Kubische Splines

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Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
Kubische Splines
Bestimmen Sie so, dass die Funktion





Ein kubischer Spline bezüglich der Stützstellen für ist.
Handelt es sich um einen natürlichen Spline?

Die Stützstellen sind ja offensichtlich:






Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?? Ich habe gelesen ich benötige die Ableitung von s(x) und setze dann irgendwie die Stützstellen ein, die im jeweiligen Intervall zulässig seien? .. Stimmt das? Wenn ich nun die Ableitung bilde, was stelle ich mit dem alpha an? Stecke ich es einfach dort mit hinein?
z.B bei:

Da wäre meine Ableitung:
Zulässige Stützstellen im Intervall wären und wegen . Dann erhalte ich:
und
das heißt:
und
und

Ich habe nun das für die 2 anderen Funktionen auch gemacht und erhalte:

und
und

Nachtrag: Ein natürlicher Spline besagt ja, das sowie auch also das die zweite Ableitung 0 sein muss.

Oder ich muss es mit machen. Dann habe ich:









und nun?
Lg
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
Der letzte Ansatz stimmt. Nun muss an den Stellen x1 und x2 ja gelten, dass der Funktionswert und die Steigung der jeweils angrenzenden Funktionen gleich sind. Damit sollte sich ein Gleichungssystem ergeben, das die vier Parameter bestimmen lässt.

Viele Grüße
Steffen
 
 
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
Danke für deine Antwort .Und wie mache ich das ??

Lg
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
An der Stelle x=x1=0 muss zum Beispiel gelten



sowie



Damit sollten sich und bestimmen lassen.

Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Theend9219

Nur eine kleine Korrektur: In der zweiten Zeile bei muss statt stehen.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank ihr beiden Augenzwinkern

Ich erhalte:


und

Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast Du das gerechnet? Setze x=0 in die Gleichungen ein, die ich Dir gegeben habe, dann sollten sich absolute Werte für und ergeben und nicht etwas, was von x abhängig ist.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,
dann erhalte ich:



Und nun?

Wie kommst du überhaupt auf die
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wenn ich x=0 in



sowie



einsetze, erhalte ich



sowie



Was ergibt sich dann für und ?

Und wie ich auf komme? Nun, das ist doch s(x), wenn ich auf die Stelle 0 von rechts zugehe. Die Funktionswerte müssen gleich sein, sonst gibt es ja eine Sprungstelle. Genauso müssen auch die Ableitungen gleich sein, sonst gibt es einen Knick.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Also, wenn ich x=0 in



sowie



einsetze, erhalte ich



sowie




Aber das ist doch gerade und
Upps die gesamte Gleichung .. Entschuldigung ich denke noch einmal nach

Zitat:

Und wie ich auf komme? Nun, das ist doch s(x), wenn ich auf die Stelle 0 von rechts zugehe. Die Funktionswerte müssen gleich sein, sonst gibt es ja eine Sprungstelle. Genauso müssen auch die Ableitungen gleich sein, sonst gibt es einen Knick.


Okay alles klar Danke
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erhalte für und
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Für ergibt sich -1, das ist richtig. Aber das in



eingesetzt, ergibt etwas anderes für .

Beachte:

Viele Grüße
Steffen
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

und nun?

LG Theend9219
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast Du schon mal die Hälfte gelöst:



Siehst Du, wie die beiden Funktionen bei x=0 schön ineinander übergehen?

Gut, jetzt die andere Übergangsstelle bei x=1. Was bekommst Du für und heraus?

Viele Grüße
Steffen
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort .
Für x=1 gilt ja


Und

Muss ich die jetzt auch gleichsetzen um die beiden unbekannten zu ermitteln ??
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das läuft ganz genauso. Die beiden Funktionen links und rechts von x=1 müssen dieselbe Steigung und denselben Wert haben.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erhalte ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Du müsstest Zahlen erhalten, nicht so eine Gleichung.

Vielleicht noch mal: Du hast bei x=1 eine "linke" Funktion



und eine "rechte" Funktion



Diese Funktionen müssen, wenn Du x=1 einsetzt, zunächst denselben Wert ergeben, damit der Graph nicht "springt".

Und wenn Du die beiden Funktionen ableitest und x=1 einsetzt, muss auch da der Wert gleich sein, damit der Graph nicht "knickt". So bekommst Du die benötigen Werte für und heraus.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke .,
Wenn ich das ableite erhalte ich

und

Falls nun x =1 erhalte ich



Und
.. Da Krieg ich doch aber nichts ..
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder muss ich nun das Gls erstellen




Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Theend9219
und


Richtig.

Zitat:
Original von Theend9219
Falls nun x =1


setzt Du die beiden Ableitungen gleich und erhältst

Jetzt noch dasselbe für die Funktionen selber, und Du hast's.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »



?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Gamma hast Du schon berechnet, das kann nicht auf einmal einen anderen Wert haben.

Mach's mal bitte ganz langsam, wie vorhin bei x=0. Sonst kommen wir hier nie zum Ende.

Schreib die beiden Funktionen hin.

Setz x=1 ein.

Schreib die beiden Terme hin und setz sie gleich.

Schreib die beiden Ableitungen hin.

Setz x=1 ein.

Schreib die beiden Terme hin und setz sie gleich.

Jetzt hast Du zwei Gleichungen mit den Unbekannten beta und delta.

Was bekommst Du raus?
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte mit Gamma Delta

Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, so langsam kommen wir wieder zusammen.

Die -19 stimmt nicht, schau noch mal genau hin. Sonst passt's. Was bekommst Du raus?
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh stimmt =-18

Also Beta = 27
Und
Delta = -45
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider immer noch nicht.



Und nun die bekannten Werte einsetzen. ...
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »



-19 = ...
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Konzentration!

Wie groß ist ?

Wie groß ist ?
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung ich habe mit falschen Werten gerechnet.....


und

Daraus folgt also







daraus folgt also



Und
und
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, und auch hier ergibt sich für x=1 ein schöner Übergang:



Gut, das war's. Jetzt bleibt noch die Frage nach dem natürlichen Spline, aber die kriegst Du hin, oder?

Viele Grüße
Steffen
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
Naja natürlicher Spline heißt ja das die zweite Ableitung der Funktion an all den Stützstellen 0 sein muss , oder?

z.B




oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
Nur an den Rändern soll für einen natürlichen Spline die Krümmung Null sein, sonst ist's egal. Die eine ist schon mal nicht Null, wie Du berechnet hast (allerdings auch nicht 48, sondern...) Wie groß ist die andere?
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
oh ..

Ich habs heute nicht so mit dem ausmultiplizieren..
Die ist -48.

und die andere
für




für




für




So?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
Nein, nicht so.

Du hast ja drei Funktionen, eine "linke", eine "mittlere" und eine "rechte", die zusammen den Spline bilden.

Nun willst Du die Krümmung am linken und rechten Rand anschauen. Nur diese beiden sind ja von Interesse, wie gesagt.

Also setzt Du x0 in die zweite Ableitung der "linken" Funktion und erhältst in der Tat -48. Damit kannst Du eigentlich auch schon aufhören, denn damit ist es kein natürlicher Spline mehr.

Vollständigkeitshalber kannst Du aber noch den rechten Rand anschauen, aber da musst Du eben die "rechte" Funktion nehmen.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
Ah danke! ... verstanden ..
.
Also

das wäre ja


Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
Nein, nicht an der Stelle x=0. Der rechte Rand des Splines liegt bei x=...
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
bei ?
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines


aber da hattest du ja schon geschrieben .. nein nicht so
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Splines
Eben, weil Du ja die "rechte" Funktion verwenden sollst. Aber eben in der Tat mit
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