Kubische Splines

22.05.2013, 14:24

Theend9219

Kubische Splines

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma,\delta \end{eqnarray*}$ so, dass die Funktion

$\begin{eqnarray*} s(x)=\left\{\begin{array}{ll} (x+1)^{4} +\alpha(x-1)^{4} + 1 & x\in [-1,0] \\ -x^{3}-8\alpha x+\gamma & x\in (0,1] \\ \beta x^3 +\delta x^{2} +14x-1 & x \in (1,2] \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Ein kubischer Spline bezüglich der Stützstellen $\begin{eqnarray*} x_{i} = i-1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i = 0,1,2,3 \end{eqnarray*}$ ist.
Handelt es sich um einen natürlichen Spline?

Die Stützstellen sind ja offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} x_{0} = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3} = 2 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?? Ich habe gelesen ich benötige die Ableitung von s(x) und setze dann irgendwie die Stützstellen ein, die im jeweiligen Intervall zulässig seien? .. Stimmt das? Wenn ich nun die Ableitung bilde, was stelle ich mit dem alpha an? Stecke ich es einfach dort mit hinein?
z.B bei: $\begin{eqnarray*} (x+1)^{4} +\alpha(x-1)^{4} + 1 \end{eqnarray*}$

Da wäre meine Ableitung: $\begin{eqnarray*} s'(x) = 4(x+1)^{3} + 4(x-1)^3 = 8x^3+24x \end{eqnarray*}$
Zulässige Stützstellen im Intervall wären $\begin{eqnarray*} x_{0} = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Dann erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 8(0)^3+24(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 8(-1)^3+24(-1)=-32 \end{eqnarray*}$
das heißt:
$\begin{eqnarray*} x_{0} = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) = -32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{1}) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe nun das für die 2 anderen Funktionen auch gemacht und erhalte:

$\begin{eqnarray*} x_{2} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{2}) = -11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3} = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{3}) = 28 \end{eqnarray*}$

Nachtrag: Ein natürlicher Spline besagt ja, das $\begin{eqnarray*} f''(x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ sowie auch $\begin{eqnarray*} f''(x_{n}) = 0 \end{eqnarray*}$ also das die zweite Ableitung 0 sein muss.

Oder ich muss es mit $\begin{eqnarray*} \alpha , ..., \delta \end{eqnarray*}$ machen. Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} s(x)=\left\{\begin{array}{ll} (x+1)^{4} +\alpha(x-1)^{4} + 1 & x\in [-1,0] \\ -x^{3}-8\alpha x+\gamma & x\in (0,1] \\ \beta x^3 +\delta x^{2} +14x-1 & x \in (1,2] \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 4(x+1)^{3} + 4\alpha (x-1)^{3} & x\in [-1,0] \\ -3x^{2} -8 \alpha & x\in (0,1] \\ 3 \beta x^{2} + 2\delta x +14 & x \in (1,2] \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s''(x)=\left\{\begin{array}{ll} 12(x+1)^{2} + 12\alpha (x-1)^{2} & x\in [-1,0] \\ -6x \alpha & x\in (0,1] \\ 6 \beta x + 2\delta & x \in (1,2] \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

und nun?
Lg

23.05.2013, 09:57

Steffen Bühler

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