Lineare abhängigkeit über Determinante nicht ratsam? |
| 22.05.2013, 21:11 | LeonardderKobold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Lineare abhängigkeit über Determinante nicht ratsam? Bei dem LGS kommt folgendes Ergebnis heraus: x=lambda y=lambda z=lambda Meine Frage: 1) Sind die Vektoren für alle lambda element IR^3 linear abhängig oder muss ich sagen, diese sind nur linear abhängig sind wenn lambda ungleich null ist, denn es soll ja nicht die triviale lösung sein, welche die lineare unabhängigkeit beschreibt? 2) Kann es sein das die Determinantenuntersuchung hier z.B. keine korrekte Antwort gibt ? Den das Ergebnis ist hier von der Determinante Null, das sollte nach Definition implizieren, dass die Teilmänge linearabhängig ist, aber wenn man meine Frage 1 berücksichtigt, gilt das nicht wirklich. |
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| 22.05.2013, 21:41 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Lineare abhängigkeit über Determinante nicht ratsam?
Die Vektoren sind dann linear abhängig, wenn es außer der trivialen Lösung, hier: x=y=z=0, noch mindestens eine weitere Lösung gibt. Das ist bei dir der Fall. kann anscheinend jeden Wert, im Definitionsbereich, annehmen. Das deckt sich mit dem Ergebnis, das die Determinante 0 ist. Grüße. |
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| 22.05.2013, 21:48 | LeonardderKobold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Danke, dann scheint die Determinante das richtige auszusagen, nämlich das diese abhängig sind! So nebenbei erwähnt, wenn ich als Lösungsmenge z.b. x=1,y=7,z=0 habe. Dann sind diese auch abhängig, da es ungleich der trivialen Lösung ist? Jetzt sollte ich es verstanden habe. Vielen dank! |
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| 22.05.2013, 21:51 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Gerne. Freut mich, dass alles klar ist. 
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| 22.05.2013, 22:02 | LeonardderKobold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Kannst du bitte noch meine letzte Frage beantworten. xD ich hatte irgendwie in Erinnerung das die Lösungsmenge gleich sein muss und ungleich Null gelten muss. Aber nach der Definition der Linearen unabhängigkeit, sollte auch z.b. das Ergebnis einer Linearkombination von Teilmengen gleichgesetzt mit dem Nullvektor, wie z.b. x=4,y=z=0 linear abhängig sein, den es ist keine triviale lösung.
Möchte ja in ruhe schlafen.^^ |
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| 22.05.2013, 22:37 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wenn du dieses Ergebnis hast, dann muss der Vektor mit x = 4 ein Nullvektor sein, da sonst das Gleichungsystem nicht aufgeht. Somit hast du eigentlich nur 2 Vektoren. Wenn dann y=z=0 die einzige Lösung ist, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Die Lösungsmenge muss eine Lösungsmenge sein, die nicht nur x=y=z=0 ist. Das ist bei dir der Fall. Aber nur deswegen, weil du noch einen Nullvektor hast. Man unterläuft die Regel, indem man einfach noch einene Nullvektor dazunimmt. Dann versagt aber die Regel. Im Prinzip kann man den Nullvektor auf die andere Seite bringen, dann hat man zwei Vektoren, dessen Gleichungssystem nur die triviale Lösung hat. Daraus folgt wiederum die lineare Unabhängigkeit. |
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| 22.05.2013, 23:48 | LeonardderKobold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Danke für deine sehr große Mühe mir das zu erklären. Aber bei deiner letzten Antwort scheitere ich leider. Bitte noch einmal einen kleinen Schritt zurück. Ich habe nun verstanden, dass Vektoren voneinander linear unabhängig sind, wenn ihre Lösungsmenge der Linearkombination gleichgesetzt mit dem Nullvektor, die triviale Lösung (Alles nullen) ergibt. Außerdem weiss ich nun, dass Vektoren linear abhängig sind, wenn die linearkombination gleichgesetzt mit dem Nullvektor, dieselbe Lösungsmenge ist(z.b. x=y=z=5 oder wie in meinem Beispiel x=y=z=lambda). Ich habe leider immer noch nicht verstanden, was im Fall x=y=1,z=0 oder x=4.x=6,x=9 gilt. Ich habe hier sogar eine Lösungsmenge wie folgt: Mit zwei Vektoren x=(3/7)y und y=x/(3/7) Was kann ich aus dieser Menge Bitte sei mir nicht böse, aber ich will das verstehen können und gebe mein bestes. |
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| 22.05.2013, 23:54 | LeonardderKobold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich habe folgendes gerade gefunden: ,,Erhält man eine Lösung bei der nicht a1 bis an alle gleich 0 sind, also bei der mindestens ein a ungleich 0 ist, so sind die Vektoren voneinander linear abhängig" Stimmt den das? Sobald ein Wert ungleich Null ist, sind die Vektoren direkt abhängig voneinander? |
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| 23.05.2013, 00:08 | LeonardderKobold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hallo, ich kann doch einfach sagen, wenn die Lösungsmenge nicht die triviale Lösung ist, dann sind sie linear abhängig oder? Das wär am einfachsten es zu verstehen. |
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| 23.05.2013, 00:17 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das ist richtig.
Die Vektoren sind nicht nur linear abhängig, wenn x=y=z. Siehe deine obige Definition.
Die Vektoren sind linear abhängig, da es auch eine Lösungsmenge gibt bei der nicht alle Parameter (x,y,z) gleich Null sind. Die Lösungsmenge gibt es immer (triviale Lösung). Gibt es aber auch noch eine andere Lösungsmenge, dann sind die, in dem Fall drei, Vektoren linear abhängig.
Hier gibt es natürlich wieder die triviale Lösung . Aber es gibt auch noch (unendlich) viele andere Lösungen: x;y 1;7/3 1,5;21/6 2;14/3 Es muss eben nur die Gleichung erfüllt sein. Fazit: Nur triviale Lösung: linear unabhangig Triviale Lösung und noch mindestens eine andere Lösung: linear abhängig.
Ich würde es noch präziser formulieren:" Wenn es nicht nur eine triviale Lösung gibt, dann sind die Vektoren linear abhängig." Die triviale Lösung gibt es immer. |
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| 23.05.2013, 00:27 | LeonardderKobold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Danke, jetzt versteh ich es zum größtenteil. Vor allem wird mir jetzt erst klar, das die triviale Lösung immer eintrifft, jedoch eine weitere ungleich triviale Lösung vorhanden sein muss, damit die Teilmengen bzw. Vektoren voneinander abhängig sind. Jetzt versteh ich auch weshalb das vorhin genannte Beispiel x=y=z=lambda linear abhängig ist. Da die triviale Lösung eintrifft und unendlich weitere in diesem Fall. Jetzt noch einmal kurz zu folgendem Punkt: Ich habe hier nun nach Stufenform ein LGS erhalten, wobei sich alle Gleichungen aufgelöst haben bis auf eine. Ebend die schon genannte Gleichung x=(3/7)y. Sie entstand aus zwei Vektoren. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, müssten diese linear abhängig sein, da die triviale Lösung zutrifft und ebenfalls folgende Lösungen eintreffen: z.b. x=1 und y=7/3 oder x=3/7 und y=1 Korrekt?^^ |
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| 23.05.2013, 00:33 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Korrekt. 
Du hast außer der trivialen Lösung weitere, unendlich viele, Lösungen. linear abhängig. |
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| 23.05.2013, 00:39 | LeonardderKobold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Vielen dank dann habe ich es nun tatsächlich verstanden! Mich würde noch kurz interessieren wie ich den das angeben kann, dass es ,,unendlich" Lösungen gibt für z.b. die ebend genannte Gleichung? Und ich wollte noch einmal kurz eine Bestätigung, dass wenn z.b. x=y=z lambda gilt, man nicht angeben muss, dass es für alle lambda ungleich Null gilt.^^ Was würdest du den da hinschreiben explizit zu x=y=z=lambda und jeglichen anderen linear abhängigen Vektoren? Dann wärs das. |
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| 23.05.2013, 00:41 | LeonardderKobold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also mir geht es explizir um die Lösungsangabe, wenn sie Linearabhängig sind. |
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| 23.05.2013, 01:00 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
In dem speziellen Fall ist ja x=y=z. Somit könnte man schreiben: Der Wert für x ist frei wählbar. Wenn z.B. x=2 ist, dann ist auch y=z=2. |
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| 23.05.2013, 01:02 | LeonardderKobold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Vielen vielen dank!, du hast mir sehr geholfen! mfg |
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| 23.05.2013, 01:06 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Gerne.
Grüße. |
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