beantwortet. Mit fällt aber gerade keiner ein, mit dem es ein VR wird.
22.05.2013, 02:05	LeonardderKobold	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei der Überschirft der Aufgabe ist noch folgendes angegeben wurden: ,,Sind die folgenden Teilmengen von IR^3, IR-Vektorräume?" Jetzt würde mich zusätzlich interessieren ob für die Skalare ganze Zahle erlaubt sind oder Reelle auch?
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22.05.2013, 02:09	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn da IR-VR steht, sind nat. alle reelle Zahlen zugelassen. Offensichtlich bildet aber Z keinen VR über den reellen Zahlen.
22.05.2013, 02:12	LeonardderKobold	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir bitte sagen weshalb? Also an einem Beispiel? Ich glaube ich verstehe das etwas falsch.
22.05.2013, 02:15	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll denn zB 0.5*1 sein (Skalar mal Vektor)?
22.05.2013, 02:18	LeonardderKobold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung ist keine ganze Zahl. Sie ist Reell. Also mir ging es eher drum, wie soll ich das sagen... in welche Menge ebend die Teilmenge sein darf! In IR oder IZ ?
22.05.2013, 02:22	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe überhaupt keine Ahnung, was du damit sagen willst. Nochmal zu meiner Frage: für eine Vektorraumstruktur muss doch eben die skalare Multiikation so definiert sein, dass eben Skalar mal Vektor wieder einen Vektor liefert. Da das hier nicht möglich ist, ist Z kein R-VR.
22.05.2013, 02:24	LeonardderKobold	Auf diesen Beitrag antworten »
0.5*1 ist 0,5. Warum ist das hier kein Vektor ?
22.05.2013, 02:28	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du willst doch überprüfen, ob Z ein Vektorraum ist. Natürlich sind aber, falls das so wäre alle Vektoren in diesem Vektorraum ganze Zahlen.
22.05.2013, 02:36	LeonardderKobold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt versteh ich es mehr oder weniger. Aber ist es den kein Vektorraum? Den wenn ich z.B. 0,51 (Körper(Skalar)Vektor) rechne, dann ist das Ergebnis doch reell. Und es handelt sich doch hierbei um einen IR-Vektorraum.
22.05.2013, 02:45	Nofeyks	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir schwer Sachen erklären, wenn du die Begriffe noch nicht beherrschst. Das es ein IR Vektorraum sein soll, heißt nur, dass der Körper, aus dem die Skalare kommen der Körper der reellen Zahlen ist. Wäre nun Z ein IR Vektorraum, so müsstest du eine Multiplikation RxZ -> Z definieren können. Das bedeutet, reelle Zahl mal ganze Zahl = ganze Zahl. Und das für alle Möglichen Kombinationen der Argumente. Diese Multiplikation muss nichtmal mit der, de man kennt, übereinstimmen, sie muss nur gewisse Axiome erfüllen, die festgelegt sind. Der Teufel steckt im Detail(dem Werteberech der Multiplikationsabbildung). Dass dieser Wertebereich so und genau so aussieht, entnimmst du bitte der Definition des Vektorraums(nicht speziell, sondern der allgemeinen)
22.05.2013, 02:47	LeonardderKobold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir die Definition noch einmal angeschaut und die sagt, dass K Kartesissches Produkt V -> V (Skalarmultiplikation) gelten muss. Und weil bei uns K die reellen Zahlen sind und V die vorgegebene Teilmenge, muss die Skalarmultiplikation der vorgegebenen Teilmenge (Ganze Zahlen) mit der Skalarmultiplikation (Reelle Zahlen) eine Ganze Zahl bilden. Das ist aber nicht möglich und folglich ist die Menge der kartesisches Produkte von IZ kein Vektorraum. Ich hab es verstanden! Vielen dank. Ich bin mir sehr sicher, dass dies jetzt richtig sein muss.

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